27.第四单元 第19讲 相似三角形(含位似)-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦相似三角形（含位似）核心考点，严格对接课标要求，系统梳理比例线段、相似判定与性质、位似变换等内容。通过分析近三年中考真题，明确相似三角形判定证明、实际应用等高频考点权重，归纳证明题、测量题、坐标变换题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点梳理+真题训练+技巧突破”模式，如通过2023达州真题解析相似三角形性质应用，结合例3示范“两角对应相等”判定推理过程，培养学生数学思维。针对实际测量问题（如例4塔高计算），构建相似模型强化数学语言表达，帮助学生掌握解题技巧。教师可依此精准复习，助力学生中考冲刺提分。

第19讲　相似三角形(含位似) 第四单元　三角形 《中考导学案》 2026达州数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 素养储备·依标扣本 考点综述 01 3 课标 要求 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比. 3.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 4.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似. *了解相似三角形判定定理的证明. 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 课标 要求 5.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方. 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识 导图 首页 目录 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 知识点一 比例线段及性质 比例线段及性质 成比例线段 黄金分割 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 7 概念：四条线段a，b，c，d满足a∶b＝c∶d，那么称这四条线段为成比例线段，a，d叫比例外项，b，c叫比例内项 成比例线段 比例性质 基本性质：⇔①__________(两内项之积等于两外项之积)  合比性质：⇔ 等比性质：＝…＝(b＋d＋f＋…＋n≠0)⇔ ad＝bc 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 比例中项：如果a∶b＝b∶c(或b2＝ac)，那么b是a，c的比例中项 概念：如图，点C把线段AB分成线段AC，BC，如果 ＝②________≈0.618，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫黄金分割点，叫黄金比 →[注意：一条线段上有2个黄金分割点] 黄金分割   知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图，若l1∥l2∥l3，则＝③ 知识点二 平行线分线段成比例 平行线分线段成比例 推论：平行三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.如图，DE∥BC，则 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 定义：各角④__________、各边⑤__________的两个多边形叫相似多边形.  以上两个条件缺一不可(反例：矩形与正方形；菱形与正方形) 相似比：(1)对应边之比；(2)有序性；(3)周长之比等于相似比；(4)面积之比等于相似比的平方 知识点三 相似多边形 相似多边形 相等 成比例 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)两角分别相等的两个三角形相似； (2)两边成比例且⑥______相等的两个三角形相似；  (3)三边成比例的两个三角形相似 知识点四 相似三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质 判定 一般三角形 夹角 直角三角形 (1)一个锐角对应相等； (2)两边成比例 两直角边成比例 斜边和一条直角边成比例 性质 (1)相似三角形对应角⑦______，对应边⑧________，对应高(中线、角平分线)⑨_______；  (2)相似三角形周长之比等于⑩_________，面积之比等于 ⑪______________ 相等 对应线段的比等于相似比 成比例 成比例 相似比 相似比的平方 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)将实际问题转化为相似三角形问题； (2)找出一对相似三角形； (3)根据相似三角形的性质，表示出相应的量，再列比例式求解 知识点五 相似三角形的实际应用 相似三角形的实际应用 步骤 类型 测量距离：测量不能直接到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解 测量 高度 (1)利用阳光下的影子：同一时刻，物 高与影长成比例 (2)利用标杆：AB为观测者⑫_____与地面的高度 (3)利用镜子的反射：反射角＝入射角 眼睛 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 概念：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的两个图形叫位似图形，这个点叫位似中心 知识点六 位似 位似 性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，面积比等于相似比的平方 (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点 (3)位似图形对应边平行(或在同一直线上)且成比例 (4)位似图形对应角相等 (5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或⑬__________________ (－kx，－ky) 知识点一 首页 目录 知识点二 知识点三 知识点四 知识点五 知识点六 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养积累·考点过关 考点综述 02 15 例1 (2025·通川区二模) 如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框 ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝ AE·AB，已知AB为2米，则线段BE的长为_____________米.  考点一 比例线段及性质 (－1＋) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 16 1.(2025·成都) 若＝3，则的值为__________.  2.(2023·达州) 如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为_________________cm (结果保留根号).  针对训练 4 (80－160) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例2 如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD.若AO＝2，OF＝1， FD＝2，则的值为__________.  考点二 平行线分线段成比例 1.5 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 18 3.(2025·乐山) 如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE ＝3，BC＝4，则EF的长为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 针对训练 B 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例3 已知：如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，∠CBD的平分线交AC于点E，且AE＝AB. (1)求证：△ABD∽△ACB； 证明：∵BE平分∠DBC， ∴∠DBE＝∠CBE. ∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB. ∵∠ABE＝∠ABD＋∠DBE， ∠AEB＝∠C＋∠CBE， ∴∠ABD＝∠C. 又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB. 考点三 相似三角形的性质和判定 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 20 (2)若AD＝4，CD＝3，求AE的长. 解：∵△ABD∽△ACB，∴. ∴AB2＝AD·AC. ∵AB＝AE，AD＝4，CD＝3， ∴AE2＝AD·AC＝4×(4＋3)＝28. ∴AE＝2. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 4.(2025·绥化) 两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它 们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是(　　) A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm 针对训练 B 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5.如图，网格中相似的两个三角形是(　　) A A.①与③ B.②与③ C.①与④ D.③与④ 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6.(2018·达州) 如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接 GH，则的值为(　　) A. B. C. D.1 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是(　　) A.AC2＝AD·AB B.CD2＝AD·BD C.BC2＝BD·AB D.CD·AD＝AC·BC D 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8.(2024·乐山) 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O.若，则＝__________.    首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上.添加一个条件使 △ADE∽△ACB，则这个条件可以是__________________________.(写出一种情况即可)  ∠ADE＝∠C(答案不唯一) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 10.如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若，则＝__________.  0.5 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例4 在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个 测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD 表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地 面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A， C，E在同一条水平直线上.已知AC＝20 m，CE＝10 m，CD＝7 m，EF＝1.4 m，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为__________m.  考点四 相似三角形的实际应用 18.2 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 29 11.(2025·甘肃) “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”. 风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已 被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活，某校 开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形 状相同的风筝.风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3∶1，如果小风筝两条对角线的长分别为30 cm和35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为__________cm.  针对训练 195 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 12.(达州期末) 如图所示是凸透镜成像的原理示意图，且AD∥l∥BC， 光屏上显示的缩小的实像高8 cm.若物体AH到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离OF1之比为5∶4，则物体的高为(　　) A.10 cm B.8 cm C.12 cm D.9 cm A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 13.(2023·南充) 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同 学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同 一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为(　　) A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12.5 m B 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 14.如图，有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 cm， 高AD＝80 cm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正 方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB， AC上，则加工成的正方形零件的边长是(　　) A.48 cm B.46 cm C.42 cm D.40 cm A 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 例5 如图，已知点O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为(3，－1)， (2，1). 考点五 位似 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 34 (1)以点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍，画出对应的△OA'B'，并写出点A的对应点A'的坐标； (2)直接写出△OA'B'的面积. 解：(1)如图，△OA'B'即为所求， 点A的对应点A'的坐标为(－6，2) 或(6，－2). (2)10　[△OA'B'的面积为×5× (2＋2)＝10.] 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 15.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中 心，若＝2，△ABC的周长为6，则△DEF的 周长为(　　) A.1.5 B.2 C.3 D.4 针对训练 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 16.如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分 别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位 似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的 位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是(　　) A.(2，4) B.(4，2) C.(6，4) D.(5，4) C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 考点四 考点五 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P41~42素养练测19 本讲内容结束 $