30.第四单元 第21讲 解直角三角形及其应用-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“解直角三角形及其应用”核心考点，严格对接课标“用锐角三角函数解直角三角形及实际问题”要求，梳理解直角三角形四种类型及仰角俯角、坡度坡角、方位角三大应用模型，分析近5年中考真题考点分布，归纳选择、填空、解答题常考题型。 课件亮点在于“真题情境+素养训练”模式，如2025达州无人机高度题，通过构造直角三角形、列方程求解，培养学生模型意识（数学语言）和推理能力（数学思维）。针对训练涵盖不同题型解题技巧，帮助学生掌握“辅助线构造+三角函数选择”方法，教师可依此精准突破考点，提升学生中考得分率。

第21讲　解直角三角形及其应用 第四单元　三角形 《中考导学案》 2026达州数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 素养储备·依标扣本 考点综述 01 3 课标 要求 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 知识 导图   首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)已知斜边和一直角边(c，a)，由sin A＝，求∠A； ∠B＝90°－∠A；b＝①__________；  (2)已知两直角边(a，b)，由tan A＝，求∠A；∠B＝90° －∠A；c＝②___________； (3)已知斜边和锐角(c，∠A)，则∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A； (4)已知一直角边和锐角(a，∠A)，则∠B＝90°－∠A，b＝，c＝　  知识点一 解直角三角形 解直角三角形 知识点一 首页 目录 知识点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5 仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线③_____的角叫仰角，视线在水平线④_____的角叫俯角 知识点二 解直角三角形的实际应用 解直角三角形的实际应用 上方 下方 坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平面的夹角叫坡角i＝tan α＝⑤_____ 方位角：“南北”∥“南北”，“东西”∥“东西”；“南北”偏“东西”， 图中讨论的每个点都画“十字架”， 如 东南方指南偏东45°方向.如图，点A在点B北偏东50° 方向，则点B在 点A⑥____________方向  南偏西50° 知识点一 首页 目录 知识点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养积累·考点过关 考点综述 02 7 例1 如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若∠A＝60°，求BC的长； 解：∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，∴∠E＝30°. 在Rt△ABE中， ∵AB＝6，tan A＝， 考点一 解直角三角形 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8 ∴BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6. ∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝， ∴CE＝＝8. ∴BC＝BE－CE＝6－8. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)若sin A＝，求AD的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号) 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝， ∴设BE＝4x，则AE＝5x，AB＝3x. ∴3x＝6，解得x＝2，∴BE＝8，AE＝10. ∴tan E＝，∴DE＝. ∴AD＝AE－DE＝10－. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 1.(2025·南通) 在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝2，则BC 的长为(　　) A.1　　　 B.2　　　 C.　　　 D.5 针对训练 C 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 2.如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为 (　　) A.3 B.3 C.3 D.6 D 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 3.(2025·乐山) 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2. (1)求AB的长； 解：过点A作AJ⊥BC于点J. 在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°， ∴AJ＝AC·sin 60°＝2×， CJ＝AC·cos 60°＝2×＝1. 在Rt△ABJ中，∠B＝45°， ∴BJ＝AJ＝，∴AB＝. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)求点C到线段AB的距离. 解：过点C作CK⊥AB于点K. 由(1)可知BC＝CJ＋BJ＝1＋. ∵S△ABC＝AB·CK＝BC·AJ， ∴CK＝， ∴点C到线段AB的距离为. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点1　仰角、俯角问题 例2 (2024·达州) “三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体(如图1)，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处. 考点二 解直角三角形的实际应用 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 15 借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°， 他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助 无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴 AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是 4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到 地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴 上DF的长度.(结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.73，≈1.41) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点M作MN⊥AB，垂足为N. 由题意知，四边形CMNB是矩形. ∴CM＝BN＝1.5米，MN＝CB＝6米， AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米). 在Rt△DMN中，tan∠DMN＝， ∴DN＝tan∠DMN·MN＝tan 30°×MN＝×6＝2(米). 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 在Rt△AEF中，sin∠AEF＝，∴AF＝ sin∠AEF·EF＝sin 45°×EF＝×4＝2(米). ∵AF＋DN＝AN＋DF， ∴DF＝2＋2－4.8≈2×1.41＋2×1.73－ 4.8＝3.46＋2.82－4.8＝1.48≈1.5(米). 答：中轴上DF的长度约为1.5米. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 4.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭 到达A点时，从位于地面R处的雷达站观测得知 AR的距离是6 km，仰角∠ARL＝30°，又经过 1 s后火箭到达B点，此时测得仰角∠BRL＝45°， 则这枚火箭从A到B的平均速度为__________km/s.  针对训练 (3－3) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5.(2025·达州) 为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾.已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度.(结果不取近似值) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点C作CD⊥AB于点D. 设BD＝x米. ∵AB＝30米，∴AD＝BD＋AB＝(x＋30)米. 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴CD＝AD·tan 30°＝(x＋30)米. 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°， ∴CD＝BD·tan 45°＝x米. ∴x＝(x＋30).解得x＝15＋15. ∴CD＝(15＋15)米. 答：无人机离湖面的高度为(15＋15)米. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6.(2019·达州) 渠县 人谷是国家AAAA级旅游景区， 以“奇山奇水奇石景，古 古洞古部落”享誉巴渠， 被誉为川东“小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似 一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今.一个周末，某 数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与 头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形 ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从 前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5 m， CD＝2.7 m.景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的 距离是3 m.于是，他们很快就算出了AB的长.你也算算?(结果精确到0.1 m.参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，≈1.41，≈1.73) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点B作BF⊥CE于点F. 设BF交过A的水平线于点H， 由题意知HF＝3 m. 在Rt△BFC中，BF＝BC·sin∠BCF≈3.20， CF＝BC·cos∠BCF≈3.85. ∴BH＝BF－HF≈3.20－3＝0.20. 在Rt△ADE中，DE＝≈1.73， ∴AH＝EF＝CD＋DE－CF≈0.58. 由勾股定理，得AB＝≈0.6(m). 答：AB的长约为0.6 m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点2　方位角问题 例3 (2025·东安雄才学校一模) 物流中心A与三个 菜鸟驿站B，C，D的平面示意图如图所示.D在A 的正南方，C在A的东南方向上且在D的北偏东30° 方向上，B在A的正东方且∠ABC＝37°，已知 AB＝5.6 km.(参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37° ≈0.8，tan 37°≈0.75，≈1.73). 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)求驿站B，C之间的距离； 解：过点C作CE⊥AB于点E. 设AE＝x km. ∴BE＝AB－AE＝(5.6－x) km. 在Rt△ACE中，∠CAE＝45°， ∴∠ACE＝45°＝∠CAE.∴CE＝AE＝x km. 在Rt△BCE中，∠B＝37°，tan 37°＝， ∴≈0.75.∴x≈2.4. ∴CE≈2.4 km.∴BC＝≈＝4(km). 答：驿站B，C之间的距离约为4 km. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)派送员小外计划9：00从A出发沿着A→B→C →D的路线派送快递到三个驿站，上午9：50完 成快递派送.但导航显示AB路段拥堵严重，于是 他改变路线(9：00出发)，沿着A→D→C→B的路 线派送快递到三个驿站.若AD路段行驶的平均速 度为40 km/h，其余路段行驶的平均速度为30 km/h且小外在每个驿站均停留7 min存放快递.请通过计算说明他能否在9：50之前完成派送. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点C作CF⊥AD于点F， ∴四边形AECF是矩形. 又∵AE＝CE，∴四边形AECF是正方形. ∴AF＝CF＝CE≈2.4 km. ∵∠D＝30°，∴DC＝2CF≈4.8 km， DF＝CF≈2.4×1.73≈4.2(km). ∵AD路段行驶的平均速度为40 km/h， ∴所需时间约为(h). 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∵其余路段行驶的平均速度为30 km/h， ∴沿D→C→B行驶所需时间约为(h). ∴总共用时约为×3＝(h)， h＝48.5 min＜50 min. ∴他能在9：50之前完成派送. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 7.(2016·达州) 如图，在一条笔直的 东西向海岸线l上有一长为1.5 km的码 头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端 N有20 km.一轮船以36 km/h的速度航 行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午 10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距 12 km. 针对训练 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l? 解：延长AB交l于点D，过点B作 BE⊥l于点E，过点A作AF⊥l于点F. ∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC ＝60°，∠CAF＝30°，∴∠ECB＝30°， ∠ACF＝60°.∴∠BCA＝90°. ∵BC＝12，AB＝36×＝24，∴AB＝2BC. ∴∠BAC＝30°.∴∠ABC＝60°. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°， ∴∠BDC＝∠BCD＝30°.∴BD＝BC＝12. ∴时间t＝(小时)＝20(分钟)， 10时40分钟＋20分钟＝11时. 答：若轮船照此速度与航向航行， 上午11：00到达海岸线l. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头?请说明理由.(参考数据：≈1.4，≈1.7) 解：能. 理由：∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC. 在Rt△BEC中，∵BC＝12，∠BCE＝30°， ∴BE＝6，EC＝6≈10.2. ∴CD≈20.4(km). ∵20 km＜20.4 km＜21.5 km， ∴若轮船不改变航向，该轮船能停靠在码头. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点3　坡度(坡角)问题 例4　(2021·达州) 2021年，州河边新建成了一座美丽 的大桥.某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的 活动，如图，桥墩刚好在坡角为30°的河床斜坡边， 斜坡BC长为48 m，在点D处测得桥墩最高点A的仰 角为35°，CD平行于水平线BM，CD长为16 m， 求桥墩AB的高.(结果保留一位小数，sin 35°≈0.57， cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，≈1.73) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，延长DC交AB于点G. 在Rt△CEB中，∠CBE＝30°，BC＝48， ∴CE＝BC＝×48＝24， BE＝BC·cos 30°＝48×＝24. ∴DG＝BF＝BE＋EF＝BE＋CD＝24＋16＝40≈69.2. 在Rt△ADG中，AG＝DG·tan∠ADG≈69.2×0.70＝48.44. ∴AB＝AG＋BG＝AG＋CE≈48.44＋24≈72.4(m). 答：桥墩AB的高约为72.4 m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8.(2017·达州) 如图，信号塔PQ坐落在坡度i＝ 1∶2的山坡上，其正前方直立着一警示牌.当太 阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落 在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上 的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高.(结果不 取近似值) 针对训练 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点M作MF⊥PQ于点F，过点Q作QE⊥MN于点E，则四边形EMFQ是矩形. 在Rt△QEN中，设EN＝x米，则EQ＝2x米. ∵QN2＝EN2＋EQ2， ∴20＝x2＋(2x)2，解得x＝2(负值已舍去). ∴EN＝2，EQ＝MF＝4. ∵MN＝3，∴FQ＝EM＝MN－EN＝1. 在Rt△PFM中，PF＝FM·tan 60°＝4(米)，∴PQ＝PF＋FQ＝(4＋1)米. 答：信号塔PQ的高为(4＋1)米. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点4　其他问题 例5 (2025·凉山州) 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°.(参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1米) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)求直吊臂OB的长； 解：由题意，得BM⊥OM. ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米， ∴在Rt△BOM中， OB＝≈≈10(米). 答：直吊臂OB的长约为10米. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 38 (2)直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时 针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米? 解：如图，记旋转后的点B，M的对应点为B'， M'，延长B'M'交OM于点F，过点B作BE⊥B'F 于点E，则∠BEF＝90°. ∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°. ∴四边形EFMB为矩形.∴EF＝BM＝3米. 由题意，得∠OB'M'＝36°，B'M'＝BM＝3米， OB'＝OB≈10米.在Rt△B'OF中，B'F＝ OB'·cos∠OB'M'≈10×0.81＝8.1(米)， ∴M'F＝B'F－B'M'≈8.1－3＝5.1≈5(米). ∴货物M约上升了5米. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 9.(2025·眉山) 人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是__________m.(结果精确到0.1 m，参考依据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)  针对训练 1.8 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 10.(2024·遂宁) 小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40 cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时(图1)，灯带的直射宽度DE(BD⊥BC，CE⊥BC)为35 cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时(图2)，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离.(结果保留一位小数)(sin 9°≈0.16，cos 9°≈0.99，tan 9°≈0.16) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：图2中，过点C作CK⊥AE'于点K，交BM于点J. 图1中，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴BD∥EC. ∵BM∥DE，∴四边形BDEM是平行四边形. ∴BM＝DE＝35 cm. ∴BC＝BM·cos 9°＝35×0.99≈34.65(cm). 图2中，∵BM∥AE'，CK⊥AE'， ∴CJ⊥BM.∴CJ＝BC·sin 30°≈17.33(cm). ∵AB⊥AE'，∴BA＝JK＝40 cm. ∴CK＝CJ＋JK≈17.33＋40≈57.3(cm). 答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3 cm. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 11.(2023·达州) 莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图，秋千链子的长度为3 m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9 m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少米.(结果精确到0.1 m；参考数据：sin 26° ≈0.44，cos 26°≈0.9，tan 26°≈0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2) 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点B作BT⊥ON于点T，过点A作AK⊥ON于点K.在Rt△OBT中，OT＝OB·cos 26°≈3×0.9＝2.7(m). ∵∠BMN＝∠MNT＝∠BTN＝90°， ∴四边形BMNT是矩形. ∴TN＝BM＝0.9 m. ∴ON＝OT＋TN≈2.7＋0.9＝3.6(m). 在Rt△AOK中， OK＝OA·cos 50°≈3×0.64＝1.92(m)， ∴KN＝ON－OK≈3.6－1.92≈1.7(m). ∴座板距地面的最大高度约为1.7 m. 首页 目录 考点一 考点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P45~46素养练测21 本讲内容结束 $