空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 考点目录 空间向量的线性运算 空间向量的数量积 考点一 空间向量的线性运算 例1．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·安徽滁州·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 例3．（25-26高二上·重庆·期中·多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25高二上·广西桂林·期末·多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则 （用来表示） 变式1．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·江苏南通·期末·多选）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·四川成都·期中·多选）在正方体中，下列各式运算结果为向量的是（   ） A． B． C． D． 变式5．（24-25高二下·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 考点二 空间向量的数量积 例1．（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 例3．（25-26高二上·江西南昌·月考·多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 例4．（25-26高二上·广东清远·期中·多选）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二上·山东菏泽·期末）在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，则的长为 . 例6．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则 ． 例7．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 例8．（25-26高二上·广东广州·月考）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 变式1．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 变式2．（25-26高二上·四川·月考）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末·多选）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（   ） A． B． C．异面直线与所成的角为 D． 变式4．（25-26高二上·贵州·月考·多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 变式5．（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则 . 变式6．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是 . 变式7．（25-26高二上·河南漯河·月考）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 变式8．（25-26高二上·湖北·月考）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 考点目录 空间向量的线性运算 空间向量的数量积 考点一 空间向量的线性运算 例1.(25-26高二上·江西南昌·期末)如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，0是底面圆的圆心，AC=BC, D为SC的中点，则BD=() S A.-04+0C+0s B.04-20C-20s C.04+loc+os D.0A+0C+0S 2 2 【答案】C 【详解】因为AC=BC,D为SC的中点， 所以BD=B0+0D=OA+}0C+1O5, ”2 2 故选：C 例2.(25-26高二上安徽滁州期末)在空间直角坐标系中，若A1,2,3),B(3,5,7,C(7,2,15)三点共线，其中入∈R ,则2=() A.11 B.9 C.7 D.5 【答案】A 【详解】由题意知，AB=(2,3,4),AC=(6,元-2,12)， 因为A,B,C三点共线，所以AB=kAC, 即2,3利=6，-212，解得k=写2=11 故选：A 例3.(25-26高二上·重庆·期中·多选)如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E,F,G分别是AB,AD,DC的 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 中点，则() A.EF=1DB B.AG=4c+40 2 C.EG=-14B+14C+1AD D.AB.AG=1 2 21 2 【答案】BC 【详解】对于A,由题意得EF=BD,A错误； 对于B,G=C+号D,B正确： 对于C,G=团+G=-号B+号4c+D,C正确： 对于D,丽G=}C+}D面c+而=2，D错误 故选：BC 例4.(24-25高二上广西桂林·期末多选)如图，己知四面体ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点，下列等式正 确的是() A.AB+BC+CD=AD B.AB+BC-CD=DA c6+c+丽列- D.AB-AE+EF=FB 【答案】AC 【详解】因为AB+BC+CD=AC+CD=AD,故A正确： 因为AB+BC-CD=AC-CD=DC+AC≠DA,故B错误； 因为AB+BC+BD)=AB+BF=AF,故C正确； 2 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 因为AB-AE+EF=EB+EF+FB,故D错误 故选：AC 例5.(24-25高一下.吉林长春·期末)如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=i,0C=c,点D为AC的中点， 0E=}0D,则8E= (用a,b,c来表示)》 O B D A 【答案】a-6+ 1- 6 6 【详解】由死=0E-0B=0D-OB=×O1+0C)-O8=a-6+c, 3 32 6 1 故答案为：二a-b+二c 6 变式1.(25-26高二上广东惠州期末)如图，在三棱锥0-ABC中，设0A=a,OB=五，0C=c,若AN=8, BM=2MC,则MN=() M A. 2 D.a+26-2 3 6 3 C. 2 63 【答案】D 【详解】连接OM,ON,由向量的加减和数乘运算规则可知 m=oN-oN=oi+o丽)-oc+cW)=oi+o丽)-oc-}历 +0-c-丽-风-o1+丽-c-+5- 6 3 故选：D 变式2.(25-26高二上河南濮阳期末)如图，在三棱台ABC-A,B,C中，AB=2A,B,AB=ā，AC=b,AA=c, E,F分别为CC,AB的中点，则EF=() 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 B A. 4 441 4 2 【答案】A 【详解】F-C++M+4FCC-C++4码 因为CC-C4+41+4C,4g-6,=i,C=五、AA-, 所以F-CC-C+4+号4g=C4+4+4C)-6++4 22 故选：A 变式3.(25-26高二上·江苏南通期末多选)在空间四边形ABCD中，已知G为△BCD的重心，E,F,H分别为边 CD,AD,BC的中点，则() A.4G-ac+6+而 B.F丽=(aC+B-AD) C.G丽=AC+AB-AD) 6 D.AF-G-C 【答案】ABD 【详解】 选项A:取BD中点M,则CW是△BCD的一条中线，重心为G,则CG=CM, CM=c8+-(丽-C+0-)}孤-4C+4D, 3 3 c=衣+G=C+号6-号C+0-+元+0)，放A正确 ”3 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 选项B:已知F是AD中点，H是BC中点， 丽=丽-亦=丽+4C)而=（丽+4C-而列，故B正确： 选项C:G丽=丽-G=西+C)}亚+AC+而列=B+4C-2而列，故c错误； 达项D:BE=BC+C正-(AC-B)+AD-AC))AC-B+)D, G证-号c-ac++列+c-而+D}c-而. F是AD中点， :A=AD=AG+BE-AC,故D正确。 3 故选：ABD, 变式4.(25-26高二上·四川成都期中多选)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，下列各式运算结果为向量BD的是() A.D:--4B B.BC+BB-D.C C.AD-AB-DD D.BD:-44+DD 【答案】AB 【详解】(AD-AA-AB=AD,-AB=BD,A正确： BC+BB)-D,C=BC-D,C=BC+C,D,=BD,B正确； AD-AB-DD=BD-DD=BD-BB=B,D≠BD1,C错误； B,D,-AA+DD,=(B,D,-B,B+DD,=BD+DD≠BD,D错误； A ---D B 故选：AB 变式5.(24-25高二下.甘肃白银期末)在四面体ABCD中，AB=2a+3C,CD=-4a+85-2元，棱AC,BD的中 点分别为E,F,若FE=ā-4b+k,则k=」 【等案】习 【详解】 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 D C E U B 在四面体4BCD中，棱4C,BD的中点分别为E,F,取8C的中点G,所以FG=DC=0D. GE=1BA=-14B, 所以E=G+0E=0D-6=i+5-2012+3刘-i-46-, 又因为FE=ā-45+c,所以k=2 1 1 故答案为： 2 6 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 考点二 空间向量的数量积 例1.(25-26高二上广西贵港·期末)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，以顶点A为端点的三条棱长均为6， ∠A,AB=∠A,AD=60°，DA⊥AB,则BD,的长为() D B A.66 B.65 C.63 D.62 【答案】C 【详解】由题意可得BD=AD-AB+DD,, 以顶点A为端点的三条棱长均为6，∠A,AB=∠AAD=60°，DA⊥AB,得 AD=AB =DD =6, D-G=06-0=6x6×184D-D0=6x6×18, 则：BD-AD-AB+DD =AD'+4B'+DD2-24D-AB-24B.DD+24D.DD =√36+36+36-0-36+36=6V5 故选：C 例2.(25-26高二上河北唐山期末)三棱锥A-BCD的所有棱长都为2，E,F分别是AB,AD的中点，则EF.CB= () A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】A 【详解】 1 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 ~E,F分别是48，AD的中，：EF少BD且EFBD,印F-号而， 又：三棱锥A-BCD的所有棱长都为2，：任意两条棱的夹角为60°， F-C6-8D.0丽-BDC丽cos.CB-x2×2xcos120=-1, 故选：A 例3.(25-26高二上·江西南昌·月考·多选)如图，点M,N分别是棱长为1的正四面体OABC的边OA和BC的中 点，点P在线段MN上，且MP=2PN.则() B A. OP=104+10B+100 6 3 3 B0m-号 C.OF-- D,向量OP在O方向的投影数量为号 【答案】AC 【详解】对于A:由MP=2PN,可得0P-OM=2(ON-OP), 则or-o+号o丽-oi0o+ocoi+o+oc,所以A, 对fB.由m-gaa+j-6o-ooc+om0丽a.oc+o0丽c 6+x2+号w0x2+引o丽0Coa60-G所以o-,所以B错谈 6 对.F-o+os+co-g+oaca-+片所以c: 6 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 1 对于D,向量OP在OA方向上的投影数量为OP.OA_2_1,所以D错误， A12 故选：AC. 例4.(25-26高二上广东清远·期中多选)如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD的中 点，则下列计算结果正确的是() A.EF.BA=I B.EF.BD=1 C.EF.DC=-1 D.形m号 【答案】ABC 【详解】因为E,F分别是AB,AD的中点，所以EF=BD, 2 所以F.BA-8D.BA=oD,A=×0s60=A正确： F而D而mB正确： EF-DC-.DCDC cos BD.DC-xcos120 2 4’C正确； AB.CD=AB.(AD-AC)=AB.AD-AB.AC =AB AD cos AB,.AD-AB4 .cos 4B,.AC=cos60-cos60°=0，D错误. 故选：ABC 例5.(25-26高二上山东菏泽·期末)在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA 的长为2，且∠AAB=∠AAD=60°，则AC的长为」 【答案】0 【详解】如下图所示： 0 空间向量的线性运算、空间向量的数量积专项训练 A 由空间向量数量积的定义可得4BAD=0,B.A4=AB4c0s60=1x2x,-l, 同理可得AD·AA=1, AC=(AB+AD+A4=AB'+AD'+44'+24B.AD+24B.44+24D.44 =1+1+4+2×0+2×1+2×1=10, 故AC=V0 故答案为：√0 例6.(25-26高二上河南南阳·期末)己知a,五，c是两两垂直的单位向量，则a-2b+2c= 【答案】3 【详解】解：因为a,b,c是两两垂直的单位向量， 所以ab=bc=ac=0,la=b=d=1, 所以a-26+2d-a-25+20=V后+462+4e2-4a-6+4a.c-85e=V5=3 故答案为：3. 例7.(25-26高二上湖北荆州期末)如图，在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，底面ABCD为正方形， ∠AAB=∠A,AD=60°，AA,=AB=2,设E为BC的中点. D E B A B (1)求AE的长： (2)求BABE. 【答案】(1)V15 10