精品解析：浙江绍兴市柯桥区2025-2026学年九年级上学期2月期末数学试题

2025学年第一学期九年级期终学业评价调测试卷（2026.2） 数学试卷 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷两部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共6页． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是 3. 若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是( ) A. B. 或 C. 或 D. 5. 将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，真命题有（ ）个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点在边上，连接．点、都以的速度同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿线段运动到点时停止．连接．设点的运动时间为秒，的面积为，两点运动的过程中，与的函数关系如图2所示，则下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③当时，； ④当在线段上，且平分时，． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的对称轴是______． 12. 在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则_____． 13. 如图，、是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且，则的度数是______． 14. 如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 15. 已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______． 16. 如图，菱形中，，，、分别是、上的点，且，连接与交于点，过点作于点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题各8分，第22～23题各10分，第24题12分，共72分） 17. （1）计算：； （2）已知，且，求的值． 18. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母） （1）在图1中，画出的外心； （2）在图2中，在线段上找一点，使得． 19. 明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着（楼梯），（客厅），（走廊），（洗手间）四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯． （1）若明明任意按下一个开关，则打开走廊灯的概率是_____． （2）若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 20. 如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆与始终在同一平面内． （1）如图2，转动连杆，使成平角，，求连杆端点D离桌面的高度． （2）将图②中的连杆再绕点C逆时针旋转，如图③，此时连杆端点D离桌面的高度减小了多少？（参考数据：） 21. 如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. （1）如图1，在中，点在边上，连接，点在上，连接，且，，求证：； （2）如图2，在平行四边形中，、交于点，点在线段上，连接，且，，若，，求的长． 23. 已知二次函数（、是常数）． （1）若该函数经过点，，求该函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若该函数图象上有一点，向右平移3个单位后仍在该函数图象上，求点的坐标； （3）当时，在的范围内，该抛物线的图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的2倍．求的取值范围． 24. 如图1，内接于，过点作弦，垂足为，连接，． （1）若，求证：； （2）如图2，若为的直径，过点作弦，分别与、交于点、． ①求证：； ②连接，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期终学业评价调测试卷（2026.2） 数学试卷 考生须知： 1．全卷分试题卷和答题卷两部分，考生须在答题卷上作答．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．试卷分试卷Ⅰ（选择题），试卷Ⅱ（非选择题）两部分，共6页． 试卷Ⅰ（选择题，共30分） 请将本卷的答案，用铅笔在答题纸上对应的选项位置涂黑、涂满． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、约分等知识点，掌握约分成为解题的关键． 由可得，把代入约分即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得． 故选C． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下 C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件； B、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下，是随机事件； C、打开电视机，正在播放“快乐大本营”，是随机事件； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件； 故选D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 4. 如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是( ) A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此进行计算即可． 【详解】解：以坐标原点O为位似中心，将放大为原来的2倍， 则：点E的对应点的坐标是或，即：或； 故选C． 5. 将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：该抛物线向左平移4个单位，则新的函数表达式为 ， 再向下平移1个单位，则新的函数表达式为， ∴新抛物线的函数表达式为 ． 故选：A． 6. 已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割点的概念．黄金分割点将线段分为两部分，较长部分与整个线段的比值等于较短部分与较长部分的比值，该比值为． 根据题意，说明点靠近，此时为较长部分，然后运用黄金分割点的定义求解即可． 【详解】解：由线段，点是黄金分割点且，则为较长部分． 根据黄金分割的定义，代入，得：． 故选B． 7. 下列命题中，真命题有（ ）个 ①三点确定一个圆；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理、三角形外心的性质，逐一判断命题真假，统计真命题的个数． 【详解】解：①∵不在同一直线上的三点才能确定一个圆，∴“三点确定一个圆”是假命题． ②∵等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，长度相等的弧不一定能重合，∴“长度相等的两条弧是等弧”是假命题． ③∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴“相等的圆心角所对的弧相等”是假命题． ④∵平分弦（弦不是直径）的直径才垂直于弦且平分弦所对的弧，若弦为直径，两条直径互相平分但不一定垂直，∴该命题是假命题． ⑤∵三角形的外心是三边垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，∴三角形外心到三个顶点距离相等，该命题是真命题． 综上，真命题只有1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，确定圆的条件、等弧的定义、圆心角与弧的关系、垂径定理、三角形外心的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 8. 已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的对称轴，求出关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的增减性，即可求出答案． 【详解】解：， 二次函数的开口向上，对称轴是直线， 在对称轴的右侧随的增大而增大， 点关于直线的对称点是， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质． 9. 如图，中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、关键是灵活应用知识点解题． 由旋转可得，则，然后利用可证得到比例关系，则可求． 【详解】解：令的交点是， ∵， ∴， ∵将绕着边中点旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴． 故选：C． 10. 如图1，在矩形中，点在边上，连接．点、都以的速度同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿线段运动到点时停止．连接．设点的运动时间为秒，的面积为，两点运动的过程中，与的函数关系如图2所示，则下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③当时，； ④当在线段上，且平分时，． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点在矩形中运动，其过程轨迹和函数图象相结合．观察点P的移动轨迹，确定出图1和图2的对应点：，，，，观察点Q的移动轨迹，确定出图1和图2的对应点：，，，依次求出，，长度都为；，解得，即，也是，然后作出，点，使得平分，利用的面积公式，解得，，，据此计算逐一判断即可． 【详解】解：图1中，当点P移到点E时，对应图2中的点，同时点Q也到点， 即线段和用时5秒，而点P移动速度是，则， 图1中，当点P从点E到时，对应图2中从点到点，用时， 同时点Q从到C，点对应点，用时5秒，故， ∴，， 解得， 当P移到时，平分， 则， 在中，，，得， ∴， ∴，①说法错误； ∴，②说法正确； 又， 在中，，，得， ∴， 在中，， ，， ∴， ∴， ∴当点P在线段上，且平分时，t的值等于秒，④说法正确； 当时，如图， ，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴此时与不可能相似，③说法错误； 故选：B． 试卷Ⅱ（非选择题，共90分） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线． 直接根据顶点式的性质作答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线． 故答案为：直线． 12. 在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 13. 如图，、是以线段为直径的上两点（位于两侧），，且，则的度数是______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论、等腰三角形的性质，关键是灵活应用知识点解题；根据圆周角定理可得，进而求得，然后利用等腰三角形求得，则的度数可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心、角平分线的性质、平行线的性质，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，根据点为的内心，可知，，根据平移的性质可证，，根据等角对等边可知，，根据周长的公式可得阴影部分的周长就是的长度． 【详解】解：如图所示，连接、， 点为的内心， 平分，平分， ，， 由平移的性质可知：，， ，， ，， ，， 阴影部分的周长为． 故答案为：. 15. 已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数在区间上的最值，掌握好二次函数的图象与性质是解题关键． 先判断图象的开口方向和对称轴，根据区间与对称轴的相对位置进行分类讨论，结合二次函数的增减性，求出的值． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， 当和关于对称轴对称时，，解得， ①当时， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 16. 如图，菱形中，，，、分别是、上的点，且，连接与交于点，过点作于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，过点作的垂线，交的延长线于点，过点、作的垂线，垂足为、，作，垂足为，由菱形的性质可判断出是含有角的直角三角形，进而求出与．由平行可判定，则点是的四等分点，是一个定点．容易证明、，根据相似三角形的性质，依次计算出、、、、．利用矩形的性质和勾股定理计算出和，由直角三角形的性质求出．根据线段公理可得，当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、，过点作的垂线，交的延长线于点，过点、作的垂线，垂足为、，作，垂足为， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在直角中，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，根据动点的特征判断出运动轨迹是解题关键． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题各8分，第22～23题各10分，第24题12分，共72分） 17. （1）计算：； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值和代数式求值，熟练掌握运算法则计算是解题的关键； （1）代入特殊角的三角函数计算即可； （2）根据题意设，则，，，进而代入计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：设， ，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母） （1）在图1中，画出的外心； （2）在图2中，在线段上找一点，使得． 【答案】（1） 如图所示： （2） 如图所示： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的外接圆与外心、垂直平分线性质、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握利用网格作图基本方法． （1）由三角形外接圆的性质：圆心到三角形三个顶点的距离相等（为外接圆半径），因此，作三角形任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是三角形外接圆的圆心，找格点，连接，找格点，连接交于点，如图所示，即可得到答案； （2）找格点，连接交于点，如图所示，由三角形相似的判定与性质求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：找格点，连接，找格点，连接交于点， 是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， 的外心即为所求； 【小问2详解】 解：找格点，连接交于点， ， ， 则， ， 线段上点即为所求． 19. 明明家客厅里装有一种开关（如图所示），从左到右依次分别控制着（楼梯），（客厅），（走廊），（洗手间）四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯． （1）若明明任意按下一个开关，则打开走廊灯的概率是_____． （2）若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，熟记求随机事件的概率公式是解题的关键； （1）根据简单事件概率的公式计算即可； （2）根据题意画树状图求概率即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：画树状图如下，共有个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有个， ． 20. 如图①，一台灯放置在水平桌面上，底座与桌面垂直，底座高，连杆与始终在同一平面内． （1）如图2，转动连杆，使成平角，，求连杆端点D离桌面的高度． （2）将图②中的连杆再绕点C逆时针旋转，如图③，此时连杆端点D离桌面的高度减小了多少？（参考数据：） 【答案】（1）cm；（2）4cm； 【解析】 【分析】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题． （2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，求出DF，再求出DF-DE即可解决问题． 【详解】解：（1）作BO⊥DE于点F，则∠BOE=∠BOD=90°， ∵DE⊥l，AB⊥l， ∴∠OEA=∠BAE=90°=∠BOE． ∴四边形ABOE为矩形． ∴EO=AB=5cm，EO∥AB， ∵EO∥AB， ∴∠D+∠ABD=180°， ∵∠ABD=143°， ∴∠D=37°， 在Rt△BDO中，∵∠BOD=90°， ∴， ∵DB=DC+BC=20+20=40（cm）， ∴DO=40×0.8=32（cm）， ∴DE=DO+EO=32+5=37（cm）， 答：连杆端点D离桌面l的高度DE为37cm； （2）如图3，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形， ∵∠CBH=53°，∠CHB=90°， ∴∠BCH=37°， ∵∠BCD=180°-16°=164°，∠DCP=37°， ∴CH=BCsin53°=20×0.8=16（cm），DP=CDsin37°=20×0.6=12（cm）， ∴DF=DP+PG+GF=DP+CH+AB=12+16+5=33（cm）， ∴下降高度：DE-DF=37-33=4（cm）． 答：此时连杆端点D离桌面l的高度减小了4cm． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 21. 如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 解：与相切，理由： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算等知识，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． （）连接，先证，再说明即可证明结论； （）先说明是等边三角形，进而得到，然后根据勾股定理求得，最后根据阴影面积等于计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 22. （1）如图1，在中，点在边上，连接，点在上，连接，且，，求证：； （2）如图2，在平行四边形中，、交于点，点在线段上，连接，且，，若，，求的长． 【答案】 （1）证明：， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．熟练掌握等边对等角，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）由，可得，则，进而可证； （2）由平行四边形中，可得，证，则，计算求出满足要求的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， 设， ，， ， ， 解得（负值已舍去）， ， 23. 已知二次函数（、是常数）． （1）若该函数经过点，，求该函数的表达式； （2）在（1）的条件下，若该函数图象上有一点，向右平移3个单位后仍在该函数图象上，求点的坐标； （3）当时，在的范围内，该抛物线的图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的2倍．求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解函数解析式，抛物线的对称性等知识点． （1）利用待定系数法即可求解函数解析式； （2）根据抛物线的对称性即可求解； （3）设抛物线上的点为，由题意得，，则， 解得，令，再由二次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点，， ∴， 解得 ； 【小问2详解】 解：由题意得，点P以及平移后的点关于抛物线对称轴对称， 设， ∴平移后的对应点的横坐标为， ∵抛物线对称轴为：直线 ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，抛物线为， 设抛物线上的点为， 由题意得，， 则， 解得， 令，如图： ∵在的范围内，该抛物线的图象上至少存在一个点的纵坐标是横坐标的2倍， 时，， ∴ 解得； ． 24. 如图1，内接于，过点作弦，垂足为，连接，． （1）若，求证：； （2）如图2，若为的直径，过点作弦，分别与、交于点、． ①求证：； ②连接，若，求的值． 【答案】（1） 证明：设， ， ，， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴； （2） ①证明：设， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∵ ； ②或 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理及等边对等角即可论证； （2）①通过论证即可得以论证；②根据在的右边或左边两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：连接， ∵， ∴， ∴， ， ， ． ∵， ∴， ， 当在的右边时，连接，设 ，，， 在中，， ， ∵， ∴中，， ∵， ∵即：， ， ， ； 当在的左边时，连接， 设，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质，关键是灵活应用知识点论证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $