专题20.1勾股定理应用寒假预习题型突破讲义(12大题型+典题专练)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题20.1勾股定理应用寒假预习题型突破讲义 【12常考题型共计65题】 一、考查频率与分值 出现频率：几乎每年各地中考、期中期末考都会涉及，是必考题之一，选择、填空、解答题均有覆盖。 分值占比：通常在 6~12 分之间，若作为综合应用题，分值可达 10 分以上。 命题侧重：很少单独考查定理证明，更注重将现实问题转化为直角三角形的建模能力。 二.题型分布与难度 选择题 / 填空题：常见考法包括梯子滑落、河宽计算、台阶地毯长度、蚂蚁爬立方体等最短路径问题，整体难度中等，在各类考试中占比约 40%。 解答题：常以旗杆高度、航海距离、台风影响判断、汽车超速判断等实际场景出现，难度中等偏难，占比约 50%，是拉开分数的关键题型。 综合压轴题：会与坐标系、函数、图形折叠、相似三角形等知识点结合，考查最值或动态问题，难度较高，占比约 10%，主要用于区分尖子生水平。 1.梯子滑落问题:高度变化量求解 2.旗杆高度问题:高度值计算 3.小鸟飞行问题:最短距离求解 4.大树折断问题:原高度计算 5.水杯筷子问题:长度最值求解 6.航海航行问题:距离与方位计算 7.河流河宽问题:河宽值求解 8.台阶地毯问题:地毯长度计算 9.汽车行驶问题:超速情况判断 10.台风影响问题:受营销与否判断 11.等距选址问题:等距位置确定 12.路径规划问题:最短路径求解 勾股定理应用的核心公式与等量关系 一、核心公式 勾股定理的基本表达式为：在直角三角形中，设两条直角边为 a、b，斜边为 c，则a2+b2=c2 变形公式：c=,,b=​ 二、各类应用场景的等量关系 1. 高度 / 长度计算类 梯子滑落问题 梯子长度c不变，设梯子初始时底部距墙a1、顶端高b1；滑落底部距墙a2、顶端高 b2，则+=+=c2 旗杆 / 大树高度问题 折断部分为斜边 c，地面到折断点的水平距离为 a，折断后顶端到地面的垂直高度为 b，则原高度=b+​ 水杯中筷子问题 筷子在杯外长度为 L外​，杯内部分为斜边 c，杯底面直径为 a、杯高为 b，则c=​,筷子总长=c+L外​ 台阶地毯长度问题 地毯总长等于台阶的水平投影总长度与垂直投影总长度之和， 即L=L水平+L垂直​ 2. 距离 / 路径计算类 小鸟飞行 / 河宽问题 两点间直线距离为斜边 c，水平、垂直距离为直角边 a、b， 则c=​ 航海问题 船的行驶方向互相垂直时，设两段行驶距离为 a、b，则船与出发点的距离为c=​ 最短路径问题 立体图形（如长方体）表面两点最短路径，需将面展开为平面直角三角形，再用勾股定理计算斜边。 3. 实际场景判断类 汽车超速判断 先通过刹车痕迹长度 a、刹车时的摩擦系数求出刹车前速度 v，再与限速比较：v=（μ 为摩擦系数，g 为重力加速度） 台风影响判断 计算台风中心到目标点的最短距离 d，若 d≤ 台风影响半径 R，则受影响；否则不受影响。d= 4. 几何选址类 到两地距离相等的点 两点 A、B，求点 P 使 PA=PB，则 P 在 AB 的垂直平分线上。 A(x1,y1)，B(x2,y2​)， 则垂直平分线的方程为(x−x1)2+(y−y1)2=(x−x2)2+(y−y2)2 【题型1.梯子滑落问题:高度变化量求解.】 1．如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么 m． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理解直角三角形． 利用勾股定理先求出，再求出，最后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 2．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴ ∴， ∴； 故选A． 3．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出的长，再求出的长，进而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 4．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑 米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【答案】1.7 【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键． 根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案． 【详解】解：由题意得：(米)， 梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称， 米， (米)， 即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 故答案为：． 解答题3 5．如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【分析】先在中，根据勾股定理求出米，由题意得，则米．再在中，根据勾股定理求出米，进而可得的长为3米，即墙的高度． 本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， ∴米， 由题意得， ∴米， 在中，米，米， ∴米， 又∵米， ∴米， ∴墙的高度为3米． 6．【综合实践】 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端移动的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)这架云梯顶端距地面的距离的高为 (2)梯子的底端移动的距离是 (3)能，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数的大小比较； （1）在中，利用勾股定理求出即可； （2）先求出，再在中，利用勾股定理求出，然后根据求解即可； （3）利用勾股定理求出云梯的顶端刚好在墙头位置时，云梯底端离墙的距离，然后与安全距离比较即可． 【详解】（1）解：在中，根据题意得：， 答：这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）∵，， ∴， ∴， 答：梯子的底端移动的距离是． （3）能， 理由：∵云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴云梯的顶端刚好在墙头位置时，云梯底端离墙的距离为：， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 【题型2.旗杆高度问题:高度值计算】 7．强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 8．一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 9．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题中勾股定理的应用，明确题意，表示出直角三角形中三边长度，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设绳索的长为尺，根据题意表示出、长度，根据勾股定理可列出关于的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：（尺），（尺），（尺）， （尺）， 设绳索尺，尺， 在中， 即， 解得． 答：绳索的长为尺． 故答案为：． 解答题 10．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形，. ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 11．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）假设能上升，延长至点F，使，连接，在中， 利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图2，延长至点F，使，连接， ∴， 在中， ， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 【题型3.小鸟飞行问题:最短距离求解】 12．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 13．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 设大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故答案为： 14．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理及无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；如图，，，然后根据勾股定理及无理数的估算可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故选C． .15．如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 解答题 16．如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 17．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 【题型4.大树折断问题:原高度计算】 18．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 19．如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是米，倒下部分与地面成夹角，这棵大树在折断前的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的边长的性质、勾股定理的应用，牢牢掌握勾股定理及直角三角形的性质是解答本题的关键．根据含角的直角三角形的边长的性质可知，设，则，利用勾股定理可知，解方程求出的值，即可得到、的长度，大树的高度就是． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 大树的高为米． 故答案为：． 20．如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 解答题 21．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 22．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 【题型5.水杯筷子问题:长度最值计算】 23．如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 24．如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为，高为，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出，吸管长（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体的性质，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据圆柱体的性质，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，得圆柱底面半径为，    故底面直径为，高为， 则， 故圆柱内部吸管长， 又露出的部分至少为， 故吸管长． 故选：A． 25．如图，是一种筷子的收纳盒，长，宽，高分别为，现将一根长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出收纳盒里面筷子的最大长度是解题的关键．求出筷子露在收纳盒外的最长长度和最短长度，即可得出结论． 【详解】解：当筷子放进收纳盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长； 当筷子放进收纳盒里露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长，高为， 由勾股定理得：收纳盒里面筷子长度， 筷子露在收纳盒外的长度最短； 筷子露在盒外的部分的取值范围是， 故答案为：． 解答题 26．水池中有水，水面是一个边长为尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的池边，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？ 【答案】水池深尺，芦苇长尺 【分析】本题主要考查了勾股定理．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 芦苇的长度尺， 答：水池深尺，芦苇长尺． 27．如图，一根长的牙刷放置于底面直径是，高为的圆柱体水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，求的范围． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键．根据当牙刷垂直于底面放置时，最大，当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，即可得出答案． 【详解】解：当牙刷垂直于底面放置时，最大，此时 当牙刷与杯底直径及杯高构成直角三角形时最小，如图， 在中，根据勾股定理得 的范围是：． 【题型6.航海航行问题:距离与方位计算】 28．如图，两艘轮船和分别从港口出发，轮船以4海里/时的速度向东北方向航行，轮船以3海里/时的速度从港口出发向东南方向航行，行驶5个小时后，两船的距离为 海里．    【答案】25 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了20海里，15海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：连接如图，    ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 在中，（海里），（海里）， 根据勾股定理得（海里）． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理进是解决问题的关键． 29．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（    ）海里/小时 A． B． C．40 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键． 过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点D， ∴， ∵海里， ∴在中，海里， （海里）， ∵，， ∴， ∵， ∴海里， ∴海里， 则该船行驶的速度为：（海里/小时）． 故选：B 30．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） . A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 解答题 31．如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求： (1)两船分别航行了多少海里？ (2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，方向角，根据题意得出是直角三角形是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里）， ∵两船相距26海里， ∴（海里）， ∵，， 故， 是直角三角形， ， ∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 32．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海里，乙船每小时航行8海里． (1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于、处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)乙船沿南偏东方向航行，理由见解析 (2)他能在14分钟内到海岸线，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形进行解答． （1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）作于D，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：（海里）， （海里）， 在中， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴乙船沿南偏东方向航行； （2）过点C作于D， 由题知，则（海里）， ∴海里， ∴（海里）， （海里）， ∴他能在14分钟内到海岸线． 【题型7.河流河宽问题:河宽值求解】 33．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 34．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故选：D． 35．如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 36．如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得米（负值舍去）， 故选：A． 解答题. 37．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 38．某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，方位角等知识，构造直角三角形是解题的关键． （1）连接，过D作于E；分别在，中利用勾股定理求出，即可求得结果； （2）设两人速度为1，由（1）的计算可得的长；由题意得是等腰直角三角形，由（1）的结论及勾股定理求得，即可求得；比较即可谁先到达C地． 【详解】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 【题型8.台阶地毯问题:地毯长度计算】 39．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为（   ） A．6m B．7m C．8m D．9m 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． 当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度 ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是（m）． 故选B． 40．如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解：在中，（米， 故可得地毯长度（米， 故选：． 41．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积. 【详解】解：由题意得： 由勾股定理可得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要（元）； 故答案为： 解答题 42．某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 43．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 【题型9.汽车行驶问题:超速情况判断】 44．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 45．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 46．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是 米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是 秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 解答题 47．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长． (2)这辆大巴车超速了吗? 【答案】(1) (2)大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，理解题意是解题关键． （1）在中，根据勾股定理即可求出的长； （2）根据（1）中结果求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， （2）由（1）得：大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 48．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方120米的处，过了8秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为200米． (1)求的长； (2)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可； （2）求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：在中，， ， 答：的长为米； （2）解：小汽车的速度为：， ， 故小汽车超速了． 【题型10.台风影响问题:受影响是否判断】 49．如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有， 在中，， ， 则该校受影响的时间为：． 该学校受影响的时间为24秒． 故答案为：24 50．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    51．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为 秒． 【答案】9 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 解答题 52．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）过点作于点，此时线段为点到线段的距离，通过三角形面积相等可求出线段的长，若，则海港受台风影响，若，则海港不受台风影响； （2）通过勾股定理可求出线段、的长，从而求出线段的长，利用路程除以速度即可求出时间； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，过点作于点构建直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是直角三角形． ∴， 即， 解得． ∵， ∴海港受台风影响． （2）设台风到达点时开始影响该海港，到达点时解除影响该海港， ∴． ∵于点， ∴， ， ∴． ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 53．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 【题型11.等距选址问题:等距位置确定】 .54．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 55．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，根据题意画出图形的能力．在点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为，设，在中，为斜边，已知，，即可求，且，根据的等量关系可以求得，即可求相遇点的坐标．找到并且根据其求点坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，设在点小蓓与汽车相遇，且设，过点轴， ∴，， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ，在中， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 故选：C． 56．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 解答题 57．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 58．如下图，在笔直的公路旁边有，两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得，两点之间的距离为．现要在，两点之间建一个服务区，使得，两个村庄到服务区的距离相等，求的长． 【答案】 【分析】设的长为未知数，利用间的距离表示出的长；再分别在和中，用勾股定理表示和；结合的条件列方程，求解未知数得到的长． 【详解】解：设，则． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． 由题意，得， ， ，解得， 的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握通过设未知数，利用勾股定理表示线段长度的平方，结合等量关系列方程求解是解题的关键． 【题型12.路径规划问题:最短路径求解】 59．如图，原来从A村到B村，需要沿路绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，那么打通隧道后从A村到B村比原来少走的路程为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再和以前的路程作比较即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为， 60．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用．将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可． 【详解】解：如图， ①将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则为直角三角形， ，， ， 故壁虎爬到蚊子处的最短距离为． ②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6，垂直距离为7， 此时的最短距离为， ， 故选：A． 61．运动展风采，筑梦向未来，为进一步贯彻“双减”政策，落实“五育”并举，学校组织了秋季田径运动会．如图是运动会的颁奖台，3个长方体颁奖台的长均为80cm，宽均为60cm，1，2，3号台的高度分别是40cm，30cm，20cm．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到1号颁奖台的顶点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开图，最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题．根据题意将立体图形展开，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意知，展开图如下： ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离为， 故答案为：． 62．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作的交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 63．如图，在平面直角坐标系中，，，，过点作轴于点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题的关键在于运用数形结合的思想求的最小值，明确两点之间线段最短这一基础知识是解题的关键， 先用勾股定理表示出，再用数形结合的思想求出的最小值． 【详解】解：由勾股定理得， ， ， 求出式的最小值即的最小值， 观察式，由勾股定理可知，式可视为点与点之间的距离， 观察式，由勾股定理可知，式可视为点与点之间的距离， 两点之间线段最短， 为了最小，应使点，点，点处在同一直线上， 如图所示，， 作点关于轴的对称点， 连接与，此时线段长度为最小值， 线段长度， 此时， 的最小值为 ． 故答案为：． 解答题 64．如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 【答案】沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，把“立体图形”转化为“平面图形”，然后根据勾股定理计算解答． 【详解】解：蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点，有三种方式，分别展成平面图形如下： 如图1，在中， ． 如图2，在中， ． 如图3，在中， ． ∵， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为． 65．如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖． (1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？ (2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程． 【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短； (2)蚂蚁经过的路程最短路程为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可； （2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可． 【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体， ∴甲设计的爬行路线长为， 乙设计的爬行路线长为， 丙设计的爬行路线长为， ∵， ∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短， 答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短． （2）解：∵两点之间线段最短， ∴不考虑沿着棱爬行的情况， 如图所示， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， 蚂蚁沿爬行，经过的路程长为， ∵， ∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为， 答：蚂蚁经过的路程最短路程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题20.1勾股定理应用寒假预习题型突破讲义 【12常考题型共计65题】 专情分析 “、考查频率与分值 出现频率：几乎每年各地中考、期中期末考都会涉及，是必考题之一，选择、 填空、解答题均有覆盖。 分值占比：通常在6~12分之间，若作为综合应用题，分值可达10分以上。 命题侧重：很少单独考查定理证明，更注重将现实问题转化为直角三角形的建 模能力。 二.题型分布与难度 选择题/填空题：常见考法包括梯子滑落、河宽计算、台阶地毯长度、蚂蚁 爬立方体等最短路径问题，整体难度中等，在各类考试中占比约40%。 解答题：常以旗杆高度、航海距离、台风影响判断、汽车超速判断等实际场景 出现，难度中等偏难，占比约50%，是拉开分数的关键题型 综合压轴题：会与坐标系、函数、图形折叠、相似三角形等知识点结合，考查 最值或动态问题，难度较高，占比约10%，主要用于区分尖子生水平。 题型梳理 1.梯子滑落问题：高度变化量求解 2.旗杆高度问题：高度值计算 3.小鸟飞行问题：最短距离求解 4.大树折断问题：原高度计算 5水杯筷子问题：长度最值求解 6.航海航行问题：距离与方位计算 7河流河宽问题：河宽值求解 8.台阶地毯问题：地毯长度计算 9.汽车行驶问题：超速情况判断 10.台风影响问题：受营销与否判断 11.等距选址问题：等距位置确定 12.路径规划问题：最短路径求解 试卷第1页，共3页 知识点梳理 勾股定理应用的核心公式与等量关系 一、核心公式 勾股定理的基本表达式为：在直角三角形中，设两条直角边为a、b,斜边为c, 则a2+b2=c2 变形公式：ca2+b,a=V2-b,b2-a识 各类应用场景的等量关系 1.高度/长度计算类 梯子长度c不变，设梯子初始时底部距墙a1、顶端高b1；滑落底部距墙a2、顶端 高b2,则a124b,2-a224b22-c2 折断部分为斜边c,地面到折断点的水平距离为a,折断后顶端到地面的垂直高 度为b,则原高度=b+Va2+b 筷子在杯外长度为L外，杯内部分为斜边c,杯底面直径为a、杯高为b,则 cVa2+b2,筷子总长=c+L外 地毯总长等于台阶的水平投影总长度与垂直投影总长度之和， 即L=L水平+L垂直 2.距离/路径计算类 两点间直线距离为斜边c,水平、垂直距离为直角边a、b, 则c-Va2+b2 船的行驶方向互相垂直时，设两段行驶距离为a、b,则船与出发点的距离为c Va2+b2 立体图形（如长方体）表面两点最短路径，需将面展开为平面直角三角形，再用 勾股定理计算斜边。 3.实际场景判断类 先通过刹车痕迹长度a、刹车时的摩擦系数求出刹车前速度v,再与限速比较： vV2ga(u为摩擦系数，g为重力加速度) 试卷第1页，共3页 计算台风中心到目标点的最短距离d,若d≤台风影响半径R,则受影响；否 则不受影响。dVa2+b 4.几何选址类 两点A、B,求点P使PA=PB,则P在AB的垂直平分线上。 A(X1,y1),B(2,y2), 则垂直平分线的方程为(x-x1)2+(y-y1)2=(x-x2)2+y-y2)2 常考题型精讲精练 【题型1.梯子滑落问题：高度变化量求解.】 1.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m,梯子的顶端B到地面 的距离为7m,现将梯子的底端A向外移到C,使梯子的底端C到墙根O距离为3m,同时 梯子顶端B下降至D,那么BD=m. D 2.如图，一根长13m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端5m.如果梯子 的顶端下滑7m,那么梯足将滑动(). A.7m B.8m C.9m D.10m 3.如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙A0上，这时A0为24m.如果梯子AB的 底端向墙一侧移动了2m,那么梯子的顶端向上滑动的距离是() 试卷第1页，共3页 D B A.10√6-24m B.1m C.2m D.(4-V5m 4.如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙底端C的距离为0.7米. 当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于AB位置，恰与原位置AB关于墙角∠ACB 的角平分线所在的直线轴对称. B 解答题3 5.如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左 墙角的距离0C为0.7米，顶端距离地面的距离BC为2.4米.如果保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离0F为1.5米，顶端距离墙顶的距离DE为1 米，则墙的高度为多少米？ D C F 6.【综合实践】 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB,如图，云梯 斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m,∠DCE=90°. 试卷第1页，共3页 A 、B' E ()【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A位置上（云梯长度不改 变)，AA'=4m,那么梯子的底端移动的距离BB'是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高23m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员， 经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的？，则云梯和消防 员相对安全.在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达23m高的墙头去救援被困人员？ 【题型2.旗杆高度问题：高度值计算】 7.强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆 折断之前的高度是()m. 5m mrmipaumum A.12 B.13 C.17 D.18 8.一根高为9m的旗杆在离地4m的位置折断，折断处仍相连，此时身高为1m的小明在离旗 杆3.9m处玩耍() A.没有危险 B.有危险 C.可能有危险 D.无法判断 9.我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地。 送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问 题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离DE的长为1尺，将它向前 水平推送10尺时，即BC=10尺，秋千踏板离地的距离BF和身高5尺的人一样高，秋千的 绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是尺。 试卷第1页，共3页 C6 E 解答题 10.如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地 面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距 离为9米. B (I)求旗杆AB的高度； (②)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直， 绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（√5≈2.24，结果保留1位小 数) 则∠EMB=∠MBD=∠EDB=90°， M B 四边形BDEM为长方形， :MB=ED 2m,BD ME, :AB=12m, .AM=12-2=10m,AE=12+3=15m, 在RIAAME中，∠AME=90°， 试卷第1页，共3页 11.小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案： 先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m;根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m; 牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m.己知点A,B,C,D在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度CD; (2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m,，请问能否成功？请 说明理由。 【题型3.小鸟飞行问题：最短距离求解】 12.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米·一只鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行() A.6米 B.8米 C.10米 D.12米 13.如图，两树的高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树 的树梢，则这只鸟至少飞行 米 10米 8米 14.轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两 棵树，一棵高6m,另一棵高2m,两树相距6m,一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的 树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是() 试卷第1页，共3页 A.5m B.6m C.7m D.8m 15.如图，在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到 A处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，若两 只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米. 解答题 16.如图1，有两棵树，一棵高18米(AB=18米)，另一棵高2米(CD=2米)，两树相距 12米(BD=12米). 18米 M B 12米 (A)I B 12米 (图1) (图2) (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断 处M距离地面多少米？ 17.如图，琪琪在离水面高度5m的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子 BC的长为13m. 试卷第1页，共3页 5m D B (1)开始时，小船距岸A的距离为 m (2)若琪琪收绳5m后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离BD的长. 【题型4.大树折断问题：原高度计算】 18.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折 高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地 处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出 的正确方程为() A.x2+62=102 B.(10-x2+62=x2 C.x2+62=10-x D.（10-x)2+x2=62 19.如图，一棵大树在一次强台风中倒下，树尖距树根的距离是2√5米，倒下部分与地面成 30°夹角，这棵大树在折断前的高度为米. 30° 20.如图在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池 塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处.如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵 树高_m 试卷第1页，共3页 解答题 21.如图，一根木杆在离地面3m的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端4m处， D 图1 图2 (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (②)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端3m处，求AD的长. 22.如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离 AC=4.5m,树尖B恰好碰到地面.在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车， CD=6.5m,树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由. 【题型5.水杯筷子问题：长度最值计算】 23.如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高 出水面2尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根 芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为() A.x2+62=122 B.(12-1)+62=x2 C.x2+62-(x-2)2 D.(x-22+62=x2 24.如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm,高为12cm,吸管放进杯 里，杯口外面至少要露出4.6cm,吸管长(）cm 试卷第1页，共3页