第八章 实数 单元复习题 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 单元复习题 一、单选题 1．下列各式中，正确的是（） A． B． C． D． 2．如果是的相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．与无理数最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．下列四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 6．已知，，，则的值约是（    ） A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7 7．下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．负数没有立方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是2 8．若，则的平方根为（   ） A． B． C． D． 9．的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 10．在实数（每两个1之间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．的平方根是 12．已知，则 ． 13．计算 ． 14．比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 15．的平方根是 ，的立方根是 ． 16．的绝对值是 ． 17．如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为时，输出的的值是 ； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值： ； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值： ． 18．在草稿纸上计算：①，②，③…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：= ，= ． 19．阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为，若规定实数m的整数部分记为，小数部分记为，可得：，．按照此规定计算的值 ． 三、解答题 20．根据平方根的意义解方程： (1)； (2)． 21．已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 22．已知，且与互为相反数， (1)求的值； (2)求的算术平方根； (3)求的立方根． 23．阅读下面文字，解决问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是根据以上知识解答下列问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 24．我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，4.13的小数部分为． (1)_________，_________，的小数部分_________； (2)已知，其中是整数，且，则的相反数是_________； (3)设的小数部分为，求的值． 25．小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为137的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积． 又，． 当时，可忽略，得，得到， ． (1)直接写出下列各数的整数部分的值：①；②； (2)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (3)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 26．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互质的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念．算术平方根表示非负数，而平方根有两个值，用表示．需根据定义逐项判断． 【详解】解：对于A：∵，∴A错误． 对于B：∵，∴B错误． 对于C：∵表示算术平方根，结果为1，而非，∴C错误． 对于D：∵，∴，正确． 故选：D． 2．B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：∵是的相反数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义、实数的性质，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 3．B 【分析】先求出最接近的整数是4，再写出最接近的整数是5即可． 【详解】∵， ∴ ∴最接近的整数是4 ∴最接近的整数是5 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，得到最接近的整数是4是解题的关键． 4．A 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，通过估计的值在和之间，再加得到范围在和之间，掌握无理数的大小估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ， ∴在和之间， 故选：． 5．B 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律． 利用立方根的性质，将1510分解为，再分别求立方根后相乘． 【详解】解：∵ ， 又∵ ，， ∴ ． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐一判断即可．熟练掌握这几个定义是解题的关键． 【详解】解：A、9的平方根是，故此选项不符合题意； B、负数有立方根，故此选项不符合题意； C、， 的平方根是，故此选项不符合题意； D、，的算术平方根是2，故此选项符合题意； 故选：D． 8．D 【分析】本题考查了平方根的定义，非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 9．B 【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，的平方根分别是，， ∴，互为相反数且都不为0， ∴， ∴， 故选：B 10．B 【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键．首先计算，然后根据无理数是无限不循环小数判断即可． 【详解】解：， 根据无理数的定义可知：，，（每两个1之间的3依次多1）是无理数， 无理数的个数是个． 故选：B． 11． 【分析】本题考查平方根，掌握平方根的概念是解题的关键．由，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】由题意，， ， 的平方根是， 的平方根是． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据算术平方根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为：． 13．0 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的运算，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．先分别计算立方根和算术平方根，再进行加法运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．< 【分析】本题考查了实数的大小比较，因为分母相同，通过比较分子的大小即可． 先得出，进而可得出答案． 【详解】因为 和的分母相同， 所以比较分子和． 由于， 所以， 所以， 因此． 故答案为<． 15． 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根等知识，根据平方根的定义“当时，叫的平方根”求出的平方根，根据算术平方根的定义“当时，叫的算术平方根”得到，然后根据立方根的定义“当时，叫的立方根”求出的立方根，熟记平方根，立方根，算术平方根的定义，掌握相应的计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：的平方根是； ∵， ∴的立方根为； 故答案为：；． 16． 【分析】本题考查了求无理数的绝对值，无理数的估算，先判断出的正负，再根据绝对值的意义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 0和1 ③或（5的偶次方都对） 【分析】本题主要考查流程图，算术平方根的运用，理解流程图的计算方法，算术平方根的计算是关键． （1）当时，取算术平方根，再计算7的算术平方根即可； （2）0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，由此即可求解； （3）5的算术平方根为，当5的偶次方均符合题意，由此即可求解． 【详解】解：（1）当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数， ∴输出的值为； （2）∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； ∴当，1时，始终输不出y值； （3）的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 故答案为：①；②；③或（5的偶次方）都满足要求． 18． 【分析】本题考查了算术平方根与数字变化规律题，解题关键是得出．先计算出前4个式子，进而得出规律，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察发现， ， 故答案为：，． 19．/ 【分析】根据材料，理解题意，按要求计算即可得到答案． 【详解】解：，即， ，即， ， 规定实数m的整数部分记为，小数部分记为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义实数运算，读懂题意，按照要求计算是解决问题的关键． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义求解即可； （2）根据平方根的意义求解即可； 【详解】（1） ∴解得； （2） ∴ ∴解得． 【点睛】此题考查了平方根的意义，解题的关键是熟练掌握平方根的意义． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式得，，再算出，的值，即可作答． （2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根为它本身，的算术平方根是3． ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∴的平方根为． 22．(1)，， (2) (3) 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，再根据立方根的性质和相反数的定义可得的值； （）把的值代入求出的值，进而根据算术平方根的定义即可求解； （）把的值代入求出的值，进而根据立方根的定义即可求解； 本题考查了非负数的性质，算术平方根和立方根的定义，相反数的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵与互为相反数， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的算术平方根为； （3）解：∵，， ∴， ∴的立方根为． 23．(1) (2) 【分析】本题考查与无理数整数部分有关的计算，熟练掌握夹逼法，进行无理数的估算，是解题的关键； （1）夹逼法求出的值，再进行计算即可； （2）夹逼法求出的值，再根据相反数的定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴ ∵，即， ∴， ∴； （2）∵， ∴的小数部分为：，的整数部分为：1， ∴的整数部分为：， 的小数部分为：， ∴，， ∴， ∴的相反数为． 24．(1)2，2， (2) (3)1 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题意是解此题的关键． （1）估算出，，并结合，即可得解； （2）估算出，从而可得，结合题意可得，，求出，再由相反数的定义即可得解； （3）估算出，结合题意可得，估算出，得出，代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴的小数部分； 故答案为：2，2，； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是； 故答案为：； （3）解：∵， ∴，即， ∵的小数部分为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 25．(1)①2；②9 (2)，图见解析 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算： （1）先判断及，进而可求解； （2）设，其中，画出示意图，可得，当时，可忽略，得，可求得，进而可求解； （3）如图：设，正方形的面积为：，而，当较小时，省略，得，进而可求解； 关键在于理解题意并作出分析． 【详解】（1）解：①， ， 整数部分的值为2； ②， ， 整数部分的值为9． （2）面积为66的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积． 又， ． 当时，可忽略，得，得到， ． （3）如图：设， 正方形的面积为：，而， 当较小时，省略，得， ， ． 26．(1)①；② (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，与是互质的两个整数，且， 则 即． 因为是整数且不为， 所以是不为的偶数． 设（是整数，且）， 则． 所以． 所以也是偶数，与，是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 故答案为：，． （2）设，与是互质的两个整数，且，则， 所以， ，是整数且不为， 为的倍数． 设（是整数）， ， 也是的倍数，与与是互质的整数矛盾， 是无理数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $