精品解析：福建漳州市诏安县2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

诏安县2025-2026学年上学期期末质量检测 九年级数学试卷 一、单项选择题：本题共10题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸中的相应位置填涂． 1. 甲、乙、丙3名志愿者报名参加核酸检测工作，随机抽取2名志愿者，甲在其中的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程 时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若将抛物线平移后其顶点落在y轴上，则下面平移正确的是（ ） A. 向左平移4个单位 B. 向上平移1个单位 C. 向右平移4个单位 D. 向下平移1个单位 6. 用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（ ） A. cm B. cm C. 2cm D. cm 7. 如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明用两根长度相同的小木棍，自制了一个“形”测量工具，与交于点，．现将其放进一个锥形瓶内，测得 ，则该锥形瓶底部点，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2033 D. 2034 10. 已知二次函数 ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1 C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置． 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 12. 某公园2023年绿化面积10公顷，经过不断的努力改造与建设，2025年达到了公顷，则这两年的年均绿化面积增长率等于________． 13. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为米，则王老师镜片的度数为________度． 14. 若二次函数的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为________． x y 3 5 3 15. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于________． 16. 在矩形中，为对角线 上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明、证明或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 计算： 18. 已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点． 请按要求解决下列各题： （1）求的值； （2）画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 20. 如图，已知在等腰中，交于点D． （1）尺规作图：作出线段的中点，并连接(保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）已知，是线段上一点，且与相似，则的长为多少？ 21. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 22. 已知． （1）求证：无论a为何值，恒成立； （2）请分析C与A的大小关系． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为． （1）求m及k的值； （2）求点B的坐标及的面积； （3）观察图象，直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出 的面积的最大值？ （3）在（2）中当 的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 25. 综合与实践 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图①，在等边三角形 中，是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形 ，连接，直接写出与的数量关系； （2）变式探究：如图②，在等腰三角形 中 是边上任意一点，以为腰作等腰三角形 ，使 ， ，连接，判断和 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，在正方形ADBC中，P是BC上一点，以AP为边作正方形APEF，是正方形APEF的中心，连接，若正方形APEF的边长为6，，则正方形ADBC的边长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诏安县2025-2026学年上学期期末质量检测 九年级数学试卷 一、单项选择题：本题共10题，每题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸中的相应位置填涂． 1. 甲、乙、丙3名志愿者报名参加核酸检测工作，随机抽取2名志愿者，甲在其中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲在其中的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为4，所以甲在其中的概率为， 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 2. 如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴． 故选：B． 3. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图（左视图），熟练掌握从不同方向观察几何体并判断视图中线条的虚实是解题的关键． 先明确左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形，再判断该几何体从左侧看时各部分的轮廓和线条虚实，从而确定正确的左视图． 【详解】解：该几何体的左视图是 ． 故选：A． 4. 用配方法解一元二次方程 时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法的步骤，即先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式．据此解答即可． 【详解】解：∵ ∴移项得 ∵一次项系数为，其一半的平方为 ∴方程两边同时加1得 ∴配方后得， 故选：B． 5. 若将抛物线平移后其顶点落在y轴上，则下面平移正确的是（ ） A. 向左平移4个单位 B. 向上平移1个单位 C. 向右平移4个单位 D. 向下平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移，先确定原抛物线的顶点坐标，再根据y轴上点的横坐标为0的特征，结合抛物线平移“左加右减，上加下减”的规律，确定正确的平移方式即可． 【详解】解：∵抛物线为顶点式， ∴其顶点坐标为， ∵y轴上的点横坐标为0，要使平移后顶点落在y轴上，需将顶点的横坐标从变为， 根据抛物线平移“左加右减”的规律，， ∴需将抛物线向右平移4个单位． 故选：C． 6. 用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（ ） A. cm B. cm C. 2cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵，D为边的中点， ∴ 故选：B 7. 如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中位线的性质，平移的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．由中位线的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接 ， ∵M是边的中点，P是边的中点， ∴是的中位线 ∴，， 故选：B 8. 如图，小明用两根长度相同的小木棍，自制了一个“形”测量工具，与交于点，．现将其放进一个锥形瓶内，测得 ，则该锥形瓶底部点，之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，证明出，根据相似三角形对应边成比例可得，代数可求的长度． 【详解】解：∵小明用两根长度相同的小木棍，自制了一个“形”测量工具， ∴ ∴ ， ， ， 又， ， ． 故选：D． 9. 若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2033 D. 2034 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值．利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 10. 已知二次函数 ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1 C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2， ∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值−2， 当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝7． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置． 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 某公园2023年绿化面积10公顷，经过不断的努力改造与建设，2025年达到了公顷，则这两年的年均绿化面积增长率等于________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设年均增长率为x，根据增长模型列出方程，通过解二次方程求x的值即可． 【详解】解：设年均增长率为x，则2025年绿化面积可表示为，根据题意得： ， 两边除以10得， 开平方得：（舍去负根）， 解得：． 故答案为：． 13. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，王老师计划配一副近视眼镜，测得镜片的焦距为米，则王老师镜片的度数为________度． 【答案】500 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数解析式的确定及代入求值是解题的关键．先设反比例函数解析式，利用已知点求出函数表达式，再代入焦距计算度数即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． ∵镜片焦距， ∴， 故答案为：． 14. 若二次函数的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为________． x y 3 5 3 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴．先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为， 则关于对称轴直线对称的是， ∴与的函数值相同，即当时，y的值为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，是边上的高，，，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．先根据直角三角形的两锐角互余得到，进而得到 ，即可得到，代入解题即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 16. 在矩形中，为对角线 上与，不重合的一个动点，过点作垂足为，垂足为，连接，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理的应用．关键是通过矩形的性质将的长度转化为 的长度，将求最小值的问题转化为求点到直线 的最短距离，再利用面积法求解该垂线段长度． 【详解】解：连接 ， ∵四边形是矩形， ∴，， ， 由勾股定理得； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴； 根据垂线段最短的性质，当时， 的长度最小，此时 的长度即为点到 的距离； 设点到 的距离为， ∵，又， ∴，解得， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明、证明或演算步骤．请在答题纸的相应位置解答． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，关键是牢记、等特殊角的三角函数值，先代入对应特殊角的三角函数值，再按照实数的运算顺序(先乘除后加减)进行计算． 【详解】解： ． 18. 已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质． （1）根据矩形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据矩形性质，，且对角线互相平分， 即， ，在中，， ； 【小问2详解】 解：∵在中， ， ， 根据勾股定理得：． 矩形面积为：． 19. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的5个格点． 请按要求解决下列各题： （1）求的值； （2）画一个三角形，它的三个顶点为，，，，中的3个格点，并且与相似． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，相似三角形的判定等知识，准确作图是关键． （1）利用勾股定理及其逆定理即可判断是直角三角形，根据正切的定义即可求出答案； （2）根据相似三角形的判定作图即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理得： ， ， ∴ 是直角三角形， ； 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 20. 如图，已知在等腰中，交于点D． （1）尺规作图：作出线段的中点，并连接(保留作图痕迹，不要求写作法)； （2）已知，是线段上一点，且与相似，则的长为多少？ 【答案】（1）作图见解析； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线定理、相似三角形的判定与性质以及尺规作图．关键是先利用等腰三角形和直角三角形的性质求出各边的长度，再根据相似三角形的对应关系分情况讨论求解的长度． （1）利用尺规作图作线段的垂直平分线，找到中点，再连接； （2）先求出的各边和角，再根据与相似的两种对应情况，利用相似三角形的性质列比例式求解的长度． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求： 【小问2详解】 解：，， ， 在中，， . 是等腰三角形，， ，， ， ， ， ； 是的中点， ， ． 与相似，且 为公共角，分两种情况： ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即，解得； 综上，的长为或． 21. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： （1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； （2）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； （3）A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1），， 补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用乘以等级人数占比即可得出扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出等级人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，展示从这人中随机抽取人所有等可能的结果，再找出被抽取的人恰好是名男生名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数共有： （人）， 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ， 等级人数为： （人）， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 22. 已知． （1）求证：无论a为何值，恒成立； （2）请分析C与A的大小关系． 【答案】（1）见解析 （2）当或时，；当时，；当或时， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，二次函数与不等式的关系． （1）先计算，再由平方的非负性求即可； （2）先求出，再分类讨论，结合二次函数的图象求解即可． 【小问1详解】 解： 恒成立； 【小问2详解】 解： ， 当时，即，解得或； 当时，即，令，根据二次函数与不等式的关系可得； 当时，即，令，根据二次函数与不等式的关系可得或； 综上：当或时，； 当时，； 当或时，． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为． （1）求m及k的值； （2）求点B的坐标及的面积； （3）观察图象，直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x取值范围． 【答案】（1） ； （2）；面积为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、两函数的交点问题和函数的图象等知识点，数形结合思想的应用． （1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案； （2）联立两函数解析式，求出方程组的解，即可得出B点的坐标，求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求即可； （3）根据图象的位置关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：一次函数图象过点 得解得 又过点 ． 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立方程， 解得或， ∴B的坐标为． 在直线中，令 得， ∴点C坐标为， ∴． 【小问3详解】 解：由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出 的面积的最大值？ （3）在（2）中当 的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到 的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为 ，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值 即可． 【小问1详解】 解：直线 与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时， 的面积的最大值为； 【小问3详解】 解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为 ， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为 ， 的最大值为； 25. 综合与实践 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图①，在等边三角形 中，是边上任意一点，连接，以为边作等边三角形 ，连接，直接写出与的数量关系； （2）变式探究：如图②，在等腰三角形 中 是边上任意一点，以为腰作等腰三角形 ，使 ， ，连接，判断和 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，在正方形ADBC中，P是BC上一点，以AP为边作正方形APEF，是正方形APEF的中心，连接，若正方形APEF的边长为6，，则正方形ADBC的边长为___________． 【答案】（1） ； （2） ，理由如下： 和均为等腰三角形，且 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ； （3） ． 【解析】 【分析】(1)根据等边三角形的性质确定，， ，结合角的和差关系确定 ，最后利用证明 ，从而根据全等三角形的性质即可求解； (2)根据等腰三角形底角相等、三角形内角和定理，角的和差关系确定 ，从而证明 ，得到，再结合边、角的数量关系得到， ，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明 ，从而根据相似三角形的性质解答即可； (3)连接和 ，根据正方形的性质易得到相关边角关系，易证明 ，由相似三角形的性质得出，可求出的长，最后在 中根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：和均为等边三角形， ，， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接和 ， 四边形 和四边形 都是正方形，且是四边形 的中心， ，即 ， ， ， ， ， 又， ， 在 中，设 ，则 ， 由勾股定理得，，即， 解得，（负值，舍去）， 正方形 的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形和四边形的综合题．掌握等边三角形、等腰三角形、正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，勾股定理、解一元二次方程等知识，并熟练综合应用这些知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $