第3单元 第12讲 二次函数的图象与性质-【中考2号】2026年湖南中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件系统覆盖二次函数核心考点，包括概念、表达式、图象性质、系数关系、平移及与方程不等式关系，对接课标要求，分析湖南中考命题趋势，归纳顶点式转化、最值计算等常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于“知识导图+真题演练+技巧总结”模式，如例1一题多设问整合顶点、最值等考点，提分点拨用几何直观分析自变量范围最值，培养推理意识。帮助学生掌握待定系数法等技巧，教师可依此高效规划复习，提升冲刺效果。

第一编　教材复习·聚焦必备知识 第三单元　函数 第12讲　二次函数的图象与性质 2026中考 湖南·数学 目 录 2 1 回归教材∙梳理必备知识 2 2 命题研究∙湖南怎么考 2 课标 要求 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 3.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 知识导图 首页 目录 3 回归教材∙梳理必备知识 01 4 二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 定义 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，其中x是自变量 图象 二次函数的图象都是抛物线 表达式 y＝ax2 y＝ax2＋c y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向 a＞0⇔开口①　 　；a＜0⇔开口向下 增减性 a＞0⇔对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大 a＜0⇔对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 向上 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 5 二次函数的图象与性质 对称轴 直线x＝0 (y轴) 直线x＝0 (y轴) 直线x＝h 直线x＝h 直线x＝－ 顶点 坐标 (0，0) (0，c) (h，0) ②　 .　 －， 最值 y最值＝0 y最值＝c y最值＝0 y最值＝k y最值＝ 大致 图象 (a＞0)       (h＞0)   (h＜0，k＜0)   (b＞0，c＜0) 【易错提醒】1.利用二次函数的定义解题时，应注意二次项系数a是否为0. 2.讨论二次函数的增减性时，一定要指明是在对称轴的左侧还是右侧. (h，k) 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 二次函数的图象与a，b，c的关系 字母或代数式 符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 ｜a｜越大，开口越④　 .　 a＜0 开口向③　 .　 b b＝0 对称轴为⑤　　轴  ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 y 下 小 简称“左同” 简称“右异” 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 二次函数的图象与 a，b，c的 关系 字母或代数式 符号 图象的特征 c c＝0 经过⑥　　点  c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴⑦　　半轴相交 特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c； 当x＝－1时，y＝⑧　 .　 若a＋b＋c＞0，即当x＝1时，y＞0； 若a＋b＋c＜0，即当x＝1时，y⑨　　0 原 负 a－b＋c ＜ 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 二次函数表达式的求法 二次函数表达式的求法 待定系数法：(1)设；(2)代；(3)解；(4)答 一般式：y＝ax2＋bx＋c，适合已知三个点或三对x，y的值 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，适合已知顶点，对称轴或最值 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，适合已知与x轴的交点坐标 形 式 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 9 平移 求法 二次函数表达式的求法 平移方向 一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 顶点式 y＝a(x－h)2＋k 口诀 向左平移m 个单位长度 y＝a(x＋m)2＋b(x＋m)＋c y＝a(x－h＋m)2＋k 左加右减自变量(x) 向右平移m 个单位长度 y＝a(x⑩ 　)2＋ b(x⑪ 　)＋c y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m 个单位长度 y＝ax2＋bx＋c＋m y＝a(x－h)2＋k＋m 上加下减常数项(c) 向下平移m 个单位长度 y＝ax2＋bx＋c⑫ .　 y＝a(x－h)2＋k－m －m －m －m 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 二次函数与方程、不等式的关系 二次函数与方程、不等式的关系 与方程 的关系 与x轴有⑬　　个交点⇔对应方程有两个不相等的实数根⇔Δ＞0 与x轴有⑭　　个交点⇔对应方程有两个相等的实数根⇔Δ⑮　　0 与x轴没有交点⇔对应方程没有实数根⇔Δ⑯　　0 结合函数图象分析取值范围 ax2＋bx＋c＞0解集⇔抛物线位于y轴上方对应点的横坐标的取值范围 ax2＋bx＋c＜0解集⇔抛物线位于y轴下方对应点的横坐标的取值范围 2 1 ＝ ＜ 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 11 命题研究∙湖南怎么考 02 12 二次函数的图象与性质 例 1　 　 已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，根据要求回答下列问题. (1)将该二次函数表达式化为顶点式为__________________； (2)该二次函数有最______值(填“大”或“小”)，其值为______； (3)该二次函数的图象与x轴的交点坐标为__________________，与y轴的交点坐标为__________； 一题多设问 y＝－(x－1)2＋4 大 4 (－1，0)和(3，0) (0，3) 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 13 (4)若点P(－，)为该二次函数图象上的点，则点P关于对称轴对称的点的坐标为_______； (5)当－3≤x≤0时，y的最大值为____，最小值为______； (6)当－≤x≤3时，y的最大值为____，最小值为____； (7)若点A(－2，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)在该二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________________.(用“＜”连接) (， 3 －12 4 0 y3 ＜y1＜y2 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习1 (2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(　　) A.图象的开口向下 B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于－3 D.当x＝2时，y＜0 D 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习2 (2025·益阳模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是(　　) A.－4 B.－2 C.0 D.2 B 练习3 已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　) A.0＜t≤2 B.0＜t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 C 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 　　给定自变量取值范围的二次函数值的大小比较，其本质是比较自变量与对称轴的位置关系. 1.当抛物线开口向上时，自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远，函数值越大(如图①). 2.当抛物线开口向下时，自变量对应横坐标的点到对称轴的距离越远，函数值越小(如图②). 3.若所给的自变量的取值范围含有参数，则在求最值时先要讨论抛物线对称轴的横坐标是否在自变量的取值范围内. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 二次函数图象的平移 例 2　把二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度.如果平移后所得抛物线上的点到x轴的距离为2的点有且只有2个，则m应满足的条件为(　　) A.－2＜m＜2 B.m＜1 C.－3＜m＜1 D.－3＜m 练习4 (2025·郴州一模)把抛物线y＝(x－2)2－3向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为__________________. C y＝(x－5)2－5 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 18 二次函数图象与系数的关系 例 3　(2025·永州模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标分别为(－1，0)，(3，0)，有以下结论：①abc＜0；②4a＋b＜0；③2c＋b＜0；④5a＋b＋c＝0.其中结论正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 19 练习5 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，图象的对称轴为x＝－1.有以下结论：①abc＞0；②b＝2a；③b2＞4ac；④4a－2b＋c＜0.其中结论正确的是__________.(填序号) ②③④ 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 二次函数与方程、不等式的关系 例 4　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)，B(－1，0)两点. (1)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为________________； (2)若抛物线与直线y＝5交于(－2，5)，(4，5)两点，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝5的解为__________________；不等式ax2＋bx＋c＜5的解集为____________；不等式ax2＋bx＋c＞5的解集为___________________； (3)若抛物线与直线y＝kx＋m交于(－2，5)，(1，－4)两点，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解为________________. x1＝－1，x2＝3 x1＝－2，x2＝4 －2＜x ＜4 x ＜－2 或 x＞4 x1＝－2，x2＝1 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 21 练习6 (2025·绥化)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C(0，m)，其中－4＜m＜－3.则下列结论：①a－c＞0；②方程ax2＋bx＋c－5＝0没有实数根；③－＜b＜－2；④＞0.其中错误的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 确定二次函数的表达式 例 5　　　　　　　(1)已知抛物线y＝2x2＋c经过点(1，－2)，求抛物线的函数表达式； 解：将点(1，－2)代入y＝2x2＋c，得－2＝2×12＋c.解得c＝－4. ∴抛物线的函数表达式为y＝2x2－4. 一题多设问 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 23 (2)若抛物线y＝x2＋bx＋c经过(1，0)和(3，0)两点，求抛物线的函数表达式； 解：将(1，0)和(3，0)代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3. [另解：∵抛物线与x轴交于(1，0)和(3，0)两点，且二次项系数为1， ∴抛物线的函数表达式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3.] 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 (3)已知抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(－1，0)，求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴－＝1.∴a＝1.将点(－1，0)代入y＝x2－2x＋c，得1＋2＋c＝0.解得c＝－3. ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 (4)已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)顶点的纵坐标为1，且与x轴正半轴的交点为A，且OA＝2，求抛物线的函数表达式； 解：由题意知A(2，0)，抛物线过原点(0，0). ∵顶点的纵坐标为1，∴顶点坐标为(1，1). ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 (5)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－2，0)，B(1，3)两点，且抛物线与y轴交于点C(0，－2)，求抛物线的函数表达式. 解：将A(－2，0)，B(1，3)，C(0，－2)代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝2x2＋3x－2. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习7 一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是______________ ________________. y＝－x2＋1 (答案不唯一) 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习8 已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5).求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标. 解：把A(1，－2)和B(0，－5)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴该二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴图象的顶点坐标为(－1，－6). 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习9 已知二次函数y＝ax2＋bx－2(a＜0)图象的顶点坐标为(，1－a2). (1)求该二次函数的表达式； 解：∵二次函数y＝ax2＋bx－2(a＜0)图象的对称轴为直线x＝－，顶点坐标为(，1－a2)，∴－＝，即b＝－3a.∴y＝ax2－3ax－2. ∴函数图象的顶点坐标为(，－a－2).∴－a－2＝1－a2， 解得a＝－1或a＝4(舍去). ∴该二次函数的表达式为y＝－x2＋3x－2. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 (2)若M(x1，m)，N(x2，m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0，求证：＝. 证明：∵点M(x1，m)在函数y＝－x2＋3x－2的图象上， ∴m＝－＋3x1－2. 由(1)知，点M(x1，m)，N(x2，m)关于直线x＝对称， 不妨设x1＜x2，则x2－＝－x1，即x1＋x2＝3， 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 ∴－＝ ＝＝ ＝＝＝0. ∴＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 请完成《练测本》P23～24素养练测12 本讲内容结束 $