精品解析：河北保定市高碑店市2025-2026学年第一学期期末教学质量监测九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学试题 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，与相切的直线是（ ）． A. B. C. D. 3. 方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6 4. 如图，该几何体的主视图是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在正方形中，为上一点．若，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（ ）． A. B. C. D. 10. 若是一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ） A. 与的和一定是正数 B. 与的和一定是负数 C. 与的积一定是正数 D. 与的积一定是负数 11. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（ ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 12. 已知抛物线与直线的交点的横坐标为，设，则下列关于与的大小关系中，正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 等于 D. 无法确定 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若为一元二次方程的一个根，则__________． 14. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则__________．（填“>”“<”或“=”） 15. 如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________． 16. 如图，为正方形的外接圆，，，分别为和的中点，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）；               （2）． 18. 如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的长． （3）记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 19. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 20. 由物理学知识可知，光线在平面镜处发生反射，光线从空气射入玻璃砖时发生折射．如图，物理实验室有3个暗箱，暗箱的外观完全相同．A暗箱中安装有平面镜装置，光线从入口进入后不能从出口射出；B暗箱中装有玻璃砖装置，光线从入口进入能从出口射出． （1）若C暗箱中装有同A暗箱的平面镜装置，则从3个暗箱中随机选择一个暗箱射入光线后，光线能够射出的概率为__________． （2）若C暗箱中装有同B暗箱的玻璃砖装置，随机选择两个暗箱射入光线后，请利用画树状图或列表的方法，求光线从两个暗箱中都能够射出的概率． 21. 如图，，都是的直径，弦，垂足为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. 在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，小组成员在斜坡底部处测得塔顶部的仰角为，沿斜坡走到达观景台处测得塔顶部的仰角为，且斜坡的坡比为，其中点，，在同一条直线上． （1）求的长． （2）求塔的高度（结果保留一位小数，，，）． 23. 综合与实践 【情境】正方形可分割拼接为等腰三角形． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法将正方形分割为等腰三角形． 嘉嘉的方法： 如图1，将正方形沿对角线剪切后得到等腰． 淇淇的方法： 如图2，取点和点，使，沿和剪切后按如图所示的方式拼接成等腰． （1）如图1，__________ （2）如图2，设，，求的值． （3）如图2，若，求的值． 24. 如图1，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的表达式． （2）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，过点的直线与抛物线在对称轴右侧的部分有唯一的交点． ①点的坐标为__________． ②求直线的表达式和的面积． （3）如图3，将抛物线沿直线平移，设平移过程中抛物线与直线交于，两点，平移过程中抛物线的顶点的横坐标为．当轴上存在唯一的一点使得时，请直接写出符合条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学试题 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值． 2. 如图，与相切的直线是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，掌握好切线的定义是关键． 圆的切线指的是与圆只有一个公共点的直线，根据定义判断选项即可． 【详解】解：根据直线与圆的公共点个数判断位置关系如下： 对于选项A：与没有公共点，则与相离，故A错误； 对于选项B：与有两个公共点，则与相交，故B错误； 对于选项C：与有两个公共点，则与相交，故C错误； 对于选项D：与只有一个公共点，则与相切，故D正确． 故选：D． 3. 方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及各项系数的定义，解题的关键是准确识别一元二次方程（）中一次项bx的系数； 先确认方程为一般形式，再找出一次项，确定其系数． 【详解】解：在一元二次方程中，一次项为， 故一次项系数为． 故选：B． 4. 如图，该几何体的主视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立体图形的三视图，掌握常见立体图形的特征并发挥空间想象能力是解题的关键． 根据组合体的上下两部分的特征，逐个判断选项即可． 【详解】解：由图可知，该几何体上半部分为正方体，下半部分为长方体，且正方体位于组合体的右侧， ∴主视图为一个长方形与一个正方形，且正方形在右上角． 故选：C． 5. 如图，在正方形中，为上一点．若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点的坐标代入反比例函数解析式，建立关于未知参数的方程并求解； 将点代入，得到，计算得出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入，得， 故选：C． 7. 上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解； 根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值． 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9. 不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 10. 若是一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（ ） A. 与的和一定是正数 B. 与的和一定是负数 C. 与的积一定是正数 D. 与的积一定是负数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系． 先将一元二次方程化为标准形式，再利用一元二次方程根与系数的关系分析各选项． 【详解】解：∵ 将方程化为标准形式为， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系可知，两根之和，两根之积， ∵ ， ∴ 与的和一定是正数，故A正确，B错误． ∵ 的值不确定，可正、可负、可为0， ∴ 与的积不一定是正数或负数，故C、D错误． 故选：A． 11. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（ ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似中心的判断，位似比的计算，熟练掌握相关知识是关键． 根据位似的性质判断对应点和对应边，结合网格可计算出相似比，进而验证嘉嘉的说法；对应点所在的直线的交点即为位似中心，作图找到位似中心并判断坐标，即可验证淇淇的说法． 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 12. 已知抛物线与直线的交点的横坐标为，设，则下列关于与的大小关系中，正确的是（ ） A. 小于 B. 大于 C. 等于 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，结合平方数的非负性，通过作差法快速比较大小． 先根据交点横坐标的意义得到m满足的方程，再通过作差法比较T与的大小，利用平方数的非负性判断差的正负性． 【详解】解：∵m是抛物线与直线交点的横坐标 ∴ ∵任何实数的平方为非负数，即 ∴ 又∵ ∴，即 ∴ 故选：B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若为一元二次方程的一个根，则__________． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是将已知根代入方程，建立关于参数的方程并求解； 将代入方程，得到关于的一元一次方程，解此方程即可求得的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得，， ∴． 故答案为：． 14. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则__________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数 的性质，当时，当时，结合条件，可得为负数，为正数，因此． 【详解】解：因为点和在反比例函数的图象上， 所以，， 由，得； 由，得； 因此， 故答案为：． 15. 如图，矩形的对角线相交于点，为上的一点，，，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键． 矩形的对角线互相平分且相等，因此，的周长等同于． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 的周长为． 故答案为：． 16. 如图，为正方形的外接圆，，，分别为和的中点，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆与内接正方形，扇形的面积公式，三角形的等积变形，熟练掌握相关知识并运用转化思想是解题关键． 连接、、，根据正方形的性质和勾股定理，可计算出，结合，分别为和的中点，则．由等积变形可得，，则阴影，面积可看作扇形和扇形的面积之和，利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接、、， ∵四边形是正方形， ∴与交于点，，，， ∴， 在直角中，， ∴， 又∵， ∴，即， ∵，分别为和的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理，， ∴． 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）；               （2）． 【答案】 ，； x1=，x2=． 【解析】 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程即可； （2）直接利用公式法解方程即可． 【详解】（1）（x+1）（x﹣3）=0，则x+1=0或x﹣3=0，解得：x1=3，x2=﹣1； （2）∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，△=1+4=5，∴x=，解得：x1=，x2=． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18. 如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的长． （3）记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； 【小问3详解】 解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 19. 如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为． （1）求证：； （2）若，则的度数为__________． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的性质是关键． （1）由菱形的性质可得，，结合，，可证明，则； （2）由三角形内角和定理可得，结合，则．根据菱形的邻角互补的性质可得，作差求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 20. 由物理学知识可知，光线在平面镜处发生反射，光线从空气射入玻璃砖时发生折射．如图，物理实验室有3个暗箱，暗箱的外观完全相同．A暗箱中安装有平面镜装置，光线从入口进入后不能从出口射出；B暗箱中装有玻璃砖装置，光线从入口进入能从出口射出． （1）若C暗箱中装有同A暗箱的平面镜装置，则从3个暗箱中随机选择一个暗箱射入光线后，光线能够射出的概率为__________． （2）若C暗箱中装有同B暗箱的玻璃砖装置，随机选择两个暗箱射入光线后，请利用画树状图或列表的方法，求光线从两个暗箱中都能够射出的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，解题的关键是明确每个暗箱中光线能否射出，再根据概率公式或列表/树状图法计算概率； （1）直接用符合条件的暗箱数除以总数； （2）用列表或树状图列出所有等可能结果，再找出两个暗箱都能射出的结果数，代入概率公式计算． 【小问1详解】 解：∵C暗箱与A暗箱相同，光线不能射出，只有B暗箱光线能射出， ∴从3个暗箱中随机选择一个，光线能够射出的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下 A B C A —— B —— C —— 共有6种等可能的结果，其中光线从两个暗箱中都能够射出的结果有2种． ∴光线从两个暗箱中都能够射出的概率为． 答：光线从两个暗箱中都能够射出的概率为． 21. 如图，，都是的直径，弦，垂足为． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由对顶角相等可得，则可得，再根据圆周角定理可得，则； （2）根据垂径定理，，根据圆周角定理可得，结合可证明是等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是关键． 22. 在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，小组成员在斜坡底部处测得塔顶部的仰角为，沿斜坡走到达观景台处测得塔顶部的仰角为，且斜坡的坡比为，其中点，，在同一条直线上． （1）求的长． （2）求塔的高度（结果保留一位小数，，，）． 【答案】（1）的长为 （2）塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，俯角与仰角，坡度与坡比，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据坡比的定义可得，结合勾股定理计算出即可； （2）作，垂足为，设，由（1）可得，．根据题意可判断出是等腰直角三角形，则．容易证明四边形是矩形，则，．在直角中，，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，， ∴， 在直角中，， ∴，即， 解得（负值舍去）， 答：的长为； 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为，设， 由（1）可知，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 解得． 答：塔的高度约为． 23. 综合与实践 【情境】正方形可分割拼接为等腰三角形． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法将正方形分割为等腰三角形． 嘉嘉的方法： 如图1，将正方形沿对角线剪切后得到等腰． 淇淇的方法： 如图2，取点和点，使，沿和剪切后按如图所示的方式拼接成等腰． （1）如图1，__________ （2）如图2，设，，求的值． （3）如图2，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质可得，结合特殊角的三角函数直接计算即可； （2）由正方形的性质可得，则．根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； （3）过点作的垂线，交于点，交于点，作，垂足为，由题意可知，，根据相似三角形的性质可得．由等腰三角形的性质可得，使用勾股定理计算出，结合三角形的面积公式可计算出．在直角中，根据正弦函数的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点，作，垂足为， 由题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查正方形的性质，锐角三角函数的定义与计算，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，添加垂线构造直角三角形是解题关键． 24. 如图1，抛物线经过点和点． （1）求抛物线的表达式． （2）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度得到抛物线，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，过点的直线与抛物线在对称轴右侧的部分有唯一的交点． ①点的坐标为__________． ②求直线的表达式和的面积． （3）如图3，将抛物线沿直线平移，设平移过程中抛物线与直线交于，两点，平移过程中抛物线的顶点的横坐标为．当轴上存在唯一的一点使得时，请直接写出符合条件的的值． 【答案】（1） （2）①；②直线的表达式为，的面积为 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据二次函数的平移规律求出抛物线的解析式，进而求出顶点的坐标； ②设直线的解析式为，与抛物线联立，得到关于的一元二次方程，由于只有一个交点，因此判别式，结合点在抛物线右侧，求出的值．将分别代入直线的解析式与抛物线的解析式，求出函数与轴的交点的坐标，利用割补法求出的面积； （3）根据平移规律可得直线的斜率为，结合点的坐标，求出的解析式，从而表示出点的坐标，以及平移后的抛物线的解析式．联立直线与抛物线，解方程求出点和点的坐标．以为直径作圆，根据圆周角定理可知，点必定在圆上，分两类情况讨论，圆与轴相切或者圆与轴相交，且点或点落在轴上，根据切线的定义和交点坐标构造方程，解出的值． 【小问1详解】 解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①， ∵抛物线由抛物线向右平移3个单位长度得到， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为； ②将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 当直线与抛物线相交时，则有， 化简，得， ∵直线与抛物线有唯一的交点， ∴判别式， 化简，得， 解得或， ∵点在抛物线的对称轴的右侧， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入方程，得， ， 解得， 将代入，得， ∴点的坐标为， 如图，设直线交轴于点， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ； 【小问3详解】 解：设平移过程中的抛物线的顶点为点，直线的解析式为， ∵抛物线沿着直线平移， ∴， ∴， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴平移过程中抛物线， 当直线与抛物线相交时， ， 化简，得， 因式分解，得， 解得，， ∴点坐标为，点坐标为， 由勾股定理可得，， 如图，以线段为直径作圆， 由圆周角定理可知，使得的点必定在圆上， ①当圆与轴相切时，此时只有唯一的点使得，符合题意， ∵点为的中点， ∴点的坐标为， ∵圆与轴相切， ∴， ∴， 解得或； ②当圆与轴相交时，设直线与轴交于点， 如图，当圆过点时，点与点或点重合，即存在唯一的点使得，符合题意， 当点与点重合时，，解得； 当点与点重合时，，解得； 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的平移问题，二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，圆周角定理，切线的判定与性质，直线围成的三角形面积问题，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $