第2单元 第7讲 一元二次方程及其应用-【中考2号】2026年湖南中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件全面覆盖一元二次方程核心考点，严格对接课标要求，包括解法（配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数关系及实际应用。通过知识导图系统梳理，表格对比解法适用情况，结合例题练习归纳常考题型，体现中考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧点拨”模式，如通过配方法求最值例题培养数学思维，根与系数关系的平方型、分式型运用训练模型意识，“每每型”利润问题解析强化应用能力。帮助学生掌握解题技巧提高得分率，教师可依此制定冲刺计划，确保复习效果。

第一编　教材复习·聚焦必备知识 第二单元　方程与不等式 第7讲　一元二次方程及其应用 2026中考 湖南·数学 目 录 2 1 回归教材∙梳理必备知识 2 2 命题研究∙湖南怎么考 2 课标 要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性. 首页 目录 3 知识导图 首页 目录 4 回归教材∙梳理必备知识 01 5 一元二次方程及其解法 一元二次方程及其解法 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①　　的整式方程 一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 6 一元二次方程及其解法 解法 适用情况 方程的根 直接开 平方法 x2＝m(m≥0) x1＝，x2＝－ (x＋n)2＝p(p≥0) x1＝－n， x2＝－－n 配方法 可化为(x＋n)2＝p(p≥0) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝② 因式分解法 ax2＋bx＋c＝a(x－m)(x－n)＝0(a≠0) x1＝m，x2＝n 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式是Δ＝b2－4ac 与根的关系 (1)Δ＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；　　　 (2)Δ③　　0⇔一元二次方程有两个相等的实数根； (3)Δ④　　0⇔一元二次方程无实数根　 　　　　　 ＝ ＜ [切记：不能说方程有一个实数根] 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 8 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 关系：x1，x2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝⑤　 　，x1x2＝⑥ . →[注意：Δ≥0是前提条件] 运用 平方型：＋＝(x1＋x2)2－2x1x2，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 括号型：(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1 分式型：＋＝，＋＝＝ 绝对值型：｜x1－x2｜＝＝＝ 因式分解型：x2＋x1＝x1x2(x1＋x2) － 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 9 一元二次方程的实际应用 一元二次方程 的实际应用 实际问题 列一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 步骤： 常见 类型 变化率问题 设原来的量为a，变化后的量为b.　 当连续两次增长，平均每次增长率为x时，则有a(1＋x)2＝b； 当连续两次下降，平均每次下降率为x时，则有 ⑦　 .　 在求解时一般使用直接开平方法. a(1－x)2＝b 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 10 一元二次方程 的实际应用 常见 类型 传播问题：与变化率问题类似，若开始数量为a，每轮传染中每个个体传染的数量为x，经2轮传染后的数量 为b，则有a(1＋x)2＝b 面积 问题 (1)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝ ⑧　 .　 (2)如图2、图3、图4，设空白部分的宽为x， 则S阴影＝⑨　 .　 (a－x)(b－x) (a－2x)(b－2x) 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 一元二次方程 的实际应用 常见 类型 利润问题(“每每型”) 握手(单循环赛)与送礼物问题 (1)若x人中每两人之间握手一次(x队每两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比赛场数为m)，则⑩　 ＝m (2)若全班有x人，每人向其他人送一份礼物，共送m份礼物，则x(x－1)＝m (1)常用公式：利润＝售价－成本，总利润＝每件利润×销售量 (2)“每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为×b件 首页 目录 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 命题研究∙湖南怎么考 02 13 一元二次方程的有关概念 例 1　关于x的方程(m－1)＋5x＋m＋1＝0是一元二次方程，则m的值为(　　) A.1 B.－1 C.2 D.±1 练习1 (2025·长沙天心区二模)已知a是方程x2＋2x＋1＝0的一个根，则代数式2a2＋4a＋3的值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 B B 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 14 一元二次方程的解法 例 2　(2024·张家界模拟)用配方法解方程x2＋4x－10＝0时，下列配方结果正确的是(　　) A.(x－2)2＝12 B.(x＋2)2＝12 C.(x－2)2＝14 D.(x＋2)2＝14 练习2 一元二次方程x(x＋4)＝3(x＋4)的根是(　　) A.x＝3 B.x＝－4 C.x1＝3，x2＝－4 D.x1＝－3，x2＝－4 D C 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 15 练习3 现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是(　　) A.－1 B.4 C.－1或4 D.1或－4 C 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习4 解方程：x2＋x－1＝0. 解：∵a＝1，b＝1，c＝－1， ∴b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5＞0. ∴x＝＝. ∴x1＝，x2＝. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 一元二次方程根的判别式 例 3　(2025·德阳)若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是(　　) A.2 B.0 C.－2 D.－4 练习5 (2025·内江)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　　) A.a≤2 B.a＜2 C.a≤2且a≠1 D.a＜2且a≠1 C C 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 18 练习6 若m＜0，关于x的一元二次方程mx2－x＋1＝0的根的情况是(　　) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 B 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 一元二次方程根与系数的关系 例 4　(2025·湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　　) A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3 C.x1x2＝4 D.x1x2＝3 练习7 (2025·广安)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为______. D 29 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 20 配方法的应用 例 5　利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为(x＋m)2＋n的形式，然后由(x＋m)2≥0，就可以求出多项式x2＋bx＋c的最小值为n. 例如：求多项式x2－2x＋2的最小值. 解：x2－2x＋2＝x2－2x＋1＋1＝(x－1)2＋1. ∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1. ∴当(x－1)2＝0时，(x－1)2＋1的最小值为1. ∴多项式x2－2x＋2的最小值为1. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 21 根据上述方法，解决下列问题： (1)求多项式x2＋6x＋15的最小值； 解：x2＋6x＋15＝x2＋6x＋9－9＋15＝(x＋3)2＋6. ∵(x＋3)2≥0，∴(x＋3)2＋6≥6. 当(x＋3)2＝0时，(x＋3)2＋6的最小值为6， ∴x2＋6x＋15的最小值为6. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 (2)求多项式－x2＋8x－7的最大值； 解：－x2＋8x－7＝－(x2－8x＋16)＋16－7＝－(x－4)2＋9. ∵－(x－4)2≤0， ∴－(x－4)2＋9≤9. 当(x－4)2＝0时，－(x－4)2＋9的最大值为9， ∴－x2＋8x－7的最大值为9. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 (3)求多项式4x2－12xy＋10y2＋4y＋9的最小值. 解：4x2－12xy＋10y2＋4y＋9＝4x2－12xy＋9y2＋y2＋4y＋4＋5＝(2x－3y)2＋(y＋2)2＋5. ∵对于任意x，y，都有(2x－3y)2≥0，(y＋2)2≥0， ∴(2x－3y)2＋(y＋2)2＋5≥5. ∴4x2－12xy＋10y2＋4y＋9的最小值是5. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习8 阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当a≥0，b≥0时，有(－)2＝a－2＋b≥0，得a＋b≥ 2，当且仅当a＝b时等号成立，即a＋b有最小值是2.请利用这个结论解答问题：当x＞0时，2x＋1＋的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.3 D 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 例 6　(2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为(　　) A.x(60－x)＝864 B.x(x－60)＝864 C.x(60＋x)＝864 D.2[x＋(x＋60)]＝864 一元二次方程的应用 A 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习9 (2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元，预计7月产值将增至9 100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为(　　) A.2 500(1＋x)2＝9 100 B.2 500(1－x)2＝9 100 C.2 500(1－2x)2＝9 100 D.2 500(1＋2x)2＝9 100 A 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 练习10 (2025·衡阳耒阳市三模)“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷.某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1 800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1 000元.如果该品牌学习机商店拟获利4 200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 解：设该商店需要将每台学习机售价定为x元， 则每台学习机的销售利润为(x－1 000)元， 每天可售出4＋＝(40－)台. 依题意，得(x－1 000)(40－)＝4 200. 整理，得x2－3 000x＋2 210 000＝0. 解得x1＝1 300，x2＝1 700. ∵要减少库存，∴x＝1 300. 答：该商店需要将每台学习机售价定为1 300元. 首页 目录 命题点一 命题点二 命题点三 命题点四 回归教材∙梳理必备知识 命题研究∙湖南怎么考 命题点五 请完成《练测本》P13～14素养练测7 本讲内容结束 $