1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理-【初中必刷题】2025-2026学年七年级下册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦七年级下册“整式的乘法”中乘法公式的计算与推理，通过具体例题导入，从基础计算到提升应用再到素养拓展，构建递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合几何直观（如用正方形面积验证(a+b+c)²公式）培养数学眼光，通过逻辑推理（如“递减数”数字问题）发展数学思维，以符号运算和模型应用强化数学语言。实例丰富且分层设计，助力学生提升运算与推理能力，为教师提供高效教学资源。

数 学 七年级下册 XJ 1 2 3 第1章 整式的乘法 4 1.2 乘法公式 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 运用乘法公式计算 1.【2024湖南益阳质检】计算 的结果为( ) B A. B. C. D. 【解析】 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 2.【2025湖南株洲期末】定义，如 . （1）若，求 的值； 【解】根据题意得， ，所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （2）若的值与无关，求 的值. 【解】 . 因为的值与 无关， 所以 解得 所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 3.【问题发现与提出】在探索研究“完全平方公式”时，喜欢思考的小明发现并提 出了新的问题：当,,均为正数时，如何说明 不成立？ 【问题探究与解决】 （1）同学们提供了不同的思路，其中小颖的思路：构造正方形，通过计算面积能 发现一个数学等式，从而说明上面式子不成立.请你帮小颖画出图形（标明字母 , , ），并写出这个数学等式，完成说理过程； 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 【解】构造正方形如图所示： 根据上图可得, , 故 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 【问题拓展与延伸】类比小颖发现的数学等式，解决下面的问题： （2）直接写出结果： _____________________________； 【解析】由（1）知 . 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 （3）已知，，求 的值. 【解】由（2）知 , 所以 ， 所以 ， 即 . 因为 ， 所以 . 因为 ， 所以 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 知识点2 运用乘法公式推理 4.【2024湖南郴州质检】我们在解题时，经常会遇到“数的平方”，那么你有简 便算法吗？这里我们以“两位数的平方”为例，请观察下列各式的规律，回答问 题： ; ; ; …… （1）请根据上述规律填空：__________________ _______； 1 444 【解析】，故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （2）我们知道，任何一个两位数（个位上的数字为，十位上的数字为, ） 都可以表示为,根据上述规律写出 ______________________ ___. 【解析】观察题中所给式子的规律可知， ，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 5.【2024河北唐山古冶区二模】如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不 相等且均不为0，满足 ，那么称这个四位数为“递减数”. 例如：四位数，因为 ，所以4 129是“递减数”. （1）判断四位数5 324是否为“递减数”； 【解】因为 ，所以5 324不是“递减数”. （2）若一个“递减数”为 ，求这个“递减数”； 【解】由题意得，解得 ，所以这个“递减数”是4 312. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （3）若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的 三位数 的和能被9整除，直接写出满足条件的“递减数”的最大值. 【解】满足条件的“递减数”的最大值为8 165. 由题意得，所以 ，所以 ，所以 是整数. 当时， 只能取9或0，不符合题意，舍去； 当时，，此时，取9或8或7时，均不符合题意， 时 符合题意，此时 ，故满足条件的“递减数”的最大值是8 165. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 思路分析 根据前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数 的和能被9整除， 化简得到是整数，再代入 的不同值计算. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 提升 1.【2025湖南张家界期中，中】如图是由四个长和宽分别为, 的 长方形拼合成的边长为的大正方形，中间阴影部分是边长为 的小 正方形，且.下列结论：； ； ； .其中正确的是( ) D A.①③④ B.②④ C.①③ D.①②③④ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 19 【解析】由题图可得，故①正确；因为 ，所 以，所以，故②正确；因为， ，所 以，所以，故③正确；由 得， ，所以，所以 .因为 ，所以 ,故④正确.故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 20 2.【2024湖南常德质检，中】对任意正整数 ，试说明： 的值是10的倍数. 【解】 .因为为正整数，所以为整数，即 的 值是10的倍数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 21 3.【2024北京海淀区调研，中】利用图形的几何意义可以验证公式 ,验证过程如下：如图（1）是边长为 的正方形， 其面积可以表示为或 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 22 （1）仿照图（1），在图（2）中的9个格子中填入相应的代数式，并计算 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 23 【解】在大正方形中的9个格子中填入相应的代数式，如图（1）所示，大正方形 的面积可以表示为或 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 24 （2）将图（3）中边长为 的大正方形分割，在每个格子中填入相应 的代数式，并计算 . 【解】将大正方形分割，在每个格子中填入相应的代数式，如 图（2）所示，大正方形的面积可以表示为 或 ，所 以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 25 （3）将棱长为的大正方体分割，如图（4），计算 . 【解】大正方体的体积可以表示为或 ，所以 . 关键点拨 根据题图（4）的分割方式，正确表示出分割成的每一部分的体积是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 26 刷素养 走向重高 4.核心素养 推理能力 【2024湖南永州质检，中】有如下一系列等式： ； ； ； ； …… 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 27 （1）根据你的观察，写出第8个等式： __________________ _____. 【解析】根据观察得到 ,故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 28 （2）试猜想 是哪一个数的平方，并说明理由. 【解】是 的平方. 理由如下： ，即 是 的平方. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 29 $