二次函数压轴之面积问题2026年中考数学三轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以面积问题为主线，系统整合待定系数法、对称性质、割补法等解题技巧，构建从基础到压轴的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析式求解|13题均涉及|待定系数法（三点式/交点式）|从坐标关系到函数表达式，夯实代数基础| |面积计算与最值|8题重点考查|割补法、铅垂高法、二次函数最值|几何图形面积转化为函数关系，培养数学思维| |存在性问题|10题综合应用|方程思想、分类讨论（等腰三角形/平行四边形）|结合几何性质与代数推理，提升数学语言表达能力|

二次函数压轴之面积问题2026年中考数学三轮复习备考 1.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A,B两点，与y轴交于点C,点A在点B的 右侧，点C的纵坐标为3，且OB=OC. ()求该抛物线的解析式： (②)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得QA+QC最小？若存在，求出Q点的坐标； 若不存在，请说明理由： (3)抛物线上是否存在点P,使得SAPOR=2S△Boc？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标： 若不存在，请说明理由， 2.如图，抛物线C:y=-x2+bx+3交x轴于点A,B,交y轴于点C,直线y=-bx+3与 抛物线C的交点D的横坐标为4. B B 备用图 (1)求抛物线C的表达式： (2)点P(a,c)和Q1-a,c+d)是抛物线G上的两点，求2c+d的取值范围； (3)抛物线C,:y=(-bx+3)(mx+m)(m<0)的顶点为V,与抛物线C在y轴右侧的交点 为E,连接AE交CD于点F.当∠AFC=2∠CAF时，求△AVE的面积. 3.如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2+bx过点A(3,3),过点A作平行于x轴 的直线交对称轴于点B,P为顶点. 试卷第1页，共3页 备用图 (1)求抛物线的表达式及点B的坐标； (2)C为抛物线上一点，连接AC,BC,若S4Bc=5,求直线CP的表达式： (3)过B作直线DE,交抛物线于点D,E,连接PD,PE,直线PD,PE分别交x轴于点 M,N,在抛物线的对称轴上是否存在定点F,使得∠MFN=90°？若存在，求点F的坐 标；若不存在，请说明理由 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B(1,0)两点， 与y轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与 射线AC交于点E,连接BE、BP,当△PBE面积最大时，求点P的坐标； (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移√5个 单位长度得到新抛物线y,点P为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当 ∠QBA=∠OPP-∠BAC时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标， 5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,点B在 x轴正半轴上，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)经过A,B,C三点，顶点为D. 试卷第1页，共3页 备用图 (1)点A的坐标 ,点C的坐标 (②)求抛物线的解析式及点B,D的坐标； (3)探究在ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在ABC各边 上，且其中有两个顶点在线段AB上)？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理 由 6.己知抛物线y=二x2+x-4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且经过点D(-10,6) 4 B B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P是抛物线上第三象限内一动点，连接CD,PD,PC,PB,BC,△PCD面积 记为S,△PBC面积记为S2,求S,-S2的最大值； (3)如图2，将直线BC沿x轴翻折交y轴于点H,过点B的直线I交y轴、抛物线分别于点 K,E.若LHBK=∠OAC,求点E的坐标， 7.已知抛物线y=2+bx-3a(a为常数，且a≠0)与x轴交于A,B两点，其中点B的 坐标是-1,0)，与y轴交于点C,点C的坐标是0,3). 试卷第1页，共3页 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m,连接BC,PC,PA. ①如图1，若SP4B:SPgc=2:3，,求m的值， ②如图2，延长AP交y轴于点M,连接OP,若线段PB与y轴交于点N.记△PON, APAB,△PBC,APMN的面积分别为S,S,S,S,试判断、：&的值是否为定值？ SS 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。 8.如图1，抛物线y=(x+1)(x-4)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C(0,-3),连接 BC,点D,E分别从点B,C出发，沿线段BA和CB方向以相同的速度匀速运动，点E运 动到点B时停止，连接DE, V YA 0 图1 图2 (1)求抛物线y=a(x+1)(x-4)的表达式： (2)求BDE面积的最大值； (3)①点P是平面内一点，若四边形ACBP是平行四边形，求点P的坐标； ②如图2，连接AE和CD,求AE+CD的最小值 9.如图，二次函数的图象经过点A(-3,0),点B(1,0),与y轴交于点C(0,-3). 试卷第1页，共3页 2 B 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)求ABC的面积； (③)点P在直线AC下方的抛物线上运动，当LPBA=45°时，求点P的坐标； (4)动点Q在抛物线的对称轴上运动，作射线QA,若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线 交于点D,是否存在点Q使AQ=QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说 明理由。 10.已知抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)交x轴于A,B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C. 图1 图2 (1)求A,B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)如图1，M为抛物线在第三象限内一点，OM与AC交于点D,求S。MCD:Scon的最大值； (3)如图2，当a=1时，P为抛物线对称轴上一定点，过点P作直线I交抛物线于E,F两点， 若+为定值1，求的值。 PEPE 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴交于点A、点 B(1,0),与y轴交于点C. 试卷第1页，共3页 备用图 (1)填空：b= (2)若点P是该二次函数图象上一点（不与C重合），且S△4BP=S△4Bc,求点P的坐标； (3)将抛物线沿射线CB的方向平移√5个单位长度，平移后的抛物线上有两点，分别为 M(m,)、N(1,2).若y2<y<6,求m的取值范围. 12.己知二次函数y=ax(x-6)(a≠0)的图象经过点A2,8),与x轴交于点B(不是原点). B B 图1 图2 (1)求a的值； (2)如图1，该二次函数图象的顶点为C,求四边形0ACB的面积； (3)如图2，点P(x,y)和点Q(x2,y2)是该二次函数图象上的两个动点，且0<x<x2<6,过 点P作PM⊥x轴交直线AB于M,过点Q作ON⊥x轴交直线AB于N,若x2=x+2,是 否存在以点P,M,N,Q构成的平行四边形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在， 请说明理由. 13.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C. 试卷第1页，共3页 VA 0 备用图 (1)求这个抛物线的函数表达式： (②)点D的坐标为-1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的 最大值： (3)点M为抛物线对称轴上的点，是否存在点M使△MBC为等腰三角形？若存在，请直接 写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)y=-x2-2x+3 (2)存在，0(-1,2 (3)存在，点P的坐标为-1+0，-6或-1-V10,-6 【分析】(1)根据点C的纵坐标为3得出C(0,3),根据0B=0C得出B(-3,0),利用待定系 数法求出抛物线的解析式即可； (2)由(1)中解析式可得对称轴为直线x=-1,A(1,0),B(-3,0),连接BC,交直线 x=-1于点Q,连接QA,可得点C,B,Q三点共线时，OA+QC最小，最小值为BC的长， 利用待定系数法求出直线BC的函数解析式为y=x+3,把x=-1代入求出y的值，即可求 出点0坐标. (3)根据8、C坐标求出5，x=号，设点P收--21+3引，根据Sm08小结合 SAPOB=2 SABOC得出-1-2t+3=6,解方程求出t的值即可得出答案. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C,点C的纵坐标为3， .当x=0时，y=c=3, C(0,3, :0B=0C, B(-3,0, -9-3b+c=0 将点B(-3,0),C(0,3)代入解析式y=-x2+bx+c,得 c=3 [b=-2 解得： c=3’ .该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. (2)解：存在，Q-1,2),理由如下： 由(1)知，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3, :对称轴为直线x=2×-) -2 =-1, 当y=0时，-x2-2x+3=0, 答案第1页，共2页 解得：x=1,x2=-3. A1,0),B(-3,0, 如图，连接BC,交直线x=-1于点Q,连接QA, 0 :点A关于直线x=-1的对称点是点B, ∴AQ=BQ C,B,Q三点共线时，QA+QC最小，最小值为BC的长， 设直线BC的函数解析式为y=kx+b, 「-3k+b=0 b=3 k=1 解得： 6=3’ 直线BC的函数解析式为y=x+3, 当x=-1时，y=-1+3=2, 0(-1,2). (3)解：存在点P,使得S△PoB=2S△Boc,理由如下： 点B-3,0),C0,3, 5arc-0B-00 21 设点P(1,-2-21+3, .1 :S△PoB=2S△B0c, 答案第1页，共2页 3r-2+=2x3即-24+=6， 1 2 当-2-2t+3=6时，整理得2+2t+3=0, △=2-4×3×1=-8<0，方程无实数根. 当-2-2t+3=-6时，整理得t2+2t-9=0, 解得：t=-1+√10或t=-1-√10， 点P的坐标为(-1+10，-6或-1-0，-6. 综上所述，满足条件的点P的坐标为-1+0，-6或(-1-0，-6. 2.(1)y=-x2+2x+3 (②2c+ds15 微 【分析】(1)联立解析式列出方程求解； ②2)根据抛物线解析式得出2c+d=2。-)门 +15,然后利用二次函数的图像和性质求解： (3)连接AC,过点A作AG⊥AC交CD于点G,过点A作KH⊥x轴，分别过点C,G作 CK⊥KH于点K,GH⊥KH于点H.过点E作EM⊥x轴于点M,过点V作VN⊥x轴交 AE于点N,设CD与x轴的交点为R,利用全等三角形和相似三角形得出相关线段的长度， 利用锐角三角函数求出相关点的坐标，得出直线和抛物线的解析式，然后求出顶点坐标，即 可求出三角形的面积. 【详解】(1)解：：直线y=-bx+3与抛物线C:y=-x2+bx+3的交点D的横坐标为4， .-4b+3=-16+4b+3. b=2. ∴抛物线C的表达式为y=-x2+2x+3: (2)解：：点P(a,c和Q(1-a,c+d)在抛物线C:y=-x2+2x+3上， .c=-a2+2a+3①， c+d=-(1-a)2+21-a+3② 答案第1页，共2页 -2<0, 15 当a=二时，2c+d有最大值为 2 2e+ds5, (3)解：如图，连接AC,过点A作AG⊥AC交CD于点G,过点A作KH⊥x轴，分别过 点C,G作CK⊥KH于点K,GH⊥KH于点H.过点E作EM⊥x轴于点M,过点V作 VN⊥x轴交AE于点N,设CD与x轴的交点为R. V A R 抛物线C:y=-x2+2x+3, 令y=0,则x1=-1,x2=3,即点A的坐标为(-1,0) 令x=0,则y=3,即点C的坐标为(0,3) .AK=0C=3,CK=0A=1, :∠K=∠H=90°=∠CAG. ∴.∠KAC+∠HAG=90°，∠HGA+∠HAG=90°. :∠KAC=∠HGA. .△CAK∽△AGH. 8册片事0a=3. :b=2, .直线CD的解析式是y=-2x+3, 设点G的坐标为n,-2n+3), 答案第1页，共2页 n+1=32n-3). 解得n=2. ..GH=3=AK,AH=1=CK. △CAK≌△AGH(SAS). .AC=AG. LACG=∠AGC=45°. :∠AFC=2∠CAF,∠AFC+∠CAF+∠ACF=180°， ∴.∠CAF=45°=∠ACF,∠AFC=90° 令y=-2x+3=0,则x=,即点R的坐标为 0 在RtCOR中，tan∠OCR=OR-」 0C-21 又∠EAM=90°-∠ARF=∠OCR, :在RIAAEM中，tan∠EAM=EM_1 AM 2 设EM=t,则AM=2t,OM=2t-1. 点E的坐标为(2t-1,t. :点E在抛物线C:y=-x2+2x+3上， ∴.-(2t-1)2+2(2t-1+3=t. 7 解得4=45=0（舍去). 点E的坐标为 3别 假设直线AE的表达式为y=红+6，将24) 57 和(-1,0)代入得， 2 -k+b=0 1 k= 2 解得 1 -2 :直线4AE的表达式为y=2X+2 11 b=2, 答案第1页，共2页 指物线Gy=+ar+-2m- P m(m<0) :顶点v的坐标为行空】 :点在抛物线Gy=-2m- （.1225 4+8mm<0上， 十 2m) 257 8m=4 4 解得m二- 4 顶点V的坐标为 125 432 :VN⊥x轴且点N在直线AE上， 点N的坐标为 4别 seww=&([8-- 3.(1)y=x2-2x;B1,3) (2)y=3x-4或y=-3x+2 (⑧点F的华标为兮- 【分析】(1)抛物线过点A(3,3),可将点坐标代入解析式求出b;再根据抛物线对称轴公式， 结合AB平行于x轴的性质，求出点B的坐标， (2)设点C的横坐标为x,利用三角形面积公式，以AB为底，点C到直线AB的距离为高， 求出x的值，再代入抛物线解析式求出C的坐标，最后结合顶点P的坐标求直线CP的表达 式. (3)设直线DE的解析式，与抛物线联立，利用韦达定理得到D、E的横坐标关系；再分 别写出直线PD、PE的解析式，求出与x轴交点M、N的坐标和MN,利用勾股定理和韦 达定理进一步求解即可 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx过点A(3,3), b=-2, :抛物线的表达式为y=x2-2x, 答案第1页，共2页 ·抛物线的对称轴为直线x=1, AB‖x轴， :点B(1,3. (2)解：如解图①，：点C在抛物线y=x2-2x上， C B :设点Cx,x2-2x), 图① :点A3,3,点B(1,3, .AB=2, S48c=5, 5-48xe-y-3x2x2-2.-=5, 1 2 x2-2x-3=5, x-2x。-3=5,即x-2x.-8=0.解得x=4或x。=-2: 或x-2x。-3=-5,即x2-2x。+2=0,得该方程无解， C4,8)或C2-2,8), 由(1)知抛物线的对称轴为直线x=1, :点P(1,-1, 设直线CP的表达式为y=mx+nm≠0)，将点C,4,8),P(1,-1代入， 得 m+n=-解得m=3 4m+n=8 n=-4' :直线CP的表达式为y=3x-4: 答案第1页，共2页 同理，由点C,-2,8),P(1,-1得直线C,P的表达式为y=-3x+2, 综上所述，直线CP的表达式为y=3x-4或y=-3x+2. (3)解：存在定点F, 如解图②，设点Dxo,x号-2xD),点ExE,x2-2xE),假设点D在点E右侧， E B :点B1,3在直线DE上， 图② 故根据点B坐标可设直线DE的表达式， :设直线DE的表达式为y=k(x-+3=kx-k+3, D,E为直线与抛物线的交点， :联立直线DE与抛物线，得x2-2x=x-k+3, 得x2-(k+2)x+k-3=0, xpxg=k-3,xp+xg=k+2, 设直线PD的表达式为y=kx+b(k≠O), 将点P(1,-1),D(xo,x2-2xD代入，得 k+b=-1 +4=号-2，·解得 k=xp-1 b=-xD :直线PD的表达式为y=xp-x-xD, :点MD,0: 、x-10 同理，得直线PE的表达式为y=(xE-x-x:, 答案第1页，共2页 :点N xg-1' 设点F(1,,因为∠MFN=90°， .FM⊥FN, MW=xw-w=D-至，=x--(o-山--2 xo-1xE-1(xo-1)(xE-1) XDXE-(xp+xE)+1 根据酸定，有w-(之一+-+， wj FM2+FN2=MN2, c八小n- x+经-2xn+x+2+2r[xnx:-(x+x+。号+2-2xpE [XDxE-(xp+xE)+17 LX0XE-(+x)+17 -2(xp+x)+2+2[xpx-(xp+x)+1]=-2xpxg, 代入韦达定理结果，得 -2(k+2)+2+22[k-3-(k+2+1]=-2xk-3), -2k-4+2+(-4)2×22=-2k+6, t=2 点F的坐标为兮(- 【点晴】本题考查二次函数的图像与性质、三角形面积公式、一次函数解析式的求法、两直 线垂直的条件，解题关键是合理利用韦达定理、中点坐标公式，结合垂直的性质求解定点坐 标. 4.0四y=-2 -*2 (2)P(-2,3 答案第1页，共2页 (3)点Q的坐标为-1,3或-1-2V3,-3-35 【分析】(1)利用待定系数法计算即可得出结果； (2)过P作PF∥y轴，交BD于R,求出C(0,2,从而可得直线AC解析式为y=)x+2, V=- 1x_3x x+2 进而得出直线BD的解析式为y=2一 2’联立 11 2 2 ,可得D(-5,-3),设 11 y=。x- 2 2 Sm-PF(x。-x=-x+22+27 2 ，结合二次函数的性质可得当x=-2时，S0最大， 由SEBD是定值，且S.PBD=S.PgE+SEBD,可得SAPBE最大，即可得出结果： (3)设OP与AC交于点L,由勾股定理可得AC=2√5，结合二次函数图象平移的性质可得 ++4,证明∠QBA=∠AOP,从而可得BO/OP,求出OP解新式 12,1 y'=--x2+二x+4 子，0相折式为=号+当，联 22 33 ,计算即可得 y=一 22 出Q-1,3);设2关于x轴对称点为2(-1，-3)，求出 + y'= 1 33 2 +4 直线Bg解析式为y= 22,联 ，计算即可得出结果. 33 y=2x-2 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B1,0)两点， 16a-4b+2=0 a+b+2=0 1 a2 解得： 3 b-2 2+2, 抛物线为y=二7x23x (2)解：如图，过P作PF∥y轴，交BD于F, 答案第1页，共2页 1 2x+2中，令x=0,则y=2. .C(0,2). 设直线AC解析式为y=kx+2(k≠0)， 把A-4,0)代入，得-4k+2=0, 解得k=2 1 :直线4C解析式为y=2x+2, :BD∥AC, .设直线BD的解析式为y=。x+m, 把81,0)代入，得2+m=0, 解得m=一2' 1 :直线BD的解析式为y=2x一 11 1x23 y=- x+2 2 联立 2 11 2x-2 y=- x=-5 x=1 =-3或=0 解得 .D-5,-3, 答案第1页，共2页 aswe-w-2+8-5+2号 .-1<0, 当x=-2时，SPBD最大， :SERD是定值，SPBD=S.PBE+SEBD, SAPBE最大， 当△PBE面积最大时，P(-2,3): (3)解：设OP与AC交于点L, 02 :A-4,0),C(0,2, :AC=V0A2+0C2=2V5, :将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y, 款线=-+2=+兰向上世1个位发长皮，香狗老平移2个 2 位长度得到箱能物线，为y=(+子2++1= 1 良刀”=一2x之+2x+4 :点P为点P的对应点， PP'∥AC, :ZOPP'=ZOLC :LAOP=LOLC-∠BAC,且∠QBA=∠OPP-∠BAC, .∠QBA=∠AOP, .BQ∥OP, 答案第1页，共2页 设OP解析式为y=mx, 把P(-2,3)代入，得-2m=3, 3 :.m=-2 3 :OP解析式为y=-2x, 3 设BQ解析式为y= x+n, 2 把B(1,0)代入，得-3 +n=0, 2 .n= 2’ 33 BQ解析式为y=-。x+ 22 1 y'= x+4 2 当y=y时，联立 33 2r+ y=- 2 x=-1x=5 解得 y=3 或 y=-6 (舍去)， .0-1,3； 设2关于x轴对称点为Q,(-L,-3),直线Bg解析式为y=ax+d, a+d=0 把1,0，Q(-1,-到代入，得-a+d=-3 3 解得{ 31 d-2 33 .直线Bg解析式为y=。x- 22’ 12+ t+4 1 y'= 2 :联立33 y=2-2 x- x=-1+2V5 x=-1-25 解得)=-3+35 (舍去)或 y=-3-35 0(-1-25,-3-35 答案第1页，共2页 综上所述，点9的坐标为(-1,3)或-1-2V3,-3-35) 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合一面积问题、二次函数 综合一角度问题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运 用是解此题的关键。 5.(1)(-1,0)；(0,3) (2)点B的坐标为(3,0)；顶点D的坐标为1,4). (3)能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为3 【分析】(1)令一次函数的y=0求与x轴交点A,令x=0求与y轴交点C; (2)将A、C坐标代入抛物线解析式，求出Q、C,再令y=0求B点坐标，用顶点坐标公 式或配方法求顶点D坐标； (3)设矩形的一边长，利用相似三角形表示另一边长，建立面积的二次函数表达式，求其 最大值。 【详解】(1)解：对于直线y=3x+3, 当y=0时，3x+3=0, 解得x=-1, 所以点A的坐标为(-1,0)； 当x=0时，y=3, 所以点C的坐标为(0,3) 故答案为：(-1,0)；(0,3) a(-1)2+2×(-1)+c=0 (2)解：将A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c,得 c=3 a=-1 解得 c=3· 所以抛物线解析式为y=-x2+2x+3. 令y=0,则-x2+2x+3=0, 即x2-2x-3=0, 解得x=-1,x2=3, 因为点B在x轴正半轴上， 所以点B的坐标为（③，O). 答案第1页，共2页 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 所以顶点D的坐标为1,4) (3)解：能截出面积最大的矩形. 设矩形EFGH中，E、F在AB上，G在BC上，H在AC上，矩形的高为h, E 直线BC的解析式：设为y=+b, 3k+b=0 将B3,0),C(0,3)代入，得 b=3 ，解得k=-1, 所以y=-x+3; 直线AC的解析式为y=3x+3. =时，在3x3中，在+3电，13 所以矩形的长为3-)-h,3=4-4, 3 矩形面积S=h4- -+h, 3 3 4 <0 3 h=. :当 4 2×州-3 答：能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为3 6.(1)y= 24 (2)当m=-4时，S,-S2有最大值，最大值为24 .39 ③)E-1,4 【分析】(1)利用待定系数法解答即可求解： (2)求出点A、B、C的坐标，利用待定系数法可得直线CD的表达式为y=-x-4,设点 答案第1页，共2页 P+-小 2 同理可得直线PB的表达式为少=Ax-2，过点P作y轴的平 4 行线交CD于点N,设BP与y轴相交于点Q,则Nm,m-4,QQm-4,即得 PN=(-m-4)- 2m2+3 m-4 -m2-5m 1 4 2m,0C=- 2m-4+4=-2m，得到 SPNx(xc-xD)m225 =0c=m+,即得到 2 4 5 S,-S2=-4 :空-(+-+4+24,再根据次函数的性解答即可 m -m- 2 求解； (3)由对称可得H(0,4),再分点K在H点的上方和下方两种情况，分别画出图形解答即 可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，锐角三角函数，掌握二 次函数的图象和性质是解题的关键， 【详解】(1)解：将点D(10,6)代入抛物线y=x+mr-4, 4 得2x-10)2+m×(-10)-4=6, 解得m=2' 3 抛物线的表达式为y=4x+一4： 2* (2)解：：当=0时，4 3 x-4=0, 2 解得x1=-8,x2=2, A(-8,0),B(2,0), 当x=0时，y=-4, .C(0,-4), 设直线CD的表达式为y=kx+b,把C(0,-4和D(-10,6)代入得， [b=-4 -10k+b=6' 「k=-1 解得b=4 .直线CD的表达式为y=-x-4, 答案第1页，共2页 1 设点Pm,4m+<m-4 B 同理可得直线PB的表达式为yS,-m+8 2 过点P作y轴的平行线交CD于点N,设BP与y轴相交于点Q,则N(m,-m-4), o0m-4: PN=(-m-4)- m2+m-4-m- 3 m,OC=- 2m-4+4=-1 1 m, 2 zxPWx(tc-tp)- 11 5 5 m×10= 225 m 4” 2 , 1 22mx2-m)= ③，QCxG。-x)=x」 二m+ 5 :S-5=4 2511 m -m- m+ 22 m 、52二2土1221 m+2m-4 3 =-m-12m :-3m+4+24, 2 、3 <0, 2 当m=-4时，S,-S2有最大值，最大值为24； (3)解：：点H与点C(0,-4)关于x轴对称， H(0,4), 当点K在H点的上方时，如图， 答案第1页，共2页 :在Rta0AC中，tan∠OAC=OC-4=1 OA8-21 在Rt△OBH中，tan∠OHB= OB 2 1 OH42’ .∠OAC=∠OHB, 又：∠HBK=∠OAC, .LHBK=∠OHB, :直线y轴，此时与y轴无交点，该种情况不符合题意； 当点K在H点的下方时，如图， :∠HBK=∠OAC=∠OHB, .BK =HK 设HK=x,则BK=x,OK=4-x, 在RtAOKB中，OB2+OK2=BK2, .22+(4-x)2=x2, 5 :OK=4-x= 点0》 设直线的表达式为y=e+d,把B2,0)和K0引代入得， 2c+d=0 3, d- 答案第1页，共2页 3 C=- 解得 4 d= 3 2 .直线1的表达式为y= 33 4x+2 y=x2+3x-4 3 x=-11 4 ，解得39或 x=2 由 33 y=- y= y=01 +2 4 7.(1)y=-x2+2x+3 20m号@是，6 18 【分析】(1)利用待定系数法求解析式即可： (2)①先求出A3,0),设Pm,-m2+2m+3,0<m<3,BP与y轴交于点N,利用待定系 数法求出直线PB的解析式，得到N(O,-m+3),再用m表示出SP4BS。Pac,根据比值求m即 可 ②根据①，用m表示S,S2,S,,利用待定系数法求出直线PA的解析式，得到M(0,3m+3), 再求出S,然后化简求值即可. [a-b-3a=0 【详解】(1)解：由题可知 a=-1 -3a=3 解得b=2 则抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)①令y=-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3,则A3,0) 设Pm,-m2+2m+3),0<m<3,BP与y轴交于点N, B 则4B=3-=4,S.s-2×4x←-m+2m+3到=-2m+4m+6=-2(m+1m-3列 设直线PB的解析式为y=kx+t, 答案第1页，共2页 「-k+t=0 ,「k=-m+3 m+1=-m2+2m+3解得亿=-m+3 y=(-m+3)x-m+3,则N(0,-m+3),CN=3--m+3=m, 1 S.rw-S.rcv+5.oc-m(m+1) :Sp级=-2(m+1(m-3)2 S.PBC 2m(m+1) 3， 架智加 ②由①知N(0,-m+3), =sm-+ S2=SP4B=-2m2+4m+6=-2(m+1(m+3, S3=S.moc=m(m+1), 2 设直线PA的解析式为y=kx+t', 3k'+t'=0 k'=-m-1 m'+f=-m+2m+3解得=3m+3 y=-m-1x+3m+3,则M(0,3m+3, MN=3m+3--m+3)=4m, 1 S,=S.nw=2×4mm=2m, 1 1 。m(m+l1 S2S,-2(m+10(m-3)22m2一=16 =3x2_9x 8.(1)y=2x x-3 4 4 号 (3)①P3,3)；②3√5 【分析】(1)将C(0,-3)代入y=a(x+1(x-4求解即可： (2)根据二次函数交点式可知A(-1,0),B(4,0),根据勾股定理求出BC=5,设 答案第1页，共2页 BD=CE=1(0≤1≤5)，根据三角函数可知E到X轴的高h=BE.sin∠OBC=3(5-),求 5 出BDE的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可； (3)①设P(x,y),根据平行四边形的性质及中点坐标公式作答即可； ②设BD=CE=t,得D(4-,0),作EF⊥OC交OC于点F,可知EF∥OB,即 sin∠FEC=sin∠OBC=3, 5 根据勾股定理可知AE=√t-1)2+32, CD=Vt-4)2+(-3)2,则AE+CD可转化为：x轴上动点(，0)到点M1,3)和点N(4,-3)的 距离和，根据两点之间线段最短可知AE+CD最小值， 【详解】(1)解：：y=a(x+1)(x-4与y轴交于点C(0,-3), a(0+1)(0-4)=-3, 解海：0子 即y=x+x-4=-}-3: 4 4 3 (2)解：：y=（x+1)(x-4), 4 A-1,0),B(4,0), .AB=5, 由勾股定理得BC=√0B2+0C2=5, 设BD=CE=t(0≤t≤5)，则BE=BC-CE=5-1, 在Rt△0BC中，sin∠0BC=OC-3, BC 5' 可知E到x轴的高h=BE.sin∠OBC=(5-), 3 <0, :当=时、S取最大值，最大能为只： (3)解：①设P(x,y), :平行四边形对角线互相平分，平行四边形ACBP中AB为对角线，AB中点坐标为 ,0+x3-3+y=0, 2=22 答案第1页，共2页 解得：x=3y=3, 即P3,3)； ②设BD=CE=t,得D(4-t,0, 作EF⊥OC交OC于点F, 可知EF∥OB, ·sin∠FEC=sin∠OBC=3」 CF=3 5 50F=3-31 ·EF= E 3t ·AE= [g(-+3---r3,cD=a-+0--0-, 则AE+CD可转化为：x轴上动点(L,0)到点M(1,3)和点N(4,-3)的距离和， 由两点之间线段最短可知，AE+CD最小值为MN=V(4-1)+(-3-3)2=√45=35. 9.(1)y=x2+2x-3 (2)6 (3)点P-2,-3 (4)存在，0的坐标为-1，-1)或(-1,2) 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)根据三角形面积公式直接求解： (3)过P作PM1x轴，交x轴于H,设Pt,2+2t-3),-3<1<0,由∠PBA=45°可得 PM=BM,再列方程即可求解； 答案第1页，共2页 (4)分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标， 根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在 抛物线上构造方程求解即可， 【详解】(1)解：：二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A-3,0),B1,0),C(0,-3)三点， 9a-3b+c=0 .{a+b+c=0, c=-3 a=1 b=2, c=-3 抛物线解析式为y=x2+2x-3; (2)解：AB=1--3)=4,ABC边AB上的高为3， 1 S48c=2×4×3=6: (3)解：过P作PM⊥x轴，交x轴于H,设Pt,t2+2t-3,-3<t<0, 2 AM B 5-4 23 则PM=-12-21+3,BM=1-t, 又∠PBA=45°， △PBM为等腰直角三角形， .PM=BM,即-t2-2t+3=1-t, 整理得t2+t-2=0, 解得1=-2或t=1（舍去)， 1=-2时，t2+2t-3=-3, 答案第1页，共2页 则点P的坐标为-2，-3； (4)解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H, 过点D作DG⊥QH交直线QH于G, H AG 图3-1 :抛物线解析式为y=x2+2x-3=(x+1)-4, ·.抛物线对称轴为直线x=-1, H-1,0, .0H=1; A-3,0, .AH=-1--3=2; 设点Q的坐标为-1，q,则QH=-9; 由旋转的性质可得∠AQD=90°， 又：∠AHQ=∠QGD=90°， .∠HAQ+∠HQA=∠HQA+∠GQD=90°， .∠HAQ=∠GQD, 又AQ=QD, △HAQ2AGQD(AAS, :DG=OH=-g,OG=AH=2, .HG=OH+OG=2-g, 点D的横坐标为-1-（-9)=-1+9，纵坐标为-(2-q=g-2, 答案第1页，共2页 D-1+q,9-2), :点D在抛物线上， .(-1+q+2(-1+q-3=q-2, q2-2q+1-2+2q-3=q-2, .g2-g-2=0, 解得9=-1或q=2(舍去)， 此时点0的坐标为-1，-1)： 如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作RS∥x轴， 分别过点A,点D作直线RS的垂线，垂足分别为R、S,设点Q的坐标为-1，q, R B(D) 图3-2 ∠R=∠S=90°； 由旋转的性质可得∠AQD=90°， .∠RAQ+∠RQA=∠RQA+∠SQD=90°， .∠RAQ=∠SQD, 又：AQ=QD, .aRAQ≌△SOB(AAS), ..OS=AR=q,DS=OR=-1-(-3)=2, 点D的横坐标为-1+q,纵坐标为q-2, D(-1+g,9-2), :点D在抛物线上， 答案第1页，共2页 .（-1+92+2(-1+q)-3=9-2, 92-2q+1-2+2q-3=q-2, .92-9-2=0, 解得9=2或9=-1（舍去）， 此时点0的坐标为(-1,2)： 综上所述，存在点Q使AQ=QD,此时点2的坐标为(-1，-1)或(-1,2). 10.(①A(-3,0),B1,0),对称轴为直线x=-20=-1 2a 好 (3)t=4 【分析】(1)把y=0代入函数解析式，求出x的值，可得点A、B坐标，进而得到抛物线的 对称轴： （2)设Mm,am2+2am-3a),-3<m<0,利用待定系数法可得直线AC的解析式为 y=-ax-3a,过点M作MN平行于y轴交AC于点N,得N(m,-am-3a),即得 MN=-am23a,由△MND∽△0CD得到OB=OC=-3m-m，即得到☐ 3m+3 S.NCD S.COD MD:OD=MN:OC=-= 奶++冫再根据三次函数的性质解 答即可求解； （3)分别过点E,F作x轴的垂线，垂足分别为K,Q,设对称轴与x轴的交点为G,可 华-大8，S即得到你乐GC吧P,当0即 t EF2 KO2 y=x2+2x-3,设P(-1,n),则直线EF的解析式为y=k(x+1+n,由 x+k+n=x2+2x-3得xE+xp=k-2,xE'xp=-3-k-n,得到 1_KG-G0.Er--++ke-(a+4+n+16 1+k2 即得 t KO2 (xE-XE) 2=2+4n+16 (a+4+码，化简行[(n+4-]k2+r(n+4-4n+4到=0，进而得到 答案第1页，共2页 t2(n+4)2-1=0,t2(n+4)2-4(n+4)=0,据此即可求解. 【详解】(1)解：当y=0时，ax2+2ax-3a=0, 解得x=-3,x2=1, :点A在点B的左侧， A-3,0),B(1,0), :对称轴为直线x=3+1-山， 2 (2)解：设Mm,am2+2am-3a,-3<m<0, 设直线AC的解析式为y=px+n,把A-3,0)和C0,-3a代入， -3p+n=0 得 n=-3a p=-a 解得 n=-3a .直线AC的解析式为y=-ax-3a, 如图1，过点M作MN平行于y轴交AC于点N, 图1 .N(m,-am-3a), :MN =-am2-3am, :MN∥OC, .△MND∽aOCD, MD MN ·0D=0C' C(0,-3a, 答案第1页，共2页 .0C=3a, :MD=MN=-am2-3am。1 m2-m, OD OC 3a S.wc :S.co0=MD:OD-MN:OC=-mm- 1 323 m+ 3 24 3c0, C当m三多时，S.vc.c的值最大，最大值为寻 (3)解：如图2，分别过点E,F作x轴的垂线，垂足分别为K,Q,设对称轴与x轴的 交点为G, 图2 PE KG PF OG ·EF=KO'EFKg' EF 十 =t, PE PF PE.PF 1PE·P .EF-KG-GQ.EF, KO2 当a=1时，y=x2+2x-3,设P(-l,n),则直线EF的解析式为y=k(x+1)+n, 由x+k+n=x2+2x-3,得x2+(2-k)x-3-k-n=0, :.xg+xp=k-2,xgx=-3-k-n, yE=k(xg+1)+n,yr=k(xF+1+n, :.yE-yF=k(xE+1)+n-[k(xp+1)+n=kxe-kxr, iEF=V(xg-x)+(kg-kxr)2=+k-x 1_KG-G0.Ef=-1-+.+kKe-x=(n+4、 1+k2 K@ (XE-XE) k2+4n+16 答案第1页，共2页 2=,2+4n+16 (n+4)2(1+k2）' 化简得，[2(n+42-1k2+2(n+42-4(n+4=0, n,t为与k无关的定值， .t2(n+4)2-1=0,t2(n+4)2-4(n+4)=0, 1 解得n+4=4,=16, t>0, .t=4. 11.(1)1 (2)点P的坐标为 (3)-2<m<0或1<m<3 【分析】(1)将点B(1,0)代入二次函数解析式，直接求解b的值. （(2)先求出点A、C的坐标，计算aABC的面积，再根据S。ABP=SBC,分P在x轴上方、 下方两种情况列方程，求解点P的坐标。 (3)先求出射线CB的平移方向与距离，确定平移后的抛物线解析式，再结合二次函数的 对称性与单调性，分析y2<乃<6的条件，求m的取值范围. 【详解】(1)解：将B(1,0)代入y=x2+bx-2, 12+bx1-2=0, 解得b=1: (2)解：由(1)得二次函数解析式为y=x2+x-2. 令y=0,则x2+x-2=0, x+2)x-1=0, x1=-2,x2=1, .A-2,0),AB=1--2=3. 令x=0,则y=-2, 答案第1页，共2页 C(0,-2),0C=2. 5c-7x48x0C=x3x2=3, 2 1 设P(x,川，则Sm=2×ABx刘=3， 3w-3. .y=2或y=-2(y=-2时，P不与C重合，需排除x=0的情况). 当y=2时， x2+x-2=2, 解得x=-1±+16。-1士7 2 2 当y=-2时， x2+x-2=-2, 解得x=0(与点C重合，舍去)，x2=-1, 点P的坐标为 2 (3)解：C(0,-2)、B1,0), :BC=V2+2=√5，点C(0,-2向右平移1个单位，向上平移2个单位得B(1,0) .原抛物线沿射线CB的方向平移√5个单位长度，即向右平移1个单位，向上平移2个单位. :原抛物线y=2+x-2=x+24 (129 :平移后解折式为y+2，即y=- 当x=1时，y2=12-1=0, 当y=6时，x2-x=6, 解得x=3,x3=-2, 抛物线对称轴为x=2,开口向上， XL01关于对称储=号的对称点为0,0， 答案第1页，共2页 人<八表示M到对称轴的距离大于N到对称轴的原离，即四司》> .m>1或m<0, 又y1<6,即-2<m<3, 综合得m的取值范围是：-2<m<0或1<m<3. 12.(1)a=-1 (2)30 (3)存在，点P的横坐标为3-√3或3. 【分析】(1)把点A(2,8)代入y=ax(x-6)(a≠0)即可得到答案： (2)如图，过A作AQ⊥OB于Q,过C作CT⊥OB于T,利用四边形0ACB的面积 =S40e+S形40Tc+Sc求解即可. (3)求解直线AB为y=-2x+12,分两种情况：当M在A的上方时，此时xM<2,如图， 当M在A的下方时，此时xM>2,再结合MP=QW建立方程求解即可. 【详解】(1)解：二次函数y=ax(x-6)(a≠0)的图象经过点A2,8, 2a×2-6=8, 解得：a=-1. (2)解：如图，过A作AQ⊥OB于Q,过C作CT⊥OB于T, 由(1)得：二次函数为：y=-x(x-6)=-x2+6x=-(x-3)2+9, YA .C3,9, 当y=0时，-xx-6=0, 解得：x=0或x=6, 答案第1页，共2页 .B(6,0, A2,8, 0Q=2,AQ=8,TQ=1,CT=9,BF=3, ∴.四边形0ACB的面积=S4og+S佛形40rc十ScTm 1 2×2×8+2×1×8+9列+2×3x9 =841727 22 =30, (3)解：如图，：A2,8),B(6,0), 设直线AB为y=c+b, [2k+b=8 6k+b=0’ k=-2 解得： b=12’ 直线AB为y=-2x+12, 当M在A的上方时，此时xM<2, 答案第1页，共2页 M 0 B :过点P作PM⊥x轴交直线AB于M,过点Q作ON⊥x轴交直线AB于N, PM∥QN, P(x,y),Qx2y2),0<x<x<6,x3=x+2, 月=-2+6x1,52=-x22+6x2=-(x+22+6x+2=-x2+2x+8, Mx,-2x+12,N(x1+2,-2x1+8, MP=-2x+12--x2+6x=x2-8x+12, 0N=-x12+2x1+8--2x1+8=-x2+4x1, :以点P,M,N,Q为顶点的四边形是平行四边形， :MP=ON, .x12-8x1+12=-x2+4x1, 解得：x,=3-√3(x=3+√3不符合题意舍去) 点P的横坐标为3-√5； 如图，当M在A的下方时，此时xM>2, 答案第1页，共2页 A B :P(x,y),Qx2,y),0<x<x<6,x2=+2, .y=-x2+6x1,y2=-x22+6x2=-x+2+6x+2=-x2+2x+8, .Mx,-2x1+12,Nx+2,-2x+8, MP=-x2+6x1--2x+12=-x2+8x1-12, 0N=-x2+2x,+8-(-2x1+8=-x2+4x1 同理：MP=QN, .-x12+8x1-12=-x2+4x, 解得：x=3, 综上：点P的横坐标为3-√5或3. 13.0y=-2x24 2x-x+2 33 ②匹边形40CP面积的这大值为子 ⑧作在点M使△MBC为等腰三角形，点M的坐标为-10成--或-)成-山 【分析】(1)根据待定系数法进行求解即可： 答案第1页，共2页 (2)连接0P,设点P%,--3中 ,t+2,然后根据割补法表示出四边形ADCP的面积，进 而根据二次函数的性质进行求解即可； 子产+2可知：对称维为直线x-,由题意可设-1，m,然后 点间距离公式可得MB2=(-1-1)2+(m-0)2=4+m2,MC2=(-1-0)2+(m-2)2=1+(m-2 ,BC2=(0-1)+(2-0)=5,进而根据等腰三角形的定义进行分类求解即可. 【详解】(1)解：由抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A-3,0)和点B(1,0),可知： 2 9a-3b+2=0 (a+b+2=0,解得： a3 4 b=- 3 .这个抛物线的函数表达式为y=- 2x2-4 x+2: 33 (2)解：连接oP,版点P-号-子+2小由烟意可知-31<0， B 令x=0时，则有y=2,即C(0,2, A-3,0),点D的坐标为-1,0)， 0A=3,0D=1,0C=2, .S图边形ADCp=S,AOP+S,ocp-S.Opc ×1×2 2 :-1<0,开口向下，且-3<t<0, :当1=-时，四边形4DCP的面积最大，最大值为？ 2 (3)解：存在点M使△MBC为等腰三角形，理由如下： 答案第1页，共2页 $$y = - \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } x + 2$$ 可知：对称轴为直线 x=-1， ，由题意可设 M(-1，m)， ∵B(1，0)，C(0，2)， $$\therefore M B ^ { 2 } = \left( - 1 - 1 \right) ^ { 2 } + \left( m - 0 \right) ^ { 2 } = 4 + m ^ { 2 } ， M C ^ { 2 } = \left( - 1 - 0 \right) ^ { 2 } + \left( m - 2 \right) ^ { 2 } = 1 + \left( m - 2 \right) ^ { 2 } ，$$ $$B C ^ { 2 } = \left( 0 - 1 \right) ^ { 2 } + \left( 2 - 0 \right) ^ { 2 } = 5 ，$$ 由 △MBC 为等腰三角形可分 当 MB=MC 时，则有 $$4 + m ^ { 2 } = 1 + \left( m - 2 \right) ^ { 2 } ，$$ ，解得：m $$\therefore M \left( - 1 ， \frac { 1 } { 4 } \right)$$ 当 MB=BC 时，则有 $$4 + m ^ { 2 } = 5 ，$$ ，解得： m=±1， ∴M(-1，1) 或(-1，-1)； 当 BC=MC 时，则有 $$5 = 1 + \left( m - 2 \right) ^ { 2 } ，$$ ，解得： $$m _ { 1 } = 4 ， m _ { 2 } = 0 ，$$ ∴M(-1，4) (不符合题意，舍去)或( (-1，0) 综上所述：当 △MBC 为等腰三角形时，点M的坐标为 -.0)或 (-1，-] $$\left( - 1 ， \frac { 1 } { 4 } \right)$$ (-1，1)， 答案第1页，共2页