21.3.2 课时2 菱形的判定-【初中必刷题】2025-2026学年八年级下册数学同步课件(人教版·新教材)

该初中数学课件聚焦八年级下册“菱形的判定”核心知识点，通过基础题（如利用定义判定的作图辨析）、提升题（如矩形交叉重叠周长问题）等，衔接平行四边形性质与菱形判定方法，搭建从具体操作到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于分层设计（刷基础、刷提升、刷素养），结合中考真题与开放性试题（如补充条件证明菱形），通过“垂美四边形”新定义探究培养推理能力与创新意识。学生能分层提升解题能力，教师可借助详细解析与思路分析优化教学效率。

数 学 八年级下册 RJ 1 2 3 第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 4 21.3.2 菱形 课时2 菱形的判定 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利用定义进行判定 1.【2024河北保定期末】如图，在给定的平行四边形 上，作一个菱形，甲、 乙二人的作法如下： 甲 乙 甲：分别以,为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接 ， 则四边形 为菱形； 乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作 的垂直平分线交 于点，连接,则四边形 为菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 根据两人的作法,下列判断正确的是( ) C A.甲正确，乙错误 B.乙正确，甲错误 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 【解析】甲： 四边形是平行四边形， .由作图可知， ，，， 四边形是平行四边形. ， 四边形为菱形，故甲的作法正确.乙：由作图可知,, 点在 的垂直平分线上,垂直平分.设交于点 四边形 是平行四边 形，，垂直平分， .又 ，，， 四边形 为平行 四边形.又， 四边形 为菱形，故乙的作法正确.故选C. 关键点拨 由作图痕迹得到线段间的关系是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2.【2025山西阳泉质检】如图，在中， ， ，是 的 中点，过点，的直线绕点按逆时针方向旋转 ，交边于点，作 ， 交直线于点．当 时，判断四边形 是否为菱形，并说明理由． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【解】四边形 是菱形.理由： ， . ， 四边形为平行四边形， . 在中， , , ， ， . 是的中点， . ,,, ， 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 ， ， ， 平行四边形 为菱形. 关键点拨 根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形 是平行四边形是解 题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 知识点2 利用对角线互相垂直平分进行判定 3. 开放性试题 小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线 ， 交于点，，.求证：四边形 是菱形”，并将自己的证 明过程与同学小洁交流. 小惠 证明：， ， 垂直平分 , ， ， 四边形 是菱形 小洁 这个题目还缺少条件， 需要补充一个条件才能 证明 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 你赞成谁的说法?若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明. 【解】赞成小洁的说法，补充.证明:，, 四边形 是平行四边形.， 四边形 是菱形.（补充的条件不唯一,证 明过程也不唯一） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 4.【2025江苏泰州期中】如图，在中，，是对角线 上的两点， ____________________，____，求证：四边形 是菱形. 从，平分， 这三个条件中选两个填在横线上 （填序号），将题目补充完整，并完成证明. （答案不唯一）选① ③ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 【解】证明：连接交于，如图. 四边形 为平行四边 形， ， 四边形 为菱形， ，， . ， ， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 知识点3 利用边相等进行判定 5.【2024甘肃兰州调研】如图，矩形的对角线与相交于点， ， 直线是线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （1）判断四边形 的形状，并说明理由； 【解】四边形是菱形.理由如下：， 是线段 的垂直平分线，， ,， .在 和中，， .又 ，，， 四边形 是菱形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 （2）当时，求 的长. 【解】 四边形为矩形， ， 是线段 的垂直平分线，，， 为等边三角形， ， ，.在中， ， ，由勾股定理得.由（1）可知四边形 是菱 形，. ， .设 ,则.由勾股定理得, ,解得 （负值已舍去）,， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 思路分析（1）先由直线是线段的垂直平分线得 ， ,，，再证明和 全等,从而得 ，据此可得，进而可判定四边形 的形状. （2）先证为等边三角形,得， ，进而得 ， 再求出的长,在中,利用勾股定理列方程求出的长，进而可得 的长. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 提升 1.［中］下列是4位同学所画的四边形，依据所标数据，不一定为菱形的是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】 A 该四边形的四条边的长度都是2，四条边都相等的四边形是菱形，故A选项 是菱形 B ， 该四边形的一组对边互相平行. 该四边形的另 一组对边的长度都是2， 另一组对边相等， 不能证明四边形为平行四 边形，故B选项不一定是菱形 C , 该四边形的两组对边分别平行， 该四边形为平 行四边形.又 该四边形有一组邻边相等， 根据一组邻边相等的平行四 边形为菱形可判定该四边形为菱形，故C选项是菱形 D ， 该四边形的一组对边互相平行.又 该四边形的 这组对边相等， 该四边形为平行四边形. 该四边形有一组邻边相等, 根据一组邻边相等的平行四边形为菱形可判定该四边形为菱形，故D选项是菱形 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 （第2题图） 2.【2025山东青岛期中，中】如图，将两张完全一样的长为 ， 宽为 的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最 大值是( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 【解析】如图（1）， 过点作于，于 两张矩形纸条完全 一样，，，， 四边形 是平行四边形. ，，， 四边形 是菱形. 要使重叠部分的四边形周长最大，则边长应最大，如图（2）所示，此时重叠部分 的四边形的周长最大. 四边形是菱形， .在 中， 矩形纸条的长为，宽为 ， ，， 菱形 的周长的最大值为 .故选C. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 （第3题图） 3.［较难］如图是一个由5张平行四边形纸片拼成的菱形 ，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中周围4张小 平行四边形纸片都全等，中间纸片的面积为,连接 ， ，，，四边形的面积为.若 ，则 周围小平行四边形的短边与长边的比值为( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 【解析】如图，过点作，交的延长线于 ， 交的延长线于.设小平行四边形的短边是 ，长边是 ，， 周围4张小平行四边形纸片都全 等,， 四边形 是菱 形.，，即 ， ， .故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 4.【2024河北秦皇岛期末，中】在平面直角坐标系中，， ， ，，若以点,,,为顶点的四边形是菱形，则点 的坐标为_____ ________________________________. 或或或 【解析】①点在点的右边时，过作交的延长线于 ,如图（1）所 示.,,,，，， ， .当时，四边形 是菱形, ， ， ， 点的坐标为或.②点 在点 的左边时，过作交的延长线于，如图（2）所示. , 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 ,,，，，， .当 时，四边形是菱形， ， ，， 点 的坐标 为或.故答案为或或或 . 图（1） 图（2） 易错警示 字母， 可正可负，因此菱形在平面直角坐标系中的位置不定，所以需分情况讨论. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5.［较难］如图所示，四边形中，于点， ， ，点为线段上的一个动点.过点分别作于点 ， 于点.连接，在点运动过程中， 的最小值等于_____. 7.8 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解析】，， ，四边形 是平行四边形.于点， 四边形 是菱 形，， .连接 ，如图所示. ， ，即， ，， 当最短时， 有 最小值.由垂线段最短可知，当时，最短， 当点与点 重合时， 有最小值，最小值为 ，故答案为7.8. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 思路分析 证四边形是菱形，得，连接 ，由三角形面积关系求出 ，得当最短时，有最小值，则当时， 最短，即可得出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 刷素养 走向重高 6.核心素养 推理能力【2025福建厦门校级期中改编，中】在学习了“菱形的性质 与判定”后，小明根据所学的内容，试着定义了一个新的特殊四边形，规定：对 角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”，如图（1）所示, ,则四边形 为“垂美四边形”. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （1）【概念理解】证明：有三条边相等的“垂美四边形”是菱形（写出已知、求 证）； 【解】已知：如图，四边形 的两条对角线互相垂直，即 ，且 . 求证：四边形 是菱形. 证明：， . 在和中， ， . 同理可得 ， ， 四边形 是平行四边形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 ， 四边形 是菱形， 有三条边相等的“垂美四边形”是菱形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）【性质探索】如图（1），若记“垂美四边形”的面积为，求出 与 , 之间的关系； 【解】 ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （3）【性质应用】小明为了证明勾股定理，尝试将两个全等的直角三角形 按图（2）方式摆放，其中,, 在一条直线上，若假设直 角三角形三边长为，，，即，， ，试 利用（2）中结论证明勾股定理. 【证明】连接,.由已知可得 ， ， ， 四边形 是“垂美四边形”. 由（2）可得 . , 易知四边形 为直角梯形. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 刷有所得 对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线乘积的一半. ， ，即 ，即勾股定理得证. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $