第3单元 小专题3 一次函数与反比例函数的综合应用-【中考2号】2026年湖南中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦一次函数与反比例函数综合应用核心考点，严格对接中考要求，系统梳理表达式确定、交点坐标求解、含参不等式解集、几何图形面积计算等高频考点，结合近三年中考真题分析考点权重，归纳一题多设问、实际应用、综合实践等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题演练+素养提升”模式，精选2024株洲一模、2025长沙一模等真题，通过求△ABC面积的分割法等典型题解析，培养学生推理能力与模型意识，助力掌握函数综合题解题技巧，帮助学生高效突破考点，教师可依此制定精准复习计划，提升中考冲刺效果。

第一编　教材复习·聚焦必备知识 第三单元　函数 小专题3　一次函数与反比例函数的综合应用 2026中考 湖南·数学 一次函数与反比例函数的综合 一次函数与反比例函数的综合常涉及以下几个方面： (1)确定函数表达式：将一个交点坐标代人y＝可求k，再由反比例函数表达式确定另一个交点坐标，最后由两个交点坐标利用待定系数法可求得一次函数的表达式. 首页 类型一 类型二 2 (2)求交点坐标：联立一次函数与反比例函数构建方程组，方程组的解即为交点坐标. (3)求含参不等式的解集：找到一次函数与反比例函数图象的交点坐标，根据函数图象的上下位置即可得到自变量的取值范围. (4)求几何图形的面积. 首页 类型一 类型二 1.　　　　　　如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝(m≠0)交于点A(2，2)，B(－4，a).(1)求一次函数与反比例函数的表达式； 解：∵双曲线y＝(m≠0)经过点A(2，2)，B(－4，a)， ∴m＝2×2＝4＝－4a， ∴反比例函数的表达式为y＝，a＝－1，∴B(－4，－1). 一题多设问 ∵直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A(2，2)，B(－4，－1)， ∴解得∴一次函数的表达式为y＝x＋1. 首页 类型一 类型二 (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式kx＋b＞的解集； 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为x＞2或－4＜x＜ 0， ∴关于x的不等式kx＋b＞的解集为x＞2或－4＜x＜ 0. 首页 类型一 类型二 (3)点P在x轴的正半轴上，S△AOP＝1，求点P的坐标； 解：∵点P在x轴上，S△AOP＝1， ∴OP×yA＝1，∴OP×2＝1，∴OP＝1. ∵点P在x轴的正半轴上， ∴点P的坐标为(1，0). 首页 类型一 类型二 (4)在(3)的条件下求直线AP与双曲线y＝(m≠0)的另一交点C的坐标； 解：设直线AP的表达式为y＝ax＋t(a≠0)， 把A(2，2)，P(1，0)代入上式，得 解得 ∴直线AP的表达式为y＝2x－2. 联立解得 ∴直线AP与双曲线y＝(m≠0)的另一交点C的坐标为(－1，－4). 首页 类型一 类型二 (5)求△ABC的面积. 解：过点B作BM∥x 轴，交直线AC于点M，则点M的坐标为(，－1)， ∴S△ABC＝S△ABM＋S△CBM＝BM·(yA－yC)＝ ×(＋4)×(2＋4)＝. 首页 类型一 类型二 2.(2024·株洲一模)如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点A. (1)求点A的坐标； 解：联立解得 ∵x＞0，∴A(3，4). 首页 类型一 类型二 (2)若线段OA的垂直平分线BC交x轴于点D，求线段OD的长. 解：连接AD.∵BC垂直平分线段OA. ∴AD＝OD. 设D(m，0)，则m2＝(m－3)2＋42， 解得m＝.∴OD＝. 首页 类型一 类型二 3.(2025·长沙一模)为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P(x，x－2)，则称点P为函数图象上的“双减点”. (1)判断直线y＝2x－3上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由. 解：令2x－3＝x－2，解得x＝1. ∴y＝2×1－3＝－1. ∴存在“双减点”(1，－1). 首页 类型一 类型二 (2)若反比例函数y＝的图象上存在两个“双减点”C，D，且CD＝4，请求出k的值. 解：“双减点”P在直线上y＝x－2上，设点C，D的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)， ∴DC＝4，且直线DC与x轴的夹角为45°. ∴｜x1－x2｜＝2. 令＝x－2，化简，得x2－2x－k＝0. 首页 类型一 类型二 由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝－k， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝8. ∴4＋4k＝8，解得k＝1. 当k＝1时，x2－2x－1＝0， Δ＝(－2)2－4×(－1)＞0， ∴k＝1. 首页 类型一 类型二 　　1.一次函数的实际应用常涉及以下几个方面： (1)求函数表达式及自变量或因变量的值； (2)方案选择问题：一般先根据题意建立一次函数关系式，再根据题目要求及实际意义列不等式(组)，求出自变量的取值范围，然后根据一次函数的增减性用自变量的最大(或最小)值来求函数值的最值，从而确定方案； 一次函数与反比例函数的实际应用 首页 类型一 类型二 14 (3)分段函数问题：阶梯收费问题(电费、水费、天然气费、出租车收费等)、行程问题， 一般先根据题干写出各段的函数表达式，同时要写出各段函数的自变量的取值范围.在求最优方案时，先找出各段的最优方案，然后比较各段最优方案的最值作为总的最优方案. 首页 类型一 类型二 2.反比例函数的实际应用的常见类型有以下几种： (1)行程问题：速度＝(路程一定)； (2)工程问题：工作效率＝(工作总量一定)； (3)跨学科问题，如：电流＝(电压一定)，压强＝(压力一定)，气体密度＝(气体质量一定). 3.一次函数与反比例函数的实际应用主要有以下几种呈现形式： (1)文字型；(2)表格型；(3)图象型. 首页 类型一 类型二 4.(2025·陕西)研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表： 气体温度x(℃) … 25 30 35 … 气体体积y(L) … 596 606 616 … 首页 类型一 类型二 (1)求y与x的函数关系式； 解：根据表格，气体温度升高1 ℃，气体体积增大2 L，则y＝596＋2(x－25)＝2x＋546，∴y与x的函数关系式为y＝2x＋546. (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度. 解：当y＝700时，2x＋546＝700，解得x＝77. 答：停止加热时的气体温度为77 ℃. 首页 类型一 类型二 5.某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，它的图象如图所示. (1)求储存室的容积V的值； 解：设底面积S与深度d的反比例函数表达式为S＝. 把点(20，500)代入表达式，得500＝， ∴V＝10 000. 首页 类型一 类型二 (2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围. 解：由(1)得S＝. ∵S随d的增大而减小， ∴令d＝16，S＝＝625； 令d＝25，S＝＝400. ∴当16≤d≤25时，400≤S≤625. 首页 类型一 类型二 6.(2025·齐齐哈尔)2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合.为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆.校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20 m/min的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5 min(与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以 10 m/min 的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区.机器人甲、乙距B区的距离y(m)与机器人乙行进的时间x(min)之间的函数关系如图所示.请结合图象信息解答下列问题： 首页 类型一 类型二 (1)A，C两区相距______m，a＝______； 解：240　7.5　[由图象可知，A，B两区相距150 m，B，C两区相距90 m，则A，C两区相距150＋90＝240(m)，机器人甲到达B区时所用时间为150÷20＝7.5( min)，∴a＝7.5.] 240 7.5 首页 类型一 类型二 (2)求线段EF所在直线的函数表达式； 解：∵机器人乙到达B区时所用时间为90÷10＝9(min)，∴E(9，0). 又机器人乙从B区返回C区过程中的速度为90÷(15－9)＝15(m/min)， 则y＝15(x－9)＝15x－135， ∴线段EF所在直线的函数表达式为y＝15x－135. 首页 类型一 类型二 (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30 m？ 解：当0≤x≤7.5时，由机器人甲、乙相距30 m，得20x＋10x＋30＝240，解得x＝7； 当9≤x≤12时，由机器人甲、乙相距30 m， 得15x－135＝30，解得x＝11； 当12＜x≤15时， 机器人甲的速度为90÷(15－12)＝30(m/min)， 则y＝30(x－12)＝30x－360. 由机器人甲、乙相距30 m，得15x－135－(30x－360)＝30，解得x＝13. ∴机器人乙行进的时间为7 min或11 min或13 min时，机器人甲、乙相距30 m. 首页 类型一 类型二 7.为了做好校园夏季灭蚊杀虫工作，卫生保健老师每天傍晚对全校学生寝室和教室进行药物喷洒灭蚊杀虫，她完成3间寝室和2间教室的药物喷洒要19 min；完成2间寝室和1间教室的药物喷洒要11 min. 解：设卫生保健老师完成一间寝室和一间教室的药物喷洒分别要x min和y min， 则解得 答：卫生保健老师完成一间寝室和一间教室的药物喷洒分别要3 min和5 min. (1)卫生保健老师完成一间寝室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？ 首页 类型一 类型二 (2)灭蚊药物在一间寝室内空气中的浓度y(单位：mg/m3)与时间x(单位：min)的函数关系如图所示.卫生保健老师进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝4x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A(m，n).当寝室空气中的药物浓度不高于1 mg/m3时，对人体健康无危害，卫生保健老师依次对101号至307号寝室(共21间)进行药物喷洒灭蚊，当她把最后一间寝室药物喷洒完成后，住在101号寝室的学生能否进入寝室？请通过计算说明. 首页 类型一 类型二 解：一间寝室的药物喷洒时间为3 min，则喷洒21个寝室需要21×3＝63 (min). 当x＝3时，y＝4×3＝12，则点A的坐标为A(3，12). 设反比例函数的表达式为y＝(k≠0)， 将点A(3，12)代入上式，得＝12，解得k＝36， 则反比例函数的表达式为y＝.当x＝63时，y＝＜1， 故住在101号寝室的学生能安全进入寝室. 首页 类型一 类型二 8.综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8 m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m. 图1 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？ 首页 类型一 类型二 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设AB为x m，BC为y m.由矩形地块面积为8 m2，得到xy＝8，满足条件的(x，y)可看成是反比例函数y＝的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10 m，得到2x＋y＝10，满足条件的(x，y)可看成一次函数y＝－2x＋10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x，y)就可以看成两个函数图象交点的坐标. 首页 类型一 类型二 如图2，反比例函数y＝(x＞0)的图象与直线l1：y＝－2x＋10的交点坐标为(1，8)和________，因此，木栏总长为10 m时，能围出矩形地块，分别为AB＝ 1 m，BC＝8 m；或AB＝___m，BC＝____m. (1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空； 解：(4，2)　4　2 [联立解得 ∴反比例函数y＝与直线l1：y＝－2x＋10的交点坐标为(1，8)和(4，2). ∴AB＝1 m，BC＝8 m；或AB＝4 m，BC＝2 m.] (4，2) 4 2 首页 类型一 类型二 【类比探究】 (2)若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法， 在图2中画出一次函数图象并说明理由； 解：不能围出. 理由：∵木栏总长为6 m， ∴2x＋y＝6，则y＝－2x＋6， 画出直线y＝－2x＋6的图象，如图中l2所示. ∵l2 与反比例函数y＝ 的图象没有交点， ∴不能围出面积为 8 m2的矩形地块. 图2 首页 类型一 类型二 【问题延伸】 当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝－2x＋a.发现直线y＝－2x＋a可以看成是直线y＝－2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点(2，4)时，直线y＝－2x＋a与反比例函数y＝(x＞0)的图象有唯一交点. (3)请在图2中画出直线y＝－2x＋a过点(2，4)时的图象，并求出a的值； 解：如图，直线l3即为所求. 将点(2，4)代入y＝－2x＋a， 得－2×2＋a＝4， 解得a＝8. 图2 首页 类型一 类型二 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝－2x＋a与y＝图象在第一象限内交点的存在问题”. (4)若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1 m，请直接写出a的取值范围. 解：8≤a≤17.　[∵AB和BC的长均不小于1 m， ∴x≥1，y≥1.∴y＝≥1.∴x≤8.∴1≤x≤8. 如图，直线y＝－2x＋a在l3，l4上面或之间移动， 把(8，1)代入y＝－2x＋a，得－2×8＋a＝1， 解得a＝17.∴8≤a≤17.] 图2 首页 类型一 类型二 本讲内容结束 $