20.1.2 勾股定理的应用-课件--2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 20.1.2 勾股定理的应用 第二十章 勾股定理 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月18日 . 1 1．能够利用勾股定理计算直角三角形的边长，解决涉及距离、高度等的简单应用问题．（重点） 2．经历将实际问题抽象为数学问题的过程，培养数学建模的初步能力．（难点） 学习目标 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m、宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线 AC 的长度是木板斜着能通过的最大长度.求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过. 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m、宽 2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 解：连接 AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC² = AB² + BC² = 1² + 2² = 5， AC = ≈ 2.24. 因为AC大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过. 返回 2.4 1. [2025连云港中考]如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1．8 m，则梯子顶端的高度h为________m． 中考考法 5 返回 2. 5 [2025重庆期末]如图，一根木棍长18 cm，斜放在直径为5 cm的圆形水杯中，水杯的高AC为12 cm，则露出水杯外的部分AD的长至少为________cm． 中考考法 例2 如图，一架长为 2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7m.如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？ 解：当梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D，顶端由点 A 下滑到点 C.可以看出，AC = OA - OC. 在 Rt△AOB 中，根据勾股定理， OA² = AB² - OB² = 2.5² - 0.7² = 5.76， OA = 2.4. 例2 如图，一架长为 2.5m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7m.如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？ 在 Rt△COD 中，根据勾股定理， OC² = CD² - OD² = 2.5² - (0.7 + 0.8)² = 4， OC = 2. 所以，AC = OA - OC = 2.4 - 2 = 0.4. 因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m. 返回 3. 8 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草． 中考考法 返回 4. C 如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8 m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则至少要飞行(　　) A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m 中考考法 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 一画：根据题意，画出相应图形； 二转：将问题和条件转化到直角三角形中； 三算：在直角三角形中利用勾股定理构建方程，进行计算. 返回 5. C [教材P26例2变式]将一块不能弯曲的正方形木块(不考虑厚度)搬进室内，如图，若要通过一扇高为2 m，宽为1 m的门，则以下边长的木块中，可以通过此门的是(　　) A．2．8 m B．2．5 m C．2．2 m D．以上答案都不对 中考考法 返回 6. B 如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离OB为1．5 m，梯子顶端到地面的距离AB为2 m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙上，则梯子顶端到地面的距离CD为2．4 m，则小巷的宽度BD为(　　) A．0．7 m B．2．2 m C．2．5 m D．1．8 m 中考考法 勾股定理应用的常见类型： (1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长； (2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长； (3)证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题. 折叠问题的求解技巧 (1)掌握折叠的本质：轴对称.由折叠前后的两个图形全等，得到对应边相等，对应角相等. (2)折痕所在射线常作为角平分线使用. (3)折叠后形成的新直角三角形的三边关系是利用勾股定理构建方程的关键. 1.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题，大意是：如图，一根竹子原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子从点B处折断，其竹梢C恰好抵地，抵地处离竹子底部的水平距离AC=2尺，已知AC⊥AB，问折断处离地面的高度AB是______尺． 4.8 解析：由题意，知AB+BC=10尺，则BC=10-AB. ∵AC⊥AB，AC=2尺， ∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC2=AB2+AC2， 即（10-AB）2=AB2+4， 解得AB=4.8. 随堂练习 16 2.如图，A,B是池塘边上的两点，C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC=60m，AC=20m. 求A，B两点间的距离(结果取整数). 解：由勾股定理，得 AB = = = 40 ≈ 57 (m). 故 A，B 两点间的距离约为 57 m. 随堂练习 A B C 3. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度： 位于地面上点A处的仪器先射向楼底端B，显示AB = 23.1m； 再射向楼顶端C，显示AC = 31.9m； 最后显示楼高BC = 22m. 你能说出其中的数学道理吗？ 能.道理如下： 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， BC² = AC² - AB² = 31.9² - 23.1² = 484. 所以 BC = 22 m. 随堂练习 返回 7. C [教材P31习题T10变式]“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，AC＝5尺，DC＝1尺，BD＝BA，则BC＝(　　) A．8尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺 中考考法 8. (4分)在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个引水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．该村为方便村民引水，决定在河边新建一个引水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB于点H．测得CH＝ 2．4 km，HB＝1．8 km，求新路CH 比原路CB，CA各少多少千米． 中考考法 返回 中考考法 返回 9. 如图，钓鱼竿AB的长为5．4 m，露出水面上的鱼线BC长为1．8 m．当钓鱼者把钓鱼竿AB转到AB′的位置时，露出水面上的鱼线B′C′长为4．2 m，则CC′的长为________． 中考考法 22 返回 10. 5 如图是一架秋千的示意图，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0．5 m，将它往前推送3 m(水平距离BC＝3 m)时，踏板离地的垂直高度BF＝1．5 m，绳索始终拉得很直，则秋千的绳索AD的长为______m． 中考考法 23 11. (8分) 消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援．如图，云梯最多能伸长到25 m(即AB＝CD＝25 m)，消防车高4 m，救人时云梯伸长至最长，在完成从19 m(即BE＝19 m)高的B处救人后，还要从24 m(即DE＝24 m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(延长AC交DE于点O， AO⊥DE，OE的长即为消防车的高) 中考考法 24 返回 中考考法 勾股定理的实际应用 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 一画：根据题意，画出相应图形. 二转：将问题和条件转化到直角三角形中. 三算：在直角三角形中利用勾股定理构建方程,进行计算. 解：由题意得BC＝＝＝3(km)， 设AB＝AC＝x km，则AH＝AB－HB＝(x－1.8)km， 易知AC2＝CH2＋AH2， ∴x2＝2.42＋(x－1.8)2，解得x＝2.5， ∴AB＝AC＝2.5 km，∴新路CH比原路CB少3－2.4＝0.6(km)，比原路CA少2.5－2.4＝0.1(km)． m　 解：在Rt△ABO中，∵∠AOB＝90°，AB＝25 m，OB＝19－4＝15(m)， ∴AO＝＝＝20(m)． 在Rt△COD中，∵∠COD＝90°，CD＝25 m，OD＝24－4＝20(m)， ∴OC＝＝＝15(m)， ∴AC＝OA－OC＝20－15＝5(m)． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为5 m. $