21.3 特殊的平行四边形 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3 特殊的平行四边形 同步练习 一、单选题 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．矩形 B．菱形 C．等腰三角形 D．平行四边形 2．已知四边形是矩形，对角线，相交于点，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，对角线交于点．，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D．10 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，两点的坐标分别为，，则菱形的面积为（    ）    A．24 B．48 C． D． 5．如图，菱形的边长为2，，，分别是，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上．若点，的坐标分别为，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边上有一点E，连接交对角线于点F，连接． 若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点为平面直角坐标系第一象限内一点，轴于点，轴于点，平分，于点，则的值是（    ）    A．1 B．2 C． D． 9．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（   ）． A． B． C． D．2 10．如图所示，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．若的长为2，则的长为（    ） A． B． C． D．1 二、填空题 11．一个菱形的对角线长为5和6，则其面积为 ． 12．如图，四边形是平行四边形，当 时，是矩形．（只能添加一个条件） 13．如图，在矩形中，，，分别平分，，交，于点，．要使四边形为菱形，则的长为 ． 14．如图，周长为16的菱形的对角线相交于点O，E为的中点，连接．则的长为 ． 15．如图，点为正方形的中心，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接.则以下四个结论中：①，②，③，④．正确结论为 . 16．如图，在矩形中,，点F是上一动点(包括端点E，C)，点P是的中点，连接，则的最小值为 ． 17．如图，矩形纸片中，E、F分别是的中点，M、N是上的两点，分别沿折叠纸片，使A、D都落在上的点P处，若，则这个矩形的面积是 ．    18．如图，正方形的边长是2，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接当最小时，的长是 ．    三、解答题 19．如图，四边形是矩形，，交的延长线于点，，交的延长线于点，连接． 求证：四边形是菱形． 20．如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度．    (1)请在所给的网格内画出以线段、为边的菱形，并写出点的坐标________； (2)菱形的面积为________． 21．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.    (1)当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (2)只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 22．如图，，C是上一点，平分且过的中点O，交于点D，，交于点E． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 23．如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点（点D不与点A重合），连接，过点C作交延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，点D是中点，求四边形的周长． 24．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、．    (1)用含的代数式表示： ______ ； ______ ； ______ ． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由． 25．在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)问题发现：如图1，当点与点重合时，点在边上，连结，与的数量关系是______；与的位置关系是______； (2)拓展探究：如图2，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； (3)解决问题：如图3，若，，请直接写出四边形的面积． 26．如图在正方形中，E是对角线上的一动点（不与点B，D重合），连接，过点E作交射线于点F，接． (1)发现问题：如图1，当点F落在边上时，和的数量关系是 ． (2)探究问题：如图2当点F落在边的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请判断并说明理由． (3)拓展应用：当点E在射线上运动，且时，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项D的平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．C 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵矩形的四个角都是直角， ∴； 故A正确，不符合题意； ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴，， ∴； 故B、D正确，不符合题意； C错误，符合题意； 故选：C 3．B 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等；利用此性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； 故选：B． 4．B 【分析】计算出的面积即可求解． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查菱形面积的求解．抓住是解题关键． 5．C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，解题的关键是作出关于的对称点，连接，当时，有最小值，最小值为的长，解直角三角形求得即可． 【详解】解：如图，关于的对称点，连接， 菱形关于对称，是边上点， 是边上的点，， 当时，有最小值，最小值为的长． 菱形的边长为2，， ， 的最小值为． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 过点作轴，证明，得到，，计算的长即可得到答案． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 由题可得：，，， ∴， ∴，， 点，的坐标分别为，， ， ， ， ， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系，根据正方形的性质得到，，结合得到，结合三角形内角和定理及即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】延长交轴于点，证四边形是矩形，得，再证，，，从而代入即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，如图，    ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵轴， ∴， ∴，   ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理以及矩形的判定及性质，熟练掌握矩形的判定及性质以及等角对等边是解题的关键． 9．A 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，首先证明是的中位线，得到，然后由正方形的性质与勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即可求出的长度，最后代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵E是上的动点， ∴当点和点重合时，最大 ∴， ∴ ∴的最大值为 故选：A． 10．B 【分析】根据折叠和正方形的性质求出，再利用求解即可． 【详解】解：由题意得： 由折叠性质可得：， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，先求出是关键． 11． 【分析】本题考查了菱形的面积等于对角线乘积的一半知识，根据公式即可求解． 【详解】解：菱形的对角线长为5和6， 菱形的面积， 故答案为：． 12．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 13．/ 【分析】先根据矩形的性质和角平分线的定义得到，进而证明，利用勾股定理得到，由菱形的性质得到，则． 【详解】解：∵在矩形中，平分，， ， ， ， ． 又， ． 要使四边形为菱形，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．2 【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质．根据菱形性质求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得． 【详解】解：四边形是菱形， ， 是的中点， ， 菱形周长为16， ， ， 故答案为：2． 15．①③④ 【分析】根据已知对各个结论进行分析，从而确定正确的个数．作于，连接，由全等三角形的判定定理可得≌，得出是的中位线即可得出结论；根据是的中位线，得出，由，可得出结论；易证得是等腰三角形，继而证得；求出即可求出结论． 【详解】解：作于，连接，根据正方形性质和角平分线的定义可知，，， 平分，， ， ，， ， ，， ， 、、在同一直线上， ≌ ， 是的中位线 ；故正确； ，， 是的中位线， ，， ， ， ，故错误． 由可知，， ，， ， ， ，故正确； ， ， ， ；故正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质，解决本题的关键是作出辅助线，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答． 16． 【分析】连接，取的中点，过点作于点，连接， 判定四边形，都是正方形，是中位线，得到点P的运动轨迹为，根据垂线段最短原理，当P与重合时，最短，此时解答即可． 本题考查了中位线，矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．明确的最小值的情况是解题的关键． 【详解】解：连接，取的中点，过点作于点，连接， ∵矩形中,， ∴，，， ∴四边形，都是正方形， ∴， ∴， ∴是中位线， ∴点P的运动轨迹为， 根据垂心段最短原理，当P与重合时，最短，此时 故答案为：． 17． 【分析】由折叠的性质和矩形的性质可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：连接，   四边形是矩形，、分别是、的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 分别沿、折叠纸片，使、都落在上的点处， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 同理可求， 是等边三角形， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 18． 【分析】由翻折知，由可知当点、、三点共线时，最小，再利用面积法可得的长． 【详解】解：由图可知，， 当点、、三点共线时，最小， 将沿翻折得到， ， 连接，设，   由勾股定理得，， ， ， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，确定当点、、三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 19．见详解 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质．根据题意先证四边形是平行四边形，再由即可． 【详解】证明：四边形是矩形 , 四边形，四边形都是平行四边形 四边形是平行四边形 四边形是菱形． 20．(1)图见解析， (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，找到点的坐标，即可； （2）根据菱形的面积为：对角线的乘积的一半，即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴点， 连接，，如图： （2）∵，， ∴菱形的面积：． 【点睛】本题考查菱形，平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，菱形的面积计算． 21．(1)或 (2)当Q点的速度为时，四边形为菱形 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理． （1）过点B作于H，证明四边形是矩形，得到，则，在中，由勾股定理得；只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作于H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，   Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 当点Q在上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形， 当时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示：   即 只需即可， 由题意得，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示：    同理 只需，四边形是平行四边形 ∵， 解得： 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （2）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形 只需满足即可 由题意得，，， ，， 解得：， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 22．(1)证明见解析 (2)菱形；理由见解析 (3) 【分析】（1）由即可得出结论． （2）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． （3）由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． （2）四边形是菱形 证明：由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）解：由（2）得四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得证； （2）利用直角三角形的性质得到，证明四边形是菱形可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在中，点D是中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长． 24．(1)，， (2)能， (3)不能，理由见解析 【分析】（1）由已知条件可得中，即可知，然后问题可求证； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可知； （3）四边形不为正方形，若该四边形是正方形即，即，此时，根据求得的值，继而可得，可得答案． 【详解】（1）∵中，，， ． 在中，，， ， 故答案为：，，； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即，解得：， 即当时，四边形是菱形； （3）解：四边形不能为正方形，理由如下： 当时，． ， ， ， ， 时， 但， 四边形不可能为正方形． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 25．(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，则，证明，即可证明； （2）设相交于点H，证明，即可证明结论； （3）设相交于点H，求出，则，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：菱形中，，， 是等边三角形， ∴，， 是等边三角形， ，， 在与中， ， ∴， ， ∵是菱形的对角线， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 菱形中，， 、是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ∴，即， 在与中， ， ∴， （3）解：设相交于点H，如图， ∵是菱形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ． 【点睛】此题考查了菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． 26．(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)5或13 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等： （1）过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，证明四边形是正方形得到，进而证明，即可得到 （2）仿照（2）求解即可； （3）分点E在线段上和在线段的延长线上两种情况利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解；（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：如图当点E在线段上时， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， 又∵， ∴； 如图所示，当点E在延长线上时，过点E分别作直线，直线的垂线，垂足分别为H、G 同理可得四边形是正方形， 同理可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为5或13． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $