18.第三单元 小专题5 平面直角坐标系中图形的面积问题-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

小专题5　平面直角坐标 系中图形的面积问题 第三单元　函数 《中考导学案》 2026达州数学 1 类型一 有边平行于坐标轴或在坐标轴上(直接运用公式) 如图，以△ABC为例，当边AB在坐标轴上(或平行于坐标轴)时，直接使用三角形的面积公式S＝AB·h，其中边AB在坐标轴上(或平行于坐标轴)，h为边AB上的高(AB＝|xB－xA|或AB＝|yA－yB|). 方法解读 首页 类型一 类型二 类型三 2 首页 类型一 类型二 类型三 3 例1 如图，在平面直角坐标系中，A(－2，1)，B(－2，3)，C(2，2)，求△ABC的面积. 解：∵A(－2，1)，B(－2，3)， ∴AB＝2，AB∥y轴. ∵C(2，2)，∴点C到AB的距离为4.∴S△ABC＝×2×4＝4. 首页 类型一 类型二 类型三 1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的面积是(　　) 针对训练 B A.2　　　 B.4　　 　 C.8　　 　 D.6 首页 类型一 类型二 类型三 2.如图，已知抛物线y＝x2上有一点A，点A的横坐标是－2.过点A作 AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则△AOB的面积是__________.  8 首页 类型一 类型二 类型三 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，则四边形OABC的面积是__________.  100 首页 类型一 类型二 类型三 类型二 无边平行于坐标轴或在坐标轴上(割补法) 如图，以△ABC为例，三条边都不在坐标轴上(或平行于坐标轴)时，有如下方法： 　　方法1　分割法 方法解读 S△ABC＝S△ABD＋S△CBD ＝BD·|xC－xA| S△ABC＝S△ABD＋S△CBD ＝BD·|yC－yA| 首页 类型一 类型二 类型三 8 　　方法2　补形法 S△ABC＝S△AFC－S△BEC－S四边形ABEF S△ABC＝S△AEC－S△ABE－S△BEC 首页 类型一 类型二 类型三 9 例2 如图，在菱形OABC中，tan∠AOC＝，且点B落在反比例函数y＝－(x＜0)的图象上，点C落在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，连接BO并延长交反比例函数y＝(k≠0)的图象于点D，连接AD，则 S△ABD＝_________.   ＋1 首页 类型一 类型二 类型三 【思路点拨】过点B作BH⊥x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，根据tan∠AOC＝，设菱形OABC的边长为m(m＞0)，用m表示出点A，B，C的坐标，求得点的D坐标，再根据S△ABD＝S△ABO＋S△AOD即可求解. 首页 类型一 类型二 类型三 4.如图，已知A(3，2)，B(5，0)，E(4，1)，则△AOE的面积为_______.  5.已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y 轴交于点C，点D(4，y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当 BE＋DE的值最小时，△ACE的面积为__________.  针对训练 2.5 4 首页 类型一 类型二 类型三 6.如图，直线AB与双曲线交于A(1，6)，B(m，－2)两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC. (1)求直线AB与双曲线的表达式； 解：设双曲线的表达式为y＝. ∵点A(1，6)在该双曲线上，∴6＝，即k＝6. ∴双曲线的表达式为y＝. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵B(m，－2)在双曲线y＝上， ∴－2＝，即m＝－3，B(－3，2). 设直线AB的表达式为y＝ax＋b，则 解得 ∴直线AB的表达式为y＝2x＋4. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)求△ABC的面积. 解：∵点C是直线OB与双曲线y＝在第一象限的交点，∴点C与点B关于原点O对称.∴C(3，2). 作BG∥x轴，FG∥y轴，FG和BG交于点G，作BE∥y轴，FA∥x轴，BE和FA交于点E. ∵点A(1，6)，B(－3，－2)，C(3，2)， ∴EB＝8，BG＝6，CG＝4，CF＝4，AF＝2，AE＝4. ∴S△ABC＝S矩形EBGF－S△AEB－S△BGC－S△AFC ＝8×6－ ＝48－16－12－4＝16. 首页 类型一 类型二 类型三 类型三 平行线等积转化 当图形中有两条线互相平行，所求面积与平行线 有关时，一般用“等(同)底等(同)高，面积相等”进行 转化，根据原图形与平行线的位置关系，利用面积的 和或差求图形的面积.如图，AB∥CD，则S△ABC＝ S△ABD，转化为底或高在坐标轴上(或平行于坐标轴)的形式. 方法解读 首页 类型一 类型二 类型三 16 例3 如图，抛物线 y＝x2－2x－6与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点 P作 PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，OQ，PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S＝S1＋S2，求S的最大值，并求出此时点P的坐标. 首页 类型一 类型二 类型三 解：连接PC，过P作PH∥y轴交BC于点H. 由题意可得B(6，0)，C(0，－6)，则直线BC的表 达式为y＝x－6. ∵PQ∥AC，∴S△PAQ＝S△PCQ. ∴S△PAQ＋S△PBQ＝S△PCQ＋S△PBQ＝S△PBC＝ S△PBH＋S△PCH. 设P，则H(m，m－6). 首页 类型一 类型二 类型三 ∴S＝PH·|xB－xC|＝×6＝－m2＋9m＝ －(m－3)2＋. ∵－＜0，0＜m＜6， ∴当m＝3 时，S有最大值，最大值为， 此时m2－2m－6＝×32－2×3－6＝－， 即点P的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 7.(2025·黑龙江) 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为(3，－4). (1)求b与c的值； 针对训练 解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(3，－4)，∴y＝(x－3)2－4＝x2－6x＋5.∴b＝－6，c＝5. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等?若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在，点P的横坐标为或. [对于抛物线y＝x2－6x＋5，当y＝0时，x2－6x＋5 ＝0，解得x1＝1，x2＝5；当x＝0时，y＝5.∴OB＝ OC＝5，AB＝5－1＝4.∵∠COB＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB＝45°.过点B作x轴的垂线，在x轴上方的 首页 类型一 类型二 类型三 垂线上截取BD＝BA＝4，连接AD与BC交于点E，则D(5，4).∴∠DBC＝90°－∠OBC＝45°＝∠OBC.∴BC⊥AD，ED＝EA. 过点D作BC的平行线与抛物线交点即为点P. ∵S△BCA＝BC·AE，S△BCP＝BC·DE， ∴S△BCA＝S△BCP. 设直线BC的表达式为y＝mx＋5，则5m＋5＝0. 解得m＝－1. ∴直线BC的表达式为y＝－x＋5. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵BC∥PD，∴设直线PD的表达式为y＝－x＋q，由D(5，4)，得－5＋q＝4.解得q＝9. ∴直线PD的表达式为y＝－x＋9. 令－x＋9＝x2－6x＋5， 解得x＝或x＝. ∴点P的横坐标为或.] 首页 类型一 类型二 类型三 本讲内容结束 $