6.4.1平面几何中的向量方法同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法同步训练 一、选择题 1.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上. 若AP=元AB+uAD,则2+H的最大值为() A.3 B.2V2 C.5 D.2 2.在△ABC中，若CA.AB+C=0,则△ABC的形状一定是() A.直角三角形B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,BC=2,P是线段 AB上的动点，则|PC+4PD的最小值为() A.35 B.6 C.25 D.4 4.已知点P是△ABC所在平面内一点，若AP=3BC-2BA,则△PBC与△ABC的面积 4 3 比为() A月 B 3 D.3 4 5.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA.(PB+PC)的 最小值是() A.-2 R月 c D.-1 6.己知ā=（-2，-1，b=（2,1,若a与b的夹角为钝角，则2的取值范围为() B.-2U(2.+) cl-) D.-2,2 啡转线丽白c械足要n爱爱-则微) AC 1 A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C等腰非等边三角形 D.等边三角形 8.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB且BP=3PA,则 B >A A2,y=1 3 3 Cy 3 4 Dx=31 4y= 4 二、多项选择题 9.下列结论正确的是() A.若AB,AC<0,则△ABC是钝角三角形 B.若aeR,则a+3≥25 C.x∈R,x2-2x+1>0 D.若P,A,B三点满足OP=OA+3OB,则P,A,B三点共线 10.在直角梯形ABCD中，AD0BC,AB⊥AD,AB=AD=2,BC=4,点P在ABCD所在 的平面内，满足DP=1,若M是PC的中点，则BM的取值可能是() A.7 B.10 C.13 D.16 11.已知向量a=(L,√3)，b=(cosa,sina),则下列结论正确的是() A.若al/6,则tana=5 B.若a⊥方，则tana=-固 3 C.若。与6的夹角为匹，则1a-3 3 D.若ā与万方向相反，则6在：上的投影向量的坐标是(-，-V5 Γ2’2 三、填空题 12.在△ABC中，0为外心，H为△ABC所在平面内一点，且0i=0A+0B+0C,则点H 为△ABC的 心 13.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=3,则OA·(OB+OC)的取值范围 是 14.已知P为△4BC所在平面内一点，且满足AP=AC+2AB,则△4PB的面积与 △APC的面积之比为 四、解答题 15.设向量a,c满是a651,a6=a-6b-e=60,求c的最大首 16.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD=DC,BE=E,A正=FC, DE.DF=-4. (1)求cos∠BAC; (2)求AD的长 17.如图，在四边形OBCD中，CD=2B0,0A=2AD,∠D=90°，且 BO =AD=1. B (1)用0A,OB表示CB; (2)点P在线段AB上，且AB=3AP,求cos∠PCB的值 18.设两个向量a,6满足a=1,=2 (1)若(2a-b)(a+b)=-3,求a,b的夹角0 (2)若a,6的夹角为60°，向量a+6与2a+t6的夹角为纯角，求实数t的取值范围. 19.已知点A2,3,B(4,-1,C-2,1,求： (1)CA.CB的值： (2)∠ACB的大小： (3)点A到直线BC的距离. 参考答案 1.答案：A 解析：如图，以A为原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴建立坐标系，则A(O,O), B(1,0),D(0,2),C(1,2)设圆C的半径为r,因为BC=2,CD=1,所以 BD=22+F=V5,所以BC,CD=)BD,(此处用直角三角形面积的不同表示求 出圆的半径；也可以用点到直线的距离求出半径，同学们可以自己尝试)，所以 2 r= 5 2 所以圆的方程为(x-12+0-2}=4 设点P的坐标为 25 c0s0+1, 5 sin0+2 因为AP=元AB+uAD,所以 2 -cos+1 )5sim0+2 =元(1,0)+μ(0,2)=(2,24)， 所以2 c0s0+1=元， 2V5 sin0+2=2μ， 5 所以2+u=2 5cos0+V sin0+2=sin(0+p)+2,其中tanp=2, 5 因为-1≤sin(0+o)≤1，所以1≤元+μ≤3， 故2+μ的最大值为3. 2.答案：A 解析：由题设CA+CA.AB=CA.(CA+AB)=CA.CB=0,则CA⊥CB, 而AC,BC的数量关系无法确定，所以△ABC一定是直角三角形，且LC=90°. 故选：A 3.答案：B 解析：如图，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB=a(a>O), BP=x(0≤x≤a) 因为AD=1,BC=2, 所以P(0,x),C(2,0),D(1,a), 所以PC=(2,-x),PD=(1,a-x),所以PC+4PD=(6,4a-5x), 则1PC+4PD=V36+(4a-5x)2≥6， 当4a-5x=0,即x=4a时，PC+4PD取得最小值6.故选B. B(O) 4.答案：A 解析：假设△ABC是等腰直角三角形，且A是直角，AB=AC=2, 建立如图所示平面直角坐标系设P(x,y), 则B(0,2),C(2,0),BC=(2,-2,BA=(0,-2, 依题意D8C-号A, 即列-2.-2-0-2(38 1 S△ABC= ×2×2=2, 2 SAPBC SAPAC+SAABC-SAPAR 1 x2+x2x2-x 2-2+2-3-2 ×2× 2 62 2 26 23 2 所以△PBC与△ABC的面积比为3_1： 23 故选：A. 个 B A 5.答案：B 解析：以BC的中点O为坐标原点建立如图所示的坐标系， .P B O C 则A(0,V3),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y), 则PA=(-x,3-),PB=(-1-x,-y),PC=1-x,-y),则 a0-nx+r到- 所以当x=0,y-时，A(丽+PO取得绿小值2×（到 2 6.答案：B 解析：a.b=-21-1; .ā，b的夹角为钝角； a.b<0,且a,b不平行； 「-22-1<0 -2+2≠0 解得元>-】，且元≠2： ∴.入的取值范围为： （2u2*a 故选B. 7.答案：D 6 AB 和 AC 解析： AB AC 分别是与AB和AC同向的单位向量， AB AC 表示在∠BAC的角平分线上的向量 AB AC AB.BC CA.BC.AB.BC CA·BC AB AC BC=0, AB AC AB AC AB AC ∠BAC的角平分线与BC垂直，.AB=AC, AB AC 又 =60s(aB,AC-cos∠BAC=∠B4AC= △ABC为等边三角形 故选D 8.答案：D 解析：由己知BP=3PA得OP-OB=3(OA-OP), 所以0P=30A+}0B, 又OP=xOA+yOB, 所以=子片 故选D. 9.答案：AD 解析：在△ABC中，若AB·AC<0, 则A为钝角，所以△ABC是钝角三角形，A正确； 若a<0,则a+3<0,故B错： Vx∈R,x2-2x+1=(x-1)2≥0，故C错； 若0p-0i+0, 则20n-oi-05-0m, 4 4 即AP=3PB,所以P,A,B三点共线，故D正确. > 故选：AD 10.答案：BC 解析：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示， Ay D B 则点P在以D为圆心，1为半径的圆上， 可设P(cosu,sino)(0≤a<2π)，由题意知B(-2,-2),C(2,-2),则 cosa+2 sina-2 2 2 所以BM cosa+6 sina+2 2 2 则财-(g9〔g2omg4ae-+而mu+0共 4 4 tanφ=3， 所以c[-io,+i可] 故选：BC 11.答案：ABD 解析：向量a=(L,V5),b=(cosa,sina), 对于A,由al/i,得sina=√5cosa,因此tana=√5，A正确： 对于B,由a⊥6，得5sina+cosa=0,因此ana=-5,B正确： 对于Ca与万的夹角为写a261,a-6=2x1x=1, 2 因此1a-6=Va+方-2a-6=5,C错误： 故选：ABD 12.答案：垂 解析：因为Ai=A0+0i=A0+0A+0B+0C=0B+0C, 所以AH·BC=(OB+0COC-OB=0,所以AH⊥BC, 同理BF⊥AC,C五1AB,则点H为△ABC的垂心 故答案为：垂 1以.答案：号0 解析：因为AM是△ABC的中线，所以OB+OC=2OM, 故OA·(OB+OC)=2OAOM, 因为AM=3,设OA=x(0≤x≤3)，则OM=3-x, 所以o0丽+0C)=-23-=2x-=-号 故当x=时，01.(OB+00)取得最小值最小值为9 当x=0或时，a丽丽+0C)-2}0 M 眨答案为：上0 14.答案：1：2 0 E 解析： B 在AC上取一点E,使得AF=AC,在AB上一点E使得取AE=2AB,又因为 P=AC+AB,则P=A厅+AE,所以四边形AEPF为平行四边形，所以 S。r=S6E因为AF=AC,则Sn=Sac,4E=2AB,则SaE- 5 5 5 5 所以SAPAR:SAPAC=l:2, 故答案为：1：2 15.答案：2 解析：如图，当点C在∠BAD内部时， 令AB=4,AD=b,AC=c, 易知cos∠B4D= ,∠BAD=120°，(a-c,b-c)=(CB,CD)=60°， 于是四边形内接于圆，此时，|c的最大值是该圆的直径长度 当点C在∠BAD外部时，B,C,D在以A为圆心，1为半径的圆上， 此时c=1, 在圆中利用平面几何计算得该圆的半径为1，因此c的最大值为2. D B A 16.答案：(1)cos∠BAC=-3 4 (2)2V分 3 10