6.4.3.1余弦定理同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3.1余弦定理同步训练 一、单选题 1．记的内角的对边分别为，若，则（    ） A．2 B． C． D． 2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=ccosA，则△ABC的形状为（ ）. A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 3．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 5．在中，已知，，的周长为9，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（   ） A． B． C．0 D． 8．已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．在中，角、、的对边分别是、、，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则边 . 13．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则 . 14．在锐角中，内角的对边分别为，且满足．则的取值范围为 . 四、解答题 15．已知的内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 16．中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的最大值． 17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，△ABC的面积为，求c． 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足 (1)求角B的大小； (2)设，． （ⅰ）求的值；   （ⅱ）求的值． 19．在锐角中，内角的对边分别为，且.点在上，满足且. (1)求角； (2)求证：； (3)求面积的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】由余弦定理计算即可. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 故选：B 2．B 【分析】由余弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理可得，化简得， 由勾股定理的逆定理可知是以角为直角的直角三角形. 故选：B. 3．B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 4．A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 5．C 【分析】由条件可得，利用余弦定理求得，再由同角的三角函数关系式求出. 【详解】已知，，的周长为9，则， 则， 又，则. 故选：C. 6．B 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 7．B 【分析】大边对大角，由余弦定理即可求解. 【详解】∵，∴所对的角C为最大角． 由余弦定理得 故选：B 8．A 【分析】先利用余弦定理求出角，再结合角平分线定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 由余弦定理得：， 又，所以， 在中，因为为角的平分线，， 由角平分线定理得：， 设，则， 由余弦定理：， 即 ，解得：， 所以，即， 故选：A. 9．ABC 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理知：A，B，C正确. 对选项D，由余弦定理得，故D错误. 故选：ABC 10．BC 【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可. 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 11．ACD 【分析】通过已知条件，利用余弦定理求出角，再根据三角形面积公式求出的值，最后结合已知条件和完全平方公式求出的值. 【详解】在中，因为，即， 由余弦定理， 又，所以，，故B错误，A正确； 因为，则，所以，故C正确； 因为，，，则， 所以，因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 12． 【分析】由余弦定理化角为边，化简整理后，代值计算即得. 【详解】因，由余弦定理，，化简得， 因，，故. 故答案为：. 13．3 【分析】利用余弦定理化简可得，然后简单判断即可. 【详解】依题意，，由余弦定理得，整理得. 由于是锐角三角形，所以，则. 故答案为：3 14． 【分析】化简为，结合余弦定理即可求的，根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可. 【详解】根据题意，，即， 由余弦定理，又，所以， ， 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 即， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可以得到，得到即可. （2）根据三角形的面积公式得出的面积即可. 【详解】（1），，，且由余弦定理可得， 则，， 又， （2）根据三角形的面积公式可得， 的面积为. 16．(1) (2) 【分析】（1）先利用共线向量的坐标性质化简得，再结合角A的范围即可求得结果； （2）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1），，． ， ， ， （2）由（1）得， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取等号，解得， 所以 所以的周长的最大值为. 17．(1) (2) 【分析】（1）先对题目的等式进行变形化简，然后再用余弦定理求解，即可得到C的大小. （2）已知三角形的面积，利用三角形面积公式可求出，再结合给定条件利用余弦定理建立方程，即可算出c边. 【详解】（1）由，得． 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由△ABC的面积为，得，所以ab＝8． 由余弦定理，得， 所以． 18．(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据题意，化简得到所以，求得，即可求解； （2）（ⅰ）由（1）结合余弦定理，列出方程，求得的值；（ⅱ）先由余弦定理求得，再利用平方关系结合二倍角公式求得，利用两角和的正弦公式，即可得解. 【详解】（1）解：由， 得， 所以，                                     因为，所以， 所以， 又因为，所以. （2）由（1）知，，且，， （ⅰ）在中，由余弦定理，得， 即， ∴， 解得或（舍去），所以. （ⅱ）在中，由余弦定理得 ， ， 所以，， 则. 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先利用余弦定理角化边，再运算得到，进而结合三角形内角的性质求解即可. （2）结合题意得到是边上靠近的三等分点，再利用向量三等分线定理和向量数量积的定义证明目标命题即可. （3）先构造，再利用余弦定理结合锐角三角形的性质求出的范围，再对合理变形，得到，最后利用三角形面积公式表示出，最后结合对勾函数性质求解范围即可. 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以， 两侧同乘，可得， 则，可得， 故，而，故. （2）因为，所以是边上靠近的三等分点， 由向量三等分线定理得， 两侧同时平方得， 则， 而，故， 可得，即原命题得证. （3）由已知得，则， 且设，因为是锐角三角形，所以，， 由余弦定理得，， 则，， 我们先求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故， 我们再求解，此时代入， 得到，即， 解得，即，故，综上，， 因为，所以，，而， 故，则， 可得，故， 则， 由三角形面积公式得， 令，则， 由对勾函数性质得在上单调递增， 故在上单调递减，当时，， 当时，，故， 则，故面积的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $