28.2应用举例 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学下册

28.2应用举例 一、单选题 1．为更好组织推进河南省第十五届运动会新增的冰雪项目，2025年7月，滑雪、短道速滑、滑板三大精英训练营在河南体育学院同步启动开营．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝300m，则这名滑雪运动员下降的高度为（　　） A．300tanα m B．300sinα m C．300cosα m D． 2．如图，一个小球由地面沿着坡度（铅直高度与水平宽度的比）i＝1：3的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在坡角为α的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离AC为15m，tanα，则这两树间的坡面AB的长为（　　） A．5m B．45m C． D． 4．小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点P的俯角为37°，那么此时热气球离着落点P的距离约是（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（　　） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 5．如图，点P是航拍飞机在某一高度时的位置，BH是地平线，PH⊥BH，PC∥BH，AB是某大型建筑物的斜面．从点P观测点B的俯角是（　　） A．∠HPB B．∠CPB C．∠APB D．∠PBA 6．某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面142m的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°，再将无人机面向“福塔”沿水平方向飞行210m到达Q点，测得“福塔”顶端A的俯角为45°，则“福塔”AB的高度约为（　　）（参考数据：tan37°） A．48m B．50m C．51m D．52m 7．如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为（　　） A．（m﹣n）sinα米 B．米 C．（m﹣n）cosα米 D．米 8．小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹角∠DCB＝37°，DF＝71cm，档案盒长CD＝35cm．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（　　）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 9．一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行15km到达点C处，然后沿北偏西60°方向航行10km到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东60°方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（　　） A． B． C． D． 10．通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（　　） A．△ABC的面积是 B．m＝28 C．点（1，31）在该函数图象上 D．n＝29 二、填空题 11．11月18日至24日，河南省消防救援总队在许昌举办“全省消防救援队伍2025年度实战化比武竞赛”．在攀登冲锋梯项目中，消防员需沿冲锋梯攀爬训练塔．已知冲锋梯所在斜坡的坡度为1：，消防员沿此冲锋梯攀爬的路程为10m，那么消防员攀爬的垂直上升的高度为　 　 m． 12．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高为10米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为　 　 米． 13．如图，大树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB＝15°，他沿CB方向走了30米，到达D处，测得∠ADB＝30°，则树高AB为 　 米． 14．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE的值为 ． 15．王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西25°方向上，AB＝3km．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西25°方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西70°方向上．则小于家A到篮球馆C的距离AC＝ 　 ．（结果精确到0.1km；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 三、解答题 16．如图，在一次数学实践活动课中，小明所在的数学学习小组计划测量教学楼的高度AE，小明先在教学楼前的广场C处，利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌下端B的仰角为30°，然后他朝正对教学楼方向前进6米到达D处，又利用测倾器测得教学楼顶部励志标语牌上端A处的仰角为45°．若励志标语牌的高度AB＝2米，测倾器的高度CM＝DN＝1米，已知A，B，E三点共线，AE⊥CE，励志标语牌的顶端与教学楼顶端平齐，求教学楼AE的高度．（结果保留根号） 17．如图，从空中C点测得两建筑物A，B底部的俯角分别为37°和53°，如果测得C与B之间的距离为152m，且点A，B，D在同一直线上（结果取整数） （1）求C点距地面的高度CD的值； （2）求建筑物A，B间的距离 （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 18．小明和小华相约从家同时出发前往某公园赏花．如图，小明从家A处出发，乘坐公交车途径E处到F处，再从F处跑步到达公园C处，已知点E在A的北偏东30°方向，点F在E的东北方向，点C在F的正东方向，且FC相距2.2千米；小华从家里B处出发骑自行车途径D处到达终点C处，已知点B在点A的正东方距离2千米处，点B在D的南偏西53°方向，点C在D的正北方向，且BD相距4千米，DC相距2.6千米．（1.41，1.73，2.45，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） （1）求AE的长度；（结果保留根号） （2）小明坐公交车时车的速度为900米/分钟，小明跑步的速度为100米/分钟；小华骑自行车的速度为230米/分钟；若两人同时从自己家里出发，请通过计算说明谁先到达终点？（计算结果保留一位小数） 19．如图1是我国古代提水的器具桔槔（jié gāo），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝4米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF，此时水桶在井里时，∠AOD＝120°．（参考数据：1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） （1）如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB绕点O顺时针旋转23°至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． 20．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究． 问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点A处出发，通过斑马线AD时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点B（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是1m/s，小汽车的速度为30km/h，每个车道宽3m，双向车道中间有宽0.5m的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在5s内（不包含5s），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”． 问题思考与解决： （1）若∠BAC＝76°， ①计算此时小汽车到斑马线的距离BC； ②若在B点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点C时，小汽车前沿离行人还有1m，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度． （2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求∠BAC的度数． （参考数据：tan72°≈3，tan76°≈4，tan86°≈14） 参考答案 一、单选题 1．B 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝α，AB＝300m，如图， ∵sinB， ∴AC＝AB•sinB＝300sina米， 故选：B． 2．D 【解答】解：设BC＝xm， ∵斜坡AB的坡度为1：3， ∴AC＝3xm， 由勾股定理得：x2+（3x）2＝102， 解得：x（负值舍去），则小球距离地面的高度为m， 故选：D． 3．C 【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝15m，tanα， 解得BC＝5， ∴AB（m）． 故选：C． 4．C 【解答】解：如图： 由题意得：AC⊥AP，AE∥CP， ∴∠EAP＝∠APC＝37°， 在Rt△ACP中，AC＝60m， ∴AP100（m）， ∴此时热气球离着落点P的距离约是100m， 故选：C． 5．B 【解答】解：∵PC∥BH，BH是地平线， ∴从点P观测点B的俯角是∠CPB， 故选：B． 6．D 【解答】解：延长BA交PQ于点C， 由题意得：BC⊥PQ，BC＝142m， 设PC＝xm， ∵PQ＝210m， ∴CQ＝PQ﹣CP＝（210﹣x）m， 在Rt△APC中，∠APC＝37°， ∴AC＝PC•tan37°x（m）， 在Rt△ACQ中，∠AQC＝45°， ∴AC＝CQ•tan45°＝（210﹣x）m， ∴x＝210﹣x， 解得：x＝120， ∴AC＝210﹣x＝90（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝142﹣90＝52（m）， 故选：D． 7．B 【解答】解：∵依题意，在Rt△ABC中，BC＝（m﹣n）米，∠ACB＝90°，∠BAC＝α， ∴AB， 故选：B． 8．C 【解答】解：由题意，在 Rt△CBD中，∠DCB＝37°，CD＝35cm，， ∴BD＝CD•sin∠DCB＝35sin37°≈35×0.6＝21（cm）， ∴BF＝DF﹣BD＝71﹣21＝50（cm）， ∴档案盒的厚度为 50÷10＝5（cm）， 故选：C． 9．C 【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE，＝BC＝15km， 由题意得：∠DCF＝60°， ∴，， ∴， 由题意得，∠ADE＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴． 故选：C． 10．C 【解答】解：如图1，过B点作BD⊥AC于点D，AC＝4，∠A＝60°， ∵图2中图形的最低点P（3，m）， ∴m＝BD2，AD＝3， ∴在Rt△ABD中，AB＝2AD＝6， ∴BD2＝AB2﹣AD2＝62﹣32＝27， 即m＝27， 故选项B错误； ∴△ABC的面积SAC•BD46， 故选项A错误； ∵图象经过Q（4，n）， ∴AC＝4，n＝BC2， ∵在Rt△CBD中，CD＝AC﹣AD＝1，BD＝3， ∴BC2＝BD2+CD2＝27+1＝28， 即n＝28， 故选项D错误， 如图3，当AE＝1时，DE＝AC﹣AE﹣CD＝2， ∵在Rt△EBD中，BD＝3， ∴BE2＝EC2+BD2＝4+27＝31， 即点（1，31）在该函数图象上， 故选项C正确，符合题意， 故选：C． 二、填空题 11．5． 【解答】解：如图，设水平距离为BC＝d米，垂直上升的高度为AC＝h米， 由坡度比为1：，得，即dh， ∵在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即h2+d2＝102 ∴h2100， 解得h＝5或h＝﹣5（负值舍去）． ∴消防员攀爬的垂直上升的高度为5米． 故答案为：5． 12．26． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E， 由题意可得：DE＝10， 则， 故EC＝2.4×10＝24（米）， （米）． 故答案为：26． 13．15． 【解答】解：∵∠ACB＝15°，∠ADB＝30°， ∴∠CAD＝∠ADB﹣∠ACB＝15°， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴AD＝CD＝30米， 又∵∠ABD＝90°，∠ADB＝30°， ∴米． 故答案为：15． 14．． 【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x， ∵△ABE≌△DAH， ∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x， ∴AE＝4x， ∵， ∴， 故答案为：． 15．4.2km． 【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图所示： ∴∠BDA＝∠BDC＝90°， 依题意得：AB＝3km，∠BAE＝25°，∠FCA＝25°，∠FCB＝70°，CF∥AE， ∴∠CAE＝∠FCA＝25°，∠BCA＝∠FCB﹣∠FCA＝70°﹣25°＝45°， 在Rt△BAD中，∠BAD＝∠BAE+∠CAE＝25°+25°＝50°， ∵sin∠BAD，cos∠BAD， ∴AB＝BD•sin∠BAD＝3×sin50°≈3×0.77＝2.31（km）， AD＝AB•cos∠BAD＝3×cos50°≈3×0.64＝1.92（km）， 在△BCD中，∠BDC＝90°，∠BCA＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴CD＝BD＝1.92（km）， ∴AC＝AD+CD＝2.31+1.92≈4.2（km）． 答：小于家A到篮球馆C的距离AC约等于4.2km． 故答案为：4.2km． 三、解答题 16．解：励志标语牌的高度AB＝2米，测倾器的高度CM＝DN＝1米， 如图，延长MN交AE于点F，则四边形MCEF，MCDN都是矩形， ∴EF＝CM＝1m，MN＝CD＝6m， ∵∠ANF＝45°， ∴AF＝FN， 设NF＝AF＝xm， ∴MF＝MN+FN＝（6+x）m， ∵∠BMF＝30°， ∴BF＝FM•tan30°， ∴x﹣2（6+x）， ∴x＝6+4， ∴AE＝AF+EF＝6+41＝（7+4）m， 答：教学楼AE的高度为（7+4）m． 17．解：（1）在Rt△DBC中，∠DBC＝53°，BC＝152，∠BDC＝90°， ∴， ∴CD≈152×0.80＝121.6≈122（m）， 答：C点距地面的高度CD的值约为122m； （2）在Rt△DBC中，， ∴BD≈152×0.60＝91.2（m）， 在Rt△ADC中，∠DAC＝37°，CD≈121.6，∠ADC＝90°， ∴， ∴AD≈121.6÷0.75≈162.1（m）， ∴AB＝AD+BD≈162.1+91.2≈253（m）． 答：建筑物A，B之间的距离约为253m． 18．解：（1）如图，延长AB，CD交于点G，过点E作EH⊥AB于点H，交CF的延长线于点K，则∠G＝∠FKE＝∠AHE＝90°，∠BAE＝90°﹣30°＝60°，KH＝CG，CK＝GH，∠BDG＝53°，∠FEK＝45°， 设AE＝2x米， 在Rt△ABE中，∠BAE＝60°， ∴AH＝AE×cos∠BAE＝x千米，（千米）， 在Rt△BDG中，∠DBG＝90°﹣53°＝37°，BD＝4千米， ∴DG＝BD×sin∠DBG≈2.4千米，BG＝BD×cos∠DBG≈3.2千米， ∵DC相距2.6千米，点B在点A的正东方距离2千米处， ∴CG＝CD+DG＝2.4+2.6＝5（千米），AG＝AB+BG＝2+3.2＝5.2（千米）， ∴KH＝5千米，CK＝GH＝（5.2﹣x）千米， ∴千米， ∵CF＝2.2千米， ∴FK＝（3﹣x）千米， 在Rt△EFK中，∠FEK＝45°， ∴， ∴， 解得：， ∴AE的长度为千米； （2）由（1）得：千米， 小明到达终点所用时间为分钟， 小华到达终点所用时间为（4+2.6）×1000÷230≈28.7分钟， ∵28.5＜28.7， ∴小明先到达终点． 19．解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，则∠AGO＝90°； 由题意得：AC∥OD， ∴∠DOG＝∠AGO＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， ∵O为AB的中点，AB＝4， ∴， ； （2）设OG交A1C1于点H， 由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝2，∠A1OA＝23°， ∴∠A1OD＝∠A1OA+∠AOD＝143°， ∵OD∥A1C1 ∴∠A1＝∠B1OD ∵∠B1OD＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37° ∴∠A1＝37°， A1H＝OA1•cos37°＝2×0.8≈1.6， ∵AG＝OA•sin30°＝1， ∴A1H﹣AG＝1.6﹣1＝0.6 ∴点A上升的高度约为0.6米． 20．解：（1）①由题可知：AC＝3+3+0.5+1.5＝8，∠BAC＝76°，∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，，即， ∴BC＝8×tan76°≈8×4＝32m； ②设小汽车在这一段的平均速度为am/s， 由题意得：， 解得：， 经检验：是该分式方程的解且符合题意， ∴小汽车在这一段的平均速度为； （2）设BC＝xm，， 由题意得：， 解得：x＝25或， 在 Rt△ABC中，或， 又∵tan72°≈3，tan86°≈14， ∴∠BAC 的度数为72°或86°． 学科网（北京）股份有限公司 $