第二十章 勾股定理 单元测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 单元测试卷 一、单选题 1．三角形边长分别为下列各数，其中不能围成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．1，2， C．5，12，13 D．6，7，8 2．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 3．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（    ） A．5.5 B．5 C．4.5 D．6 4．如图，数轴上的点表示的数是，，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点C，则点表示的数为(　　) A． B． C． D． 5．中，，，的对边分别为，，．能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（    ） A．已知是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C．中，分别是、、的对边，若，则 D．中，分别是、、的对边，若，则 7．如图，在中，，，点在的延长线上，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，一支长为的铅笔放在长方体笔筒中，已知笔筒的三边长度依次为，，，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是（    ）    A． B． C． D． 10．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 二、填空题 11．平面直角坐标系中，有点和点，连接，线段的长为 ． 12．一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则折断处离地面的高度是 尺． 13．在中，，，，则 °． 14．在等腰三角形中，腰长为5，底边长为8，则该三角形的面积是 ． 15．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    16．已知勾股数的两个数分别是，，则勾股数的第三个数是 ． 17．如图中，点为的中点，，，，则的面积是 ． 18．如图，在与中，，，，点在内，连接，，．若，，，则的长为 ． 三、解答题 19．在中，，若，．求a，b的长． 20．如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 21．如图，在中，，是高．若，，求的长． 22．如图，已知在中，是上一点，且，，，． 求的面积． 23．如图，在中，，点D为上一点，连接，，，．    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 24．高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带．在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？（假设绳子是直的，结果保留根号）    25．已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O． (1)若，，，则 ； (2)若，，则 ； (3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 26．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 27．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理的内容是解题的关键．根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，即以，，为边能组成直角三角形，故该选项不符合题意； B、，即以1，2，为边能组成直角三角形，故该选项不符合题意； C、，即以5，12，13为边能组成直角三角形，故该选项不符合题意； D、，即以，，为边不能组成直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中的应用，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：正方形的面积, 正方形的面积， ∵， ∴ 故选：B 3．C 【分析】本题考查勾股定理，由直角三角形的周长和斜边长可得两直角边之和，结合勾股定理和完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，先根据勾股定理求得，进而结合数轴，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 点表示的数为． 故选：B． 5．D 【分析】本题需根据直角三角形的判定条件，分别对每个选项进行分析判断即可得解。本题主要考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握这些定理并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ， ， 解得， ∴，故A项错误． 设，，． ，不满足勾股定理逆定理，故B项错误． 设，，． ， ， 解得， ∴，故C项错误． ，满足勾股定理逆定理， ∴，故D项正确． 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查的是勾股定理，熟知定理内容是解答此题的关键． 根据勾股定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵ 勾股定理规定：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； A、三角形未必是直角三角形，∴ 不一定成立，故说法错误； B、直角三角形中，任意两边的平方和不一定等于第三边的平方，只有两直角边的平方和等于斜边的平方， 故说法错误； C、在中，，则a是斜边，∴ 应有，而非，故说法错误； D、在中，，则c是斜边，∴ ，说法正确； 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法，30度的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据30度的直角三角形的性质得，运用勾股定理得，再根据等面积法进行列式得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵在中，，， ∴，， 则， ∵ ∴ 则 ∴ ∵，， ∴， 则， ∴， 故选：D 8．B 【分析】本题考查轴对称最短问题、勾股定理等知识，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即的周长最小．求出、的长即可解决问题．解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，即的周长最小． 在中，，，， ， 根据勾股定理可得 ， ， ∴， 在中，， ， 的周长的最小值， 故选：B． 9．B 【分析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为，由勾股定理得，长方体的对角线长为，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为， 由勾股定理得，长方体的对角线长为， 当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为， ∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 10．B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了两点间的距离，以及勾股定理：计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点， ∴线段的长为， 故答案为：． 12．4 【分析】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解． 【详解】如图所示，    设折断处离地面的高度是x尺， 根据勾股定理得， 解得． 故折断处离地面的高度是4尺， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用． 13． 90 【分析】本题考查勾股定理逆定理，能够通过勾股定理逆定理得到三角形为直角三角形是解题关键； 先通过三角形三边的长度关系得到三角形为直角三角形，进而可求解． 【详解】解：中，，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且为斜边， ∴， 故答案为：90． 14．12 【分析】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据等腰三角形的性质，底边上的高将底边平分，应用勾股定理求高，再代入面积公式计算． 【详解】解：在等腰三角形中，底边上的高将底边平分， 故底边的一半为． 根据勾股定理，高h满足， 即， 解得：（负值舍去）， 所以该三角形的面积(底边×高)． 故答案为：12． 15． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，根据即可列出方程． 【详解】解：作，如图所示：   ， ∵ ∴ 故答案为： 16． 【分析】此题考查了勾股数，构成一个直角三角形的三边的一组正整数，叫做勾股数，根据勾股数的定义列式计算即可，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为， ∵是一组勾股数， 则， ∴，是整数，符合题意； ， ∴，不是整数，不符合题意； 综上可知：勾股数的第三个数是， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理逆定理等知识；延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积． 【详解】解：如图，延长至，使，连接CE， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为： 18． 【分析】由勾股定理得，，则，证明，则，，如图，延长交于，则，，即，由，可得，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 如图，延长交于， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 19．6，8 【分析】根据，设，根据勾股定理可得，结合题意求得的值即可求解． 【详解】解：设，根据勾股定理可得． 又，即， 所以， 因此． 即a，b的长分别为6，8． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 20． 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， , 在中，， ， 即, , 的面积为, 的面积为, 阴影部分面积为， 故阴影部分面积为24． 21． 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形；先证明是等腰直角三角形，求出，再在中利用勾股定理即可求出. 【详解】解：， ． 是的高， ， ． 在中，． ． ． ． 在中，． ． 22． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，根据勾股定理的逆定理得出是解题的关键． 已知三边的长度，运用勾股定理的逆定理首先证出，然后在直角中，应用勾股定理求出，则，最后根据三角形的面积公式得出的面积． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 的面积． 23．(1)是直角三角形，理由见解答 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形，从而可得，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）设，则，然后在中，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：在中，．，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 是直角三角形； （2）解：设，则， ， ， 在中，， ， ， 即． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 24． 【分析】在中，根据勾股定理可求出的值，以的速度收绳，后船移动到点的位置，可求出的长，中，可求出的长，根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ∴， ∴中，， ∴， ∴船向岸边移动了． 【点睛】本题主要考查勾股定理在实际生活中的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 25．(1) (2)7 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）利用勾股定理即先求出的长，再利用勾股定理可求出的长． （2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到，据此可得答案． （3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ，，，，， ，， ． 故答案为：． （3）解：由（2）得：， ． 故答案为：． 26．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 27．(1)5； (2)见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为5；； （2）解：由图可知： ， 整理得：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $