第12章定义、命题、证明寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

第12章定义、命题、证明寒假预习讲义（苏科版） ☟预习内容概览 1.课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲讲练 4.强化巩固◆综合测试 ✔ 课前预习◆目标 1.理解命题、真命题、假命题的定义，能判断一句话是不是命题； 2.分清命题的条件（题设）和结论，会把命题改写成“如果……那么……”形式； 3.了解公理、定理、证明的含义，知道证明的基本步骤和书写格式； 4.初步学会用举反例说明一个命题是假命题； 5.掌握简单的几何证明过程，标出每一步的依据。 💧 重点知识◆梳理归纳 【知识点1定义】 概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义． 【重点提示】1．定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如 “一些”“大概”“差不多”等； 2．正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来； 3．定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用． 【知识点2命题】 1．概念：判断一件事情的句子叫做命题． 2．命题的组成：命题由条件（题设）和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 3．命题的形式：命题一般为 “如果……，那么……” 的形式，其中“如果” 后接的是条件，“那么” 后接的是结论．有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成 “如果……，那么……” 的形式． 4.命题的种类：（1）真命题：如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题．（2）假命题：命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题． 5.反例：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例．在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【知识点3证明】 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明． 2.定理：经过证明的真命题称为定理． 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形． （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证． （3）写出证明过程． 【知识点4定理】定义：经过证明的真命题称为定理．定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的具有普遍正确性的命题． 💦 核心考点◆精讲讲练 题型1定义 例1．下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 变式1．下列语句中，属于定义的是 ．（填序号） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 只有符号不同的两个数称为互为相反数； 你的作业做完了吗？ 天空真蓝啊 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角． 变式2．下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 题型2判断是否是命题 例2．下列句子中，是命题的是（   ） A．正数大于一切负数吗？ B．两个锐角的和大于直角 C．作一条直线和已知直线垂直 D．在线段上任取一点 变式1．判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 变式2．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论． (1)同号两数的和一定不是负数． (2)若，则． (3)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (4)互为倒数的两个数的积为1． 题型3写出命题的题设与结论 例3．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 变式1．命题：如果，，那么．该命题的结论是 ． 变式2．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 题型4判断命题真假 例4．下列命题是真命题的是（    ） A．两个锐角的和是钝角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．相等的两个角是对顶角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 变式1．下列命题中，是真命题的是 ．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 变式2．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 题型5举例说明假（真）命题 例5．下列可以作为说明命题“若，则”为假命题的反例的是（   ） A．，B．，C．，D．， 变式1．下列命题的逆命题是假命题的有 ．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 变式2．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 题型6写出命题的逆命题 例6．下列四个命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都等于 D．如果，那么 变式1．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是 ． 变式2．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 题型7判断是否为互逆命题 例7．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 变式1．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 变式2（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 题型8代数问题证明 例8．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 变式1．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 变式2．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 题型9写出一个命题的已知、求证及证明过程 例9．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 变式1．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 变式2．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 题型10已知证明过程填写理论依据 例10．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 变式1．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 题型11以几何为背景的推理与论证 例11．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 题型12以代数为背景的推理与论证 例12布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 变式1．某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为 ； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为 ． 变式2．已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 题型13定理与证明 例13．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 变式1．请举出一个关于角相等的定理： ． 变式2．写出四个数学名词的定义． 题型14互逆定理 例14 ．下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 变式1．定理“三角形的三条高交于一点” （填“有”或“没有”）逆定理． 变式2．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等．(2)内错角相等，两直线平行．(3)对顶角相等． ✍ 强化巩固◆综合测试 一、单选题 1．下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）三角形的三条中线交点必在三角形的内部； （4）“相等的角是对顶角”是一个真命题； （5）有一条公共边并且和为的两个角互为邻补角； （6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 3．对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 4．若要说明“如果，那么”为假命题，则，的值可以是（  ） A．， B．， C．， D．， 5．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 6．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 7．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 8．“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 9．定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 二、填空题 10．定理“如果，那么”的逆定理是： ． 11．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 12．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是： ，结论是： ． 13．要说明命题“若，则”是假命题，举的一个反例中可以是 ． 14．命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 15．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ． 三、解答题 16．如图，说明“如果是线段上的两点，且，那么”是真命题． 17．请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 18．下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度？ (2)垂线段最短，对吗？ (3)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (4)同旁内角互补； (5)两个负数，绝对值大的反而小； (6)若两数之和为正数，则这两个数中至少有一个是正数． 19．已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)此命题是___________命题(填真或假)； (2)上述命题的逆命题为___________； (3)若与互为相反数，求的值． 20．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 21．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 22．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章定义、命题、证明寒假预习讲义（苏科版） ☟预习内容概览 1.课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲讲练 4.强化巩固◆综合测试 ✔ 课前预习◆目标 1.理解命题、真命题、假命题的定义，能判断一句话是不是命题； 2.分清命题的条件（题设）和结论，会把命题改写成“如果……那么……”形式； 3.了解公理、定理、证明的含义，知道证明的基本步骤和书写格式； 4.初步学会用举反例说明一个命题是假命题； 5.掌握简单的几何证明过程，标出每一步的依据。 💧 重点知识◆梳理归纳 【知识点1定义】 概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义． 【重点提示】1．定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如 “一些”“大概”“差不多”等； 2．正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来； 3．定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用． 【知识点2命题】 1．概念：判断一件事情的句子叫做命题． 2．命题的组成：命题由条件（题设）和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 3．命题的形式：命题一般为 “如果……，那么……” 的形式，其中“如果” 后接的是条件，“那么” 后接的是结论．有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成 “如果……，那么……” 的形式． 4.命题的种类：（1）真命题：如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题．（2）假命题：命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题． 5.反例：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例．在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【知识点3证明】 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明． 2.定理：经过证明的真命题称为定理． 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形． （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证． （3）写出证明过程． 【知识点4定理】定义：经过证明的真命题称为定理．定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的具有普遍正确性的命题． 💦 核心考点◆精讲讲练 题型1定义 例1．下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角是同旁内角，那么这两个角一定互补 B．两个互补的角一定是邻补角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】此题主要考查命题真假的判断，解题的关键是熟知平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义．根据平行线的性质、邻补角定义、点到直线的距离的概念、垂直的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，故A不符合题意； B、两个互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题，故B不符合题意； C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离，原命题是假命题，故C不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此命题为真命题，故D符合题意． 故选：D． 变式1．下列语句中，属于定义的是 ．（填序号） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 只有符号不同的两个数称为互为相反数； 你的作业做完了吗？ 天空真蓝啊 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角． 【答案】 【分析】此题考查了定义，根据相反数、补角的定义和对顶角、邻补角、三角形的外角性质判断. 【详解】解：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，不属于定义； 只有符号不同的两个数称为互为相反数，属于定义； 你的作业做完了吗？，不属于定义； 天空真蓝啊，不属于定义； 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角，属于定义． 故答案为：. 变式2．下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定， 所以都不是定义，只有是定义． 故选：C． 题型2判断是否是命题 例2．下列句子中，是命题的是（   ） A．正数大于一切负数吗？ B．两个锐角的和大于直角 C．作一条直线和已知直线垂直 D．在线段上任取一点 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，掌握命题是可以判断真假的陈述句是解题的关键． 根据命题的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是疑问句，不是陈述句，不属于命题，不符合题意； B．是可以判断真假的陈述句，属于命题，符合题意； C．是祈使句，无真假可判断，不属于命题，不符合题意； D．是祈使句，无真假可判断，不属于命题，不符合题意； 故选：B． 变式1．判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；( ) ②画一个角等于已知角；( ) ③两直线平行，同位角相等；( ) ④a，b两条直线平行吗？( ) 【答案】 是 不是 是 不是 【分析】本题考查了命题的定义：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 【详解】解：①对顶角相等，是命题； ②画一个角等于已知角，不是命题； ③两直线平行，同位角相等，是命题； ④a，b两条直线平行吗？是问句，未做判断，不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 变式2．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论． (1)同号两数的和一定不是负数． (2)若，则． (3)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (4)互为倒数的两个数的积为1． 【答案】(1)是命题．改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数．条件：两个数同号．结论：这两个数的和一定不是负数． (2)是命题．改写：如果，那么．条件：．结论：． (3)不是命题． (4)是命题．改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．条件：两个数互为倒数．结论：这两个数的积为1． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的定义，逐一分析语句，即可解答． 【详解】（1）解：是命题．改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数．条件：两个数同号．结论：这两个数的和一定不是负数． （2）解：是命题．改写：如果，那么．条件：．结论：． （3）解：不是命题．因为它是一个操作指令，不是可以判断真假的陈述句． （4）解：是命题．改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．条件：两个数互为倒数．结论：这两个数的积为1． 【点睛】本题考查了命题的定义与结构，熟练掌握命题是判断一件事情的语句是解题的关键． 题型3写出命题的题设与结论 例3．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 变式1．命题：如果，，那么．该命题的结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结论，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 根据“那么”后面是结论作答即可 【详解】解：该命题中，“如果，”是条件，“那么”是结论， 因此结论是． 故答案为：． 变式2．如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①； （2）命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明． 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． 题型4判断命题真假 例4．下列命题是真命题的是（    ） A．两个锐角的和是钝角 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．相等的两个角是对顶角 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，角的和差、平行线的性质与判定、对顶角的定义． 根据角的和差、平行线的性质与判定、对顶角的定义逐一分析选项即可． 【详解】解：两个锐角的和可能是锐角（如）、直角（如）或钝角，A是假命题； 两条直线被第三条直线所截，只有当这两条直线平行时，同旁内角才互补，B是假命题； 相等的两个角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角，C是假命题； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，它们的同位角均为，根据“同位角相等，两直线平行”的判定定理，这两条直线平行，D是真命题； 故选：D． 变式1．下列命题中，是真命题的是 ．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【答案】 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断各命题的真假：同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；符合平行公理，正确；两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：对于命题，同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题； 对于命题，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； 对于命题，锐角定义是小于的角，两个锐角之和可能小于（如，仍为锐角）、等于（如，为直角）或大于但小于（如，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题， 故答案为：． 变式2．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 题型5举例说明假（真）命题 例5．下列可以作为说明命题“若，则”为假命题的反例的是（   ） A．，B．，C．， D．， 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．据此逐项判断即可． 【详解】解：当时，，，， ∴，但是， ∴，是原命题的反例，故选项A符合题意； 而选项B、C中都是，故不符合题意； 当时，，，， ∴，， ∴，不是假命题的反例，故选项D不符合题意， 故选：A． 变式1．下列命题的逆命题是假命题的有 ．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 【答案】①③④ 【详解】本题考查逆命题的真假判断，需先写出每个命题的逆命题，再根据数学知识判断其真假． 【分析】解：①对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，因为相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等但不是对顶角），符合题意； ②两直线平行，同旁内角互补的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，该逆命题是真命题，是平行线的判定定理，不符合题意； ③全等三角形的周长相等的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，因为周长相等的三角形不一定全等（如边长分别为3、4、5和4、4、4的三角形周长均为12但不全等），符合题意； ④若，则的逆命题是“若，则”，该逆命题是假命题，因为时a与b可能互为相反数（如，），符合题意． 综上所述，逆命题是假命题的有①、③、④． 故答案为：①③④． 变式2．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题，反例：， (2)假命题，反例：， 【分析】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0． （2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系． 【详解】（1）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但此时． （2）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但． 题型6写出命题的逆命题 例6．下列四个命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都等于 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，熟练根据直角三角形判定、全等三角形定义、等边三角形判定及立方的性质判断逆命题的真假是解题的关键． 先写出各命题的逆命题，再根据直角三角形判定、全等三角形定义、等边三角形判定及立方的性质逐一判断逆命题的真假即可． 【详解】解：选项A：原命题的逆命题为如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，由于三角形内角和为，两个锐角互余即和为，则第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； 选项B：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，由于对应角相等的三角形是相似三角形，不一定满足对应边相等，则该逆命题为假命题； 选项C：原命题的逆命题为每个角都等于的三角形是等边三角形，由于三个角都相等的三角形是等边三角形，每个角满足此条件，则逆命题为真命题 选项D：原命题的逆命题为如果a³=b³，那么，由于实数的立方具有一一对应性，若，则，则逆命题为真命题； 故选：B． 变式1．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是 ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 变式2．写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明． (1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形． (2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． (3)对于任意两数a，b，如果，那么． 【答案】(1)原命题真，见解析；逆命题假，反例：直角三角形角度45°，45°，90°． (2)原命题真，见解析；逆命题真，见解析． (3)原命题假，反例见解析 ；逆命题假，反例：取，，，满足，但． 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键． （1）原命题：设内角为x，，，用内角和定理求角，验证最大角为，判定为真．逆命题：举等腰直角三角形（内角比）的反例，判定为假． （2）原命题：用相反数定义（）推导和为0，判定为真．逆命题：由和为0推出，符合相反数定义，判定为真． （3）解题思路原命题：举的例子，验证，判定为假．逆命题：举的例子，验证但，判定为假． 【详解】（1）原命题：如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形． 真命题． 证明：设三个内角分别为x，，，由内角和为得，解得，最大角为，故为直角三角形． 逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的三个内角的度数之比为． 真假判断：假命题． 反例：等腰直角三角形的度数为45°，45°，90°，内角比为，不是． （2）原命题：两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0． 真假判断：真命题． 证明：互为相反数的两个数满足（），则． 逆命题：两个非0数，如果它们的和等于0，那么这两个数互为相反数． 真假判断：真命题． 证明：若（），则，符合相反数的定义． （3）原命题：对于任意两数a， b，如果，那么． 真假判断：假命题． 反例：取，满足，但，，此时，不满足． 逆命题：对于任意两数a， b，如果，那么． 真假判断：假命题． 反例：取，，，满足，但． 题型7判断是否为互逆命题 例7．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 变式1．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 变式2（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2） 两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 题型8代数问题证明 例8．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 变式1．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 变式2．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 题型9写出一个命题的已知、求证及证明过程 例9．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 变式1．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 变式2．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 题型10已知证明过程填写理论依据 例10．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 变式1．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 题型11以几何为背景的推理与论证 例11．如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ． 【答案】 【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案． 【详解】解：根据题意，， 如图所示，连接， 设， 在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点， ，，， ， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ， ， 又， ，， ， 故答案为：． 题型12以代数为背景的推理与论证 例12布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 变式1．某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）： 车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊 快充桩充电时间 30 40 50 80 100 慢充桩充电时间 130 180 120 120 210 （1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为 ； （2）这5辆车完成充电的总用时最短为 ． 【答案】 140 120 【分析】本题考查的是逻辑推理，先由甲车必须使用慢充桩，需要分钟，再确定两个快充的安排即可；由丙，丁的慢充时间最短为，选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长，选择丁慢充；再进一步安排即可. 【详解】解：甲车必须使用慢充桩，需要分钟， 另外两个快充一个安排乙，戊或一个安排丙，丁； ∴其他4辆车完成充电的总用时最短为； ∵丙，丁的慢充时间最短为， ∴选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长， ∴选择丁慢充； 一个快充安排甲，乙，丙；另一个快充安排戊， 此时所花时间最短为； 故答案为：140；120 变式2．已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值． 【答案】 【分析】此题主要考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 【详解】解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以越大，乘积越大， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为：． 题型13定理与证明 例13．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 变式1．请举出一个关于角相等的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】任意写出一个角相等的定理即可． 【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 变式2．写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 题型14互逆定理 例14 ．下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 变式1．定理“三角形的三条高交于一点” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】 没有 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换可得逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“三角形的三条高交于一点”的逆命题为“如果三条线交于一点，那么它们是三角形的三条高”， ∵“如果三条线交于一点，那么它们是三角形的三条高”是假命题， ∴定理“三角形的三条高交于一点”没有逆定理． 故答案为：没有． 变式2．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． ✍ 强化巩固◆综合测试 一、单选题 1．下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）三角形的三条中线交点必在三角形的内部； （4）“相等的角是对顶角”是一个真命题； （5）有一条公共边并且和为的两个角互为邻补角； （6）点到直线的垂线的长度叫做这点到直线的距离． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题，根据平行公理，垂直定义，三角形中线，对等角，邻补角定义，点到直线的距离逐一排除即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：（）平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； （）同一平面内，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； （）三角形的三条中线交点必在三角形的内部，原说法正确； （）“相等的角是对顶角”是一个假命题，原说法错误； （）邻补角需满足“一边公共，另一边互为反向延长线”，原说法错误； （）点到直线的距离是垂线段的长度，原说法错误； 综上，错误的命题为（）、（）、（）、（），共个， 故选：． 2．下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查命题的概念，熟练掌握相关知识是关键． 判断一件事情的语句叫做命题，命题需是可判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解： A、是可判断真假的陈述句，属于命题； B、是作图操作指令，不是判断事情的语句，无法判断真假，不属于命题； C、是可判断真假的陈述句，属于命题； D、是可判断真假的陈述句，属于命题． 故选：B． 3．对命题“同位角相等”的描述正确的是（  ） A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角 【答案】B 【分析】本题考查命题的结构及真假判断，解题的关键是掌握原命题“同位角相等”需明确其题设与结论，并判断其正确性． 根据命题的结构以及平行线的性质定理逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意； 选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意； 选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意； 选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．若要说明“如果，那么”为假命题，则，的值可以是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的判断，关键是找到满足题设条件但不满足结论的反例． 【详解】解：选项A：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 选项B：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 选项C：，，，，即，不满足， 该选项可说明原命题为假； 选项D：，，，， 满足，不能说明原命题为假； 故选：C． 5．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 7．如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 8．“等角的余角相等”是（   ） A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可． 【详解】解：设，则的余角为：，的余角为， ∵， ∴， 即等角的余角相等， ∴“等角的余角相等”是一个真命题，且是经过证明的，故为定理， 故选：C． 9．定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”， ∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题， ∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”． 故选：A． 二、填空题 10．定理“如果，那么”的逆定理是： ． 【答案】 如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 11．下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 12．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是： ，结论是： ． 【答案】 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，本题中，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”可得， 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”， 故答案为：一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形． 13．要说明命题“若，则”是假命题，举的一个反例中可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用举反例证明命题真假．能够正确的举出反例是解题关键．反例就是满足命题的题设，但不能由它得到结论，据此举出反例即可． 【详解】解：∵时，，但， ∴举的一个反例中可以是． 故答案为： 14．命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定是解题关键； 逆命题是通过交换原命题的条件和结论而形成的，即“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，该命题才成立，据此判断即可． 【详解】解：原命题的条件是“两条直线平行”，结论是“这两条直线垂直于同一条直线”．逆命题为“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，根据垂直的性质定理，垂直于同一直线的两条直线互相平行，在同一平面内成立，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，因此该逆命题是假命题． 故答案为：假． 15．有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了 ． 【答案】 【分析】本题考查逻辑推理与周期性问题，按照规则将前面几位同学所报数写出，可以发现从第位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为；由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，即可得出结论． 【详解】解：按照规则将前面几位同学所报数写出：，，，, , , , , , , , , , , …可以发现从第5位同学开始，每位同学为一个周期，所以第位同学报的数为； 由于最后一位同学报的数是，则倒数第位只能报，倒数第位只能报或，，以此类推可知，第位同学报的数只能为，是把前一位同学报的数加上了， 故答案为：． 三、解答题 16．如图，说明“如果是线段上的两点，且，那么”是真命题． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段的和差，等式的性质，真命题，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，根据等量加等量仍是等量可得，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， 即． 17．请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【答案】(1)例如，两个的角相等，但它们不是直角． (2)例如，，，则，但，． (3)例如，，，则，但不是钝角． 【分析】本题考查举反例证明假命题的方法．对于每个命题，需要找出一个实例满足条件但不满足结论，从而说明命题不成立．反例需基于初中数学知识，如角的概念、有理数运算等． （1）根据原命题举出反例即可求解； （2）根据原命题举出反例即可求解； （3）根据原命题举出反例即可求解． 【详解】（1）解：两个角相等时，不一定都是直角， 例如，两个的角，它们相等，但都是锐角，不是直角． ∴命题“相等的角是直角”是假命题． （2）解：∵如果，和可能互为相反数， 例如，，，此时，但，． ∴命题“如果，那么，”是假命题． （3）解：如果，可能不是钝角， 例如，（锐角），，则，但是锐角，不是钝角． ∴命题“如果，那么是钝角”是假命题． 18．下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度？ (2)垂线段最短，对吗？ (3)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (4)同旁内角互补； (5)两个负数，绝对值大的反而小； (6)若两数之和为正数，则这两个数中至少有一个是正数． 【答案】(1)不是命题， (2)不是命题， (3)是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题 (4)是命题，条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题 (5)是命题，条件：两个数是负数，结论：绝对值大的那个数反而小，真命题 (6)是命题，条件：两数之和为正数，结论：这两个数中至少有一个是正数，真命题 【分析】本题考查的是命题的定义，以及命题的真假判断，根据命题的定义先判判出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论放在“那么”后面，据此写出命题的条件和结论即可． （1）是疑问句，不是命题； （2）是疑问句，不是命题； （3）先判断是命题，再写成如果那么的形式，据此写出已知和结论，并判断真假； （4）先判断是命题，再写成如果那么的形式，据此写出已知和结论，并判断真假； （5）先判断是命题，再写成如果那么的形式，据此写出已知和结论，并判断真假； （6）先判断是命题，再写成如果那么的形式，据此写出已知和结论，并判断真假； 【详解】（1）解：是疑问句，不是命题； （2）是疑问句，不是命题； （3）是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，是真命题； （4）同旁内角互补，是命题， 改写成：如果两个角是同旁内角，那么它们互补； 条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，是假命题； 举反例：如下图，是同旁内角，但是并不互补； （5）两个负数，绝对值大的反而小，是命题； 改写成：如果两个数是负数，那么绝对值大的那个数反而小， 条件：两个数是负数，结论：绝对值大的那个数反而小，是真命题； （6）若两数之和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，是命题； 改写成：如果两数之和为正数，那么这两个数中至少有一个是正数， 条件：两数之和为正数，结论：这两个数中至少有一个是正数，是真命题． 19．已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)此命题是___________命题(填真或假)； (2)上述命题的逆命题为___________； (3)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)真 (2)如果a与b互为相反数，那么与互为相反数 (3) 【分析】（1）根据命题的判断，结合所学知识解答即可； （2）根据逆命题的意义解答即可； （3）根据与互为相反数，得，得到，解方程求得x，后代入解答即可． 本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键． 【详解】（1）解：如果与互为相反数， 则， 又， 故即 故与互为相反数， 故命题是真命题， 故答案为：真． （2）解：根据题意，得如果a与b互为相反数，那么与互为相反数． （3）解：根据与互为相反数，由（1）得与互为相反数， ∴， 解得 故． 20．如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 21．（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 22．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $