21.3.3 正方形-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(人教版·新教材)

该初中数学课件聚焦八年级下册“正方形的性质与判定”，从平行四边形、矩形、菱形性质回顾切入，通过对比引出正方形特殊性，构建“一般到特殊”的知识支架，衔接前后知识点。 其亮点是结合中考真题分层设计“刷基础-刷提升-刷素养”练习，如正方形性质题通过辅助线构造、全等证明培养几何直观与推理能力，模型归纳与微专题助力学生掌握解题策略，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

数 学 八年级下册 RJ 1 2 3 第二十一章 四边形 4 21.3 特殊的平行四边形 21.3.3 正方形 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正方形的性质 （第1题图） 1.【2025湖北襄阳期中】如图，在正方形中，分别以点, 为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接, ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 【解析】如图，连接, . 根据题意得， , 是等边三角形, , , , 思路分析 连接，，根据条件可以得到 是等边三角形，然后利用正方形的性质和 等边三角形的性质即可解决问题. , ,同理可得 , ， 故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （第2题图） 2.【2024河北保定期末】如图，在正方形中，， 为 边上一点，为的中点，为的中点，则 的长为( ) B A.1 B. C.2 D. 【解析】如图,连接 四边形 为正方形， ， ， 由勾股定理得 .为的中点，为 的 中点，为的中位线， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 （第3题图） 3.【2024重庆渝北区期末】如图，点是正方形边 上一 点，于，，则 的长度为( ) B A.2 B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 【解析】如图，过点作于， ， ， 四边形 是正方形，， ， ， ， 刷有所得 在正方形中，利用线段间的垂直关系往往可以证明三角形全等,进而得出线段间的 数量关系. ，， ， ，， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 4.【2025江苏南通校级质检】如图，正方形 是小明用木条制作的一个学具， 在取放学具时，学具变形了，此时 ，则变形后四边形 的面积与 原正方形 的面积之比为_____． （第4题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 【解析】如图，过点作于点 四边形 是正 方形， .由题意可得， ， 四边形 为菱形， .设 ， ，， ， ， ， 变形后四边形 的面积与原正方形 的面积之比为．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 5.【2025北京海淀区期中】在正方形中，点在上，点在 上，且 ，垂足为点 ． 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （1）如图（1），求证： ； 【证明】 四边形 是正方形， , . 又，, , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 （2）在线段上取一点，使得，连接并延长，交于点 ． ①依题意补全图（2）； 【解】如图. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 ②用等式表示线段，， 之间的数量关系，并证明． 【解】.证明：如图，连接, 四边形 是正方形， ,.由（1）得 , .设 , ,,是的垂直平分线, , , , , , , , , 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 , .又 , ,, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 知识点2 正方形的判定 6. 开放性试题如图，在中，，点，分别是边， 的 中点，延长到点，使，得到四边形.若使四边形 是正方形， 则应在 中再添加一个条件为___________________________. （答案不唯一） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 【解析】添加条件 ，则四边形是正方形.理由如下： 点 是 的中点，， 四边形是平行四边形. ， ，，，， 四边形 是 矩形. 点，分别是边，的中点， ， ， 四边形是正方形.故答案为 （答案不唯一）. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 7.【2025甘肃兰州模拟】如图，在矩形中， 的平分线交 于点，于点，于点，与交于点 ． （1）判断四边形 的形状，并说明理由； 【解】四边形为正方形．理由如下： 四边形 为矩形， ， ， 四边形 为矩形. 是的平分线，， 四边形 为正方形． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （2）若，，求 的长． 【解】 四边形为正方形，， ， ． 是的平分线，．在和 中， ， ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 提升 （第1题图） 1.【2025山东济宁期中，中】如图，平面直角坐标系中，正方形 的顶点在轴正半轴上，且， ，则正方形 的面积是( ) B A.13 B.20 C.25 D.34 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （第1题图） 【解析】如图，作轴于 四边形 是正方形， ， ， ， ，.在和 中， ， ,,,, , ， 正方形的面积为 ．故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （第2题图） 2.【2025天津和平区期中，中】如图，将 个边长都 为1的正方形按如图所示摆放，点,, , 分别 是正方形对角线的交点，则这 个正方形重叠部分的 面积之和是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第2题图） 【解析】如图，过正方形对角线的交点作于 ， 作于，则易知, ，且 ，，四边形 是正方形，的面积等于的面积， 四边形 的 面积就等于正方形的面积. 正方形的边长为1， 易 关键点拨 解决本题的关键是得到 个这样的正方形重叠部分的面积和的计算方法，难点是求 得一个重叠部分的面积. 知正方形的边长为， 正方形的面积是， 重叠部分的面 积为， 题图中个正方形重叠部分的面积之和为 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 3.【2025陕西咸阳模拟，中】如图，已知四边形是边长为6的正方形， 为 延长线上一点，以为边，在上方作正方形，连接，取 的中点 ，连接．若 ，则 _____． （第3题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】 连接,，如图. 四边形,四边形为正方形， ， , ,， , ,是 的中点， ，是等边三角形， ， .在中，， ， .在中，,, ， 故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 （第4题图） 4.［较难］如图，,是正方形的边 上的两个动点，满足 ，连接交于点，连接交于点，连接 ，若 正方形的边长为2，则线段 长度的最小值是_______. 【解析】如图，在正方形中， ， ，.在和 中， ，.在和 中，， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 ， ， .取的中点，连接, ，则 .在中， .根据 三角形的三边关系，得， 当,,三点共线时， 的长度有最小 值,为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 先求出 ，取的中点,连接, ,根据直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半可得，利用勾股定理可求出 的长，然后根 据三角形的三边关系可知当,,三点共线时， 的长度有最小值，即可求解． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 5.［中］ （1）如图（1），在正方形中，，分别是， 上的点，且 ，连接，探究，， 之间的数量关系，并说明理由； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 【解】 .理由如下： 如图（1），延长到，使得，连接 四边形 是正方形， ， . 又， ， ， . ， ， . 又， ， . 又， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）如图（2），在四边形中，， ，， 分别是 ，上的点，且 ，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明 理由. 【解】仍然成立.理由如下：如图（2），延长 到 ，使得，连接 ， ，.又， ， ， ， ， ， .又， ， .又， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 6.【2024福建福州质检，较难】如图（1），在平面直角坐标系中，放置一个边长 为5的正方形，使得它的两个顶点和恰好落在轴正半轴和 轴正半轴上， 为正方形的中心，连接 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （1）若点和点分别在轴和 轴的正半轴上滑动，求证：在这个运动过程中， 始终在第一象限的角平分线上. 图（1） 【证明】作轴于点，作轴于 点，如图（1）所示， 则四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，.在和 中， ， ， 四边形是正方形， 点在的平分线上， 始终在 第一象限的角平分线上. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （2）如图（2），若点运动到，求此时 点的坐标. 图（2） 【解】 点运动到， ， .作轴于 点，作 轴于点，作轴于 点，如图（2）所示,则 ，四边形是直角梯形，四边形 是正方 形， 四边形 是正方形， ，， ，是直角梯形 的中位线， ， .在 和 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 ， ， ， ， ，点的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 点运动到，由勾股定理得出的长，作轴于 点，作 轴于点，作轴于点，则四边形是直角梯形，四边形 是正方形， ，由正方形性质得出， ， ，推出是直角梯形的中位线， ，证 得，由证得，得出， ，进而 得出， ，即可得出结果. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 模型归纳含 角的对角互补模型 基本模型 作垂线法 旋转法 已知: 平分 结论:， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 刷素养 走向重高 7.思想方法 方程思想【2024河南新乡期末，较难】 如图，在矩形中，，.点是射线 上的一点，将矩形沿直线 折叠，点的对应点为点 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 【猜想证明】 （1）当点落在边上时，四边形 的形状为________. 正方形 【解】如图（1），当点落在边 上时， 图（1） 四边形是矩形， .由折叠的性质得 ， ， ， 四边形 是矩形. ， 四边形 是正方形，故答案为正方形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 42 （2）当平分时，过点作于，求 的长. 【解】当平分时，如图（2）， ， ， ， ， ，， . 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 43 【能力提升】 （3）是否存在点，使，，三点共线，若存在，请直接写出 的长；若不存 在，请说明理由. 图（3） 【解】存在点，使，，三点共线， 的长为2或8. 分两种情况进行讨论：①如图（3），当点在线段 上时， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 44 由折叠的性质得, ， .设 ，则， ， .在 中，由勾股定理，得 ，即，解得，即 . 图（4） ②如图（4），当点在线段 的延长线上时， 同理可得,，.设 ，则 ，， ，解得 ，即.综上所述， 的长为2或8. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 45 微专题1 中点四边形 1.判断形状【2024陕西西安期末，中】如图，点，，，分别为四边形 四 条边的中点，连接，，，，得到四边形，连接, ．下列说法： （第1题图） ①四边形 是平行四边形； ②当四边形为平行四边形时，四边形 是菱形； ③当四边形为矩形时，四边形 是菱形； ④当时，四边形 是矩形； ⑤若四边形是正方形，则四边形 一定是正方 形．其中正确的是( ) A A.①③④ B.①②⑤ C.①③④⑤ D.②④⑤ 刷提升 返回目录 1 2 1 2 46 【解析】，分别为，的中点，，同理， ， ，，，， 四边形 是平行四边形， 故①正确.当四边形是矩形时，，， 四边形 是菱 形；当四边形是平行四边形时，不能证得四边形 是菱形，故②错误， ③正确.当时，，，分别为，，的中点， ， ，， 四边形是矩形，故④正确. ， ，四边形是正方形，， ， ，，不能说明四边形 是正方形，故⑤错误.故选A. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 47 （第2题图） 2.面积规律问题【2025广东广州期中，中】如图，已知菱形 的边长为2， ，进行如下操作：第一次， 顺次连接菱形各边的中点，得到四边形 ；第 二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；…；如此反复操作下去，则第 次操作后，得到 四边形 的面积是_ ____. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 48 【解析】如图，连接，，，，易知 , , ,交于一点，令该点为点 四边形 为菱形，，， ， ， ， 为等边三角形，， ， ， ， . 第一次，顺次连接菱形 各边 刷提升 返回目录 1 2 1 2 49 的中点，得到四边形，， ， ，， 四边形为平行四边形，， 四边 形为矩形， ， . 第二 次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形 ， ， ， ， 四边形 为菱形， .故第 次操作 刷提升 返回目录 1 2 1 2 后可得， ． 思路分析 根据题目所给操作方式，依次求出所得四边形的面积，发现规律即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 $