5.第一单元 小专题1 代数式求值与恒等变形-【中考导学案】2026年四川达州中考数学讲义本配套课件

小专题1　代数式求值与恒等变形 第一单元　数与式 《中考导学案》 2026达州数学 1 例1 (1)已知2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9，则4x2＋4xy＋9y2的值为__________.  (2)已知代数式ax4＋bx3＋cx2＋dx＋3.当x＝2时，代数式的值为20；当x＝－2时，代数式的值为16.当x＝2时，代数式ax4＋cx2＋3的值为__________.  (3)已知，则的值为_________.  类型一 整体代入求值 －15 18   首页 类型一 类型二 类型三 类型四 2 1.已知a，b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则a3＋a＋6b的值是(　　) A.14 B.－14 C.7 D.10 2.已知2x2－xy＝6，3y2＋2xy＝－9，则4x2＋4xy＋9y2的值为_________.  针对训练 A －15 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 3.如果a，b，c是正数，且满足a＋b＋c＝9，，求的值. 解：∵， ∴＝10. ∵a＋b＋c＝9， ∴a＝9－(b＋c)，b＝9－(a＋c)，c＝9－(a＋b). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 ∴ ＝ ＝－1＋－1＋－1 ＝10－3 ＝7. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 4.已知(x＋1)5＝ax5＋bx4＋cx3＋dx2＋ex＋f. 当x＝1时，(1＋1)5＝a×15＋b×14＋c×13＋d×12＋e×1＋f＝a＋b＋c＋d＋e＋f. ∴a＋b＋c＋d＋e＋f＝25＝32. 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法.请你巧用赋值法，尝试解答下列问题. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 (1)当x为多少时，可求出f?f为多少? (2)求－a＋b－c＋d－e＋f的值； (3)求b＋d＋f的值. 解：(1)令x＝0，则f＝(0＋1)5＝1. (2)令x＝－1， 则－a＋b－c＋d－e＋f＝(－1＋1)5＝0. (3)当x＝1时，a＋b＋c＋d＋e＋f＝32. 联立上式与(2)中结果可得2(b＋d＋f)＝32. ∴b＋d＋f＝16. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 例2 若a＞0，b＜0且|a|＜|b|，化简： (1)；(2). 解：∵a＞0，b＜0且|a|＜|b|， ∴－b＞0，ab＜0，a＋b＜0，a－b＞0. (1)＝1－1＝0. (2)＝－1＋1＋1＝1. 类型二 绝对值的化简 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 8 5.实数a，b，c在数轴上的位置如图所示. 针对训练 (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b－c__________0， a＋b__________0，c－a__________0；  (2)化简：|b－c|＋|a＋b|－|c－a|＝__________.  ＜ ＜ ＞ －2b 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 例3 已知a，b为正数，且满足a2＋b2＝5，ab＝2.求下列各式的值： (1)a＋b；　　　　　　(2)a2－b2. 解：(1)∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝5＋2×2＝9，∴a＋b＝±3. ∵a，b是正数，∴a＋b＝3. (2)∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝9－2×4＝1，∴a－b＝±1.∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝±3. 类型三 完全平方公式恒等变形运用 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 10 6.阅读材料：若x满足(9－x)(x－4)＝4，求(4－x)2＋(x－9)2的值. 设9－x＝a，x－4＝b，则(9－x)(x－4)＝ab＝4，a＋b＝(9－x)＋(x－4)＝5. ∴(4－x)2＋(x－9)2＝(9－x)2＋(x－4)2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×4＝17. 请仿照上面的方法解决下面问题： 已知m满足(2m－5)2＋(4－2m)2＝5. (1)求(5－2m)(4－2m)的值； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 解：设2m－5＝x，4－2m＝y， ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy， 4m－9＝(2m－5)－(4－2m)＝x－y， 2m－5＋4－2m＝x＋y＝－1. ∵(2m－5)2＋(4－2m)2＝5， ∴x2＋y2＝5. ∵(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2， ∴1＝5＋2xy.∴xy＝－2. ∴(5－2m)(4－2m)＝－xy＝2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 (2)求4m－9的值. 解：∵(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝5－2×(－2)＝9，∴4m－9＝x－y＝±3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 例4 当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n＋1)2－(2n－1)2是_______的倍数(　　)  A.3 B.5 C.7 D.8 类型四 整除问题 D 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 14 7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都 是“完美数”.则下列结论中错误的是(　　) A.20是“完美数” B.最小的“完美数”是4 C.“完美数”一定是4的奇数倍 D.小于30的所有“完美数”之和是60 针对训练 D 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 8.(2025·宁夏) 定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫作“极差数”.例如三位数231，因为3－1＝2，所以它是“极差数”. 【理解定义】三位数265是否为“极差数”?__________.  【建模推理】 (1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与 b，c的关系式为_____________；  不是 b－c＝a 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 (2)任意一个“极差数”都能被11整除吗?为什么? 解：设一个“极差数”为(a，b，c为正整数)，则b－c＝a，b＝a＋c. ∴＝100a＋10b＋c ＝100a＋10(a＋c)＋c ＝100a＋10a＋10c＋c ＝110a＋11c ＝11(10a＋c). ∵a，b，c为正整数，∴10a＋c为正整数. ∴11(10a＋c)能被11整除， 即任意一个“极差数”都能被11整除. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 本讲内容结束 $