8.1平方根同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

8.1 平方根 同步练习 一、单选题 1．平方根等于它本身的数是（    ） A．0 B．0和1 C． D．0和 2．下列说法正确的是（    ） A．5是的算术平方根 B．的算术平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 3．若是的算术平方根，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 4．已知一块正方形木板的面积为，则它的边长（单位：）介于（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 5．若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 6．设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图、每个小正方形的边长为1，可以得到每个小正方形的面积为1．若阴影部分是正方形、则它的边长是（    ） A．2 B．3 C． D．4 8．在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（    ） A．9 B． C． D． 二、填空题 9．的算术平方根是 ． 10．的值是 ． 11．6的平方根是 ． 12．已知，则的平方根是 ． 13．观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 14．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 15．将，，，，……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，若在，则的值为 ． 三、解答题 16．下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)0． 17．求下列各数的平方根． (1)25； (2)； (3)． 18．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 19． 已知的平方根是，的算术平方根是4，求的值． 20． 一个正数x的两个平方根分别是与，求x与m的值． 21．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 22．你能找出规律吗？ (1)计算：____，_____，_____，_______． (2)请按找到的规律计算： ①________； ②________； (3) 已知：，，则 （用含、的式子表示）． 23．先观察下列各式：；；；； (1)计算： ； (2)n为正整数，观察并归纳，请写出： ； (3)应用上述结论，请计算：的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查平方根．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根． 【详解】解：根据平方根的定义，平方根等于它本身的数只有0． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握相关定义是解本题的关键．根据算术平方根、平方根的定义判断即可． 【详解】解：A． 5是25的算术平方根，选项A错误；     B． 的算术平方根是，选项B错误；     C． 0的平方根与算术平方根都是0，选项C正确；     D． 的平方根是，选项D错误 故选：C 3．D 【分析】本题考查了算术平方根的计算，掌握算术平方根的计算方法是关键，根据算术平方根的计算判定即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为， 故选：D ． 4．C 【分析】本题主要考查了无理数的估算、算术平方根的应用等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据正方形面积公式求出边长为面积的算术平方根，再通过估算无理数的大小，即可确定边长所在的范围． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 又∵，且， ∴<<，即． ∴正方形木板的边长介于4到5之间． 故选C． 5．B 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 7．C 【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：阴影部分， 它的边长是． 故选C． 8．D 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性解题，求一个数的平方根，相反数的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据绝对值和算术平方根的非负性，它们互为相反数时只能同时为零，从而求出c和d的值，再计算3c-2d的值，最后求其平方根。 【详解】解：∵与互为相反数， 且，， ∴且， ∴，解得， 代入，得， 即，解得， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 9．/ 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是要熟练的掌握算术平方根的含义． 根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，则这个非负数为的算术平方根，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 10． 【分析】根据算式平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算式平方根，熟练掌握算式平方根的概念是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟记定义进行计算． 利用平方根的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：6的平方根是； 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查平方根和二次根式的意义，二次根式有意的条件为和求得a的值，同时求得b的值，代入代数式即可求得答案，解题过程中理解被开方数的非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，和解得，解得， ， 则的平方根为， 故答案为：． 13． 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，由，所以分两种情况讨论：当时；当时；分别计算即可，理解“完美组合数”的定义是解题的关键． 【详解】解：， 分两种情况讨论： ①当时，， ； 且。符合题意； ②当时，， （不符合题意，舍去）； 综上，的值是， 故答案为：． 15．9 【分析】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律． 观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 【详解】观察式子可得， 第1排的个数为1，前1排的总数为， 第2排的个数为3，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为5，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为7，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为，前排的总数为， 奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， 因为，， 所以2023是在第45排，即， 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以， 将，代入得， ． 故答案为：9． 16．(1)； (2)没有平方根，理由见分析； (3)； (4)0 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）负数没有平方根； （3）根据平方根的定义求解即可； （4）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 有平方根，平方根为； （2）解：没有平方根，理由如下： 没有实数的平方等于， 没有平方根； （3）解：， 有平方根，平方根为； （4）解：， 有平方根，平方根为0． 17．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 的平方根是； （2）解：， 的平方根是； （3）解：， 的平方根是． 18．(1) (2)或 【分析】（1）系数化为1，根据平方根的定义即可求解； （2）将看作整体，根据平方根的定义即可求解. 【详解】（1）， ， 解得：； （2）， ， ， 解得：或. 【点睛】本题考查了利用平方根的概念解方程，需注意一个正数的平方根有两个. 19． 【分析】根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入中求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键． 20． 【分析】本题考查了平方根的性质，由平方根的性质得，即可求解；理解一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得 解得 ∴ ． 21．小达的解法不正确．理由见解析 【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【详解】解：小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 22．(1)6，6，20，20 (2)①14，②4 (3) 【分析】（1）按算术平方根的定义进行计算即可解答； （2）分析（1）中所得结果可知：当时，·=，按照所得规律进行计算即可； （3）按照所得规律可知：，再结合，即可解答． 【详解】（1）解：，，，． 故答案为6，6，20，20． （2）解：由（1）中的计算结果可知：当时， ， ∴ ． 故答案为：①14，②4． （3）解：∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了阅读理解题、算术平方根的定义等知识点，根据题目中的信息获取规律是解答本题的关键． 23．(1)6 (2)n (3)12 【分析】（1）按照题干给出的式子的规律继续写下去可得； （2）总结规律，可以发现被开方数是奇数之和为，开方即可； （3）先把被开方数提取公因数4，再将括号内的按规律求和解答即可． 【详解】（1）． 故答案为：6． （2）． 故答案为：n． （3） ． 【点睛】本题主要考查了奇数求和，算术平方根，认真读题，寻找规律，掌握奇数求和的方法和算术平方根的定义是解答的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $