8.3实数及其简单运算同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

8.3 实数及其简单运算 同步练习 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 2．下列四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 3．下列选项是无理数的为（    ） A． B． C． D． 4．下列结论正确的是（   ） ①在数轴上只能表示无理数； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应； ④两个无理数的和仍为无理数． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 5．估计的值在（   ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．2和3之间 D．3和4之间 6．整数a满足，则a的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．6 7．若a，b分别是的整数部分和小数部分，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．我们规定：表示不超过的最大整数．如：，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．下列数中：，，，（相邻两个3之间依次多一个1），无理数有 个． 10．写出一个大于的负无理数 ． 11．比较大小，填或号： 7， ． 12．计算： ． 13．写出一个小于的正整数： ． 14．实数的绝对值为 ． 15．已知点M在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点M表示的实数为 ． 16．观察：∵ ，即 ，∴ 的整数部分为2，小数部分为 ．思考，若的整数部分为a，小数部分为b，，则的值是 . 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．（1）已知，求的值； （2）计算：． 19． 已知是的绝对值，比小，是最小的正整数，计算的值． 20．已知，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 21．如下所示，是求小数部分的过程，请根据题意解决下面问题： ，．的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知的整数部分是m，的小数部分是n，求的值． 22．若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查无理数的相反数，根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可得答案，掌握定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选B． 2．C 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算等知识．熟练掌握实数的大小比较，无理数的估算是解题的关键． 由，可得，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查无理数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．无理数是无限不循环小数，据此判断即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴，，都不是无理数， 只有是无限不循环小数． 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，实数与数轴上的点一一对应，实数包括有理数和无理数，据此可判断①②③；根据和都是无理数，但是它们的和为0可判断④． 【详解】解：①数轴上的点既能表示有理数也能表示无理数，原说法错误； ②任何一个有理数都能用数轴上的点表示，原说法正确； ③实数与数轴上的点一一对应，原说法正确； ④两个无理数的和不一定是无理数，例如和都是无理数，但是它们的和为0，是有理数，原说法错误； ∴正确的有②和③， 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解决问题的关键是得到． 依据，即可得到，进而得出． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了与无理数整数部分，小数部分有关的计算． 先估算出，进而得到，由此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：B 8．B 【分析】本题主要考查的是无理数大小的估算，掌握的意义是解题的关键．根据的定义确定其值，进行计算即可． 【详解】解：，，，，，，，，， 故选：B． 9．2 【分析】题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型．无限不循环的小数是无理数． 【详解】解：， ，，，（相邻两个3之间依次多一个，无理数有，（相邻两个3之间依次多一个，共2个， 故答案为：2 10．（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数中的负无理数，这里的无理数要满足两个条件：是负无理数，且大于；根据无理数的概念进行即可． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 11． 【分析】本题考查的是实数的大小比较，解题关键是掌握实数比较大小的方法．将原数平方后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 而， ∴． ∵，， 而， ∴． 故答案为：，． 12． 【分析】根据算术平方根和立方根的概念分别计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的相关计算，熟练掌握算术平方根和立方根的概念是解本题的关键． 13．1（答案不唯一，填2，3，4也正确） 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据运算法则进行估算即可． 【详解】解：由题意可得：， 故小于的正整数有， 故答案为：1（答案不唯一，填2，3，4也正确）． 14．/ 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义即可得答案． 【详解】解：实数的绝对值为． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是数轴的特点，即在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数． 根据与原点相距个单位长度求解即可． 【详解】解：设数轴上与原点相距个单位长度的点所表示的数为， 故， 解得． ∴点表示的数是． 故答案为：． 16．1或15/15或1 【分析】根据无理数的估算方法，求出，得到，，求出后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵， ∴， 当时，； 当时，， 故答案为：1或15． 【点睛】此题考查了无理数的估算，实数的混合运算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义以及实数的性质是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可； （2）根据算术平方根、立方根的定义以及实数的法则进行运算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 18．（1）；（2） 【分析】本题考查求立方根的方法解方程，实数的运算． （1）直接开立方即可； （2）先算绝对值，算术平方根，立方根，再算加减即可． 【详解】解：（1） ； （2）原式 ． 19． 【分析】本题主要考查相反数、有理数的加法运算、代数式求值等知识点．由题意可得，，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵是的绝对值，比小，是最小的正整数， ∴，，， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根及其非负性，立方根的计算，理解题意，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）根据算术平方根及其非负性，可得，可求出a的值，再由立方根的性质可得，可求出b的值，再估算出的大小，可求出c的值． （2）把代入，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴； （2）解：当时，， ∴的平方根为． 21．(1)5， (2) 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意求出，进而求出，，据此求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； （2）解：， ． ． 的整数部分． ， ． ． 的小数部分． ． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，正确理解题意掌握无理数 的估算方法是解题的关键． 22．(1)， (2)或3 (3) 【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键． （1）根据湘一区间的概念求解即可； （2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可； （3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴， ∴根据题意，无理数的“湘一区间”是； （2）解：由题意，得，， ∴ ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； （3）解：由题意，可知和有意义， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的“湘一区间”是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $