第六章平面向量及其应用单元练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用单元练习题 一、单选题 1．给出下列向量等式：①；②；③其中正确的等式有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在矩形中，若，，则向量的长度为（    ） A． B． C．12 D．6 3．已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 4．给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 5．在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 6．已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 7．已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量为（   ） A． B．或 C． D．或 8．已知，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，、、是角、、的对应边，满足，，，则（    ） A． B． C． D．的面积为 11．若向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．的最大值为 三、填空题 12．已知向量是单位向量，，若，则在上的投影向量为 . 13．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ． 14．在中，是斜边上的高，如图，则下列等式成立的是 ．    ①    ② ③    ④ 四、解答题 15．如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 16．已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 17．在中，角的对边分别为，且. (1)求的值； (2)若是锐角，且，求的面积. 18．平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 19．已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】按照向量加法的定义逐项验证即可. 【详解】① ,正确； ②错误，应为； ③正确. 故选：C. 2．A 【分析】根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求的模长. 【详解】在矩形中，由，，可得, 故选：A. 3．C 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 4．C 【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. 5．C 【分析】根据诱导公式和正弦定理化简为，再根据，结合两角和的正弦公式化简，即可求解. 【详解】由条件可知，即， 因为， 所以， 整理为， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：C 6．B 【分析】根据向量加减的坐标运算求出，再根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，，两式联立可得，， . 故选：B. 7．B 【分析】根据投影向量计算公式及向量数量积运算律可得在上的投影向量为，设，由题意建立方程求解可得或，计算即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以，解得， 则在上的投影向量为， 设，则，解得或， 所以或， 即在上的投影向量为或. 故选：B 8．A 【分析】先由，得到，再结合，求出，进而得到，即可求解的值. 【详解】因为，所以， 即，所以； 因为，所以； 代入 ，得到，得到； . 故选：A. 9．BCD 【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误；对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题意有在方向的投影向量为， 因为，所以， 因为，，所以， 得，故C正确； 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BCD 10．AC 【分析】先根据证明，利用勾股定理可判断A选项；由已知条件得出，结合、诱导公式、二倍角的正弦公式可求出、的值，可判断B选项；由可判断C选项；由正弦定理求出，，结合以及勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】先证明，由题意，，得， 即，即， 即， 所以，可得， 即， 若，则，上式可转化成， 令，则可知矛盾，从而. 对于A选项，由于，根据勾股定理得，此时， 而右边为， 因左边右边，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 因为，所以，故， 所以，可得， 因为，所以，所以或，故或， 所以，B错； 对于C选项，， 因为为锐角，所以，， 则，故，C对； 对于D选项，由A选项可知，为直角，则，， 所以， 所以，， 所以，可得， 故的面积为，D错. 故选：AC. 11．AB 【分析】由题意可得，，对于A，利用向量的夹角公式即可判断；对于B，利用基本不等式，结合即可判断；对于C，利用向量的夹角公式可得，再结合即可判断；对于D，利用即可判断. 【详解】因为， 所以①， 因为， 所以②， 得，，即. 对于A，因为， 所以由①得，，解得， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以， 因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 又因为， 所以， 所以， 综上，，故B正确； 对于C，由，得， 因为， 所以，， 可得，或 解得，或，故C错误； 对于D，由，得， 因为， 所以，则， 所以的最大值不是，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了向量的数量积及夹角的计算，解题的关键是由，解得，并用数量积表示向量夹角. 12． 【分析】利用数量积的运算律及投影向量的意义求解. 【详解】由，得，而向量是单位向量，则， 由，得，所以在上的投影向量为. 故答案为： 13． 【分析】结合余弦定理，正弦定理、两角和的正弦及诱导公式即可求解. 【详解】由， 由余弦定理得， 由正弦定理得， 因为， 即， 即， 因为，则， 因为，故. 故答案为： 14．①②④ 【分析】利用向量的数量积的定义及三角形相似即可求解. 【详解】因为，①正确； 因为，②正确； 由，知③错误； 由图可知，所以，结合选项A，B可得，④正确． 故答案为：①②④. 15．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算解题即可； （2）先根据平面向量共线定理证明共线，再根据向量有公共点，即可证明三点共线. 【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则， .    （2）由（1）知，， ， ，所以， 所以共线，又因为有公共点，所以三点共线. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积公式计算得到答案； （2）计算出的坐标，进而得到模长； （3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得，. （2），则. （3），则. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简即可； （2）利用余弦定理求出，再利用面积公式计算即可. 【详解】（1）由以及正弦定理得，， 所以 因为，所以，所以； （2）因为，且是锐角，所以， 由余弦定理可得， 则， 因为，所以，得， 故的面积为. 18．(1)； (2). 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 19．(1) (2) 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【详解】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $