11.1～11.3不等式、一元一次不等式的定义、解一元一次不等式寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版七年级下学期数学（知识点归纳+题型

11.1～11.3不等式、一元一次不等式的定义、解一元一次不等式寒假预习讲义（苏科版） ☟预习内容概览 1.课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲讲练 4.强化巩固◆综合测试 ✔课前预习◆目标 1.掌握一元一次不等式的定义，能判断一个式子是不是一元一次不等式； 2.知道不等式的解和解集的区别，会在数轴上表示解集； 3.掌握解一元一次不等式的一般步骤，能独立解简单的一元一次不等式； 4.对比解方程和解不等式的异同，注意不等号方向改变的情况。 💦重点知识◆梳理归纳 【知识点1不等式的概念】    一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【要点提示】 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【知识点2不等式的解及解集】 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 【重点提示】 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中。 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-3≤7的解集为x≤10． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【重点提示】 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【知识点3不等式的基本性质】 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 【知识点4一元一次不等式的概念】 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，x>20是一个一元一次不等式． 【重点提示】（1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1． （2一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 【知识点5一元一次不等式的解法】 1．解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2．一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集． 【重点提示】（1）解不等式时应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 3．不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 【重点提示】 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． ✏ 核心考点◆精讲讲练 题型1不等式的定义 例1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．“大于的倍”用不等式表示为： ． 变式2．如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 题型2不等式的解集 例2．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 变式1．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有 （填序号）． 变式2．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 题型3不等式的性质 例3．若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．若，则 （填“＞”或“＜”）． 变式2．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 题型4一元一次不等式的定义 例4．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 变式1．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 变式2．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 题型5求一元一次不等式的解集 例5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．写出不等式的一个解： ． 变式2．已知整数同时满足不等式和，并且满足方程，求的值． 题型6求一元一次不等式的整数解 例6．不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 变式1．不等式的非负整数解的个数有 个； 变式2．求不等式的正整数解． 题型7在数轴上表示不等式的解集 例7．已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在数轴上表示的关于x的不等式组的解集为 ． 变式2．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    题型8求一元一次不等式解的最值 例8．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 变式1．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 变式2．如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． ✍ 强化巩固◆综合测试 一、单选题 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 5．若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．式子的可以填的最大整数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 二、填空题 9．已知当时x的最小值为a，当时x的最大值为b，则 ． 10．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 11．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 12．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 （填“”“”或“”）． 13．若，则关于的不等式的解集为 ． 14．不等式的非负整数解为 ． 15．一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 ． 16．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是 ． 三、解答题 17．解不等式： (1)． (2)． (3)． 18．解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 19．（1）解方程：； （2）求不等式的正整数解． 20．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 21．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 22．为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： (1)若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ (2)设购买绿萝x盆（x为整数，且），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； (3)求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.1～11.3不等式、一元一次不等式的定义、解一元一次不等式寒假预习讲义（苏科版） ☟预习内容概览 1.课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 3.核心考点◆精讲讲练 4.强化巩固◆综合测试 ✔课前预习◆目标 1.掌握一元一次不等式的定义，能判断一个式子是不是一元一次不等式； 2.知道不等式的解和解集的区别，会在数轴上表示解集； 3.掌握解一元一次不等式的一般步骤，能独立解简单的一元一次不等式； 4.对比解方程和解不等式的异同，注意不等号方向改变的情况。 💦重点知识◆梳理归纳 【知识点1不等式的概念】    一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【要点提示】 （1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． （2）五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 （3）有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【知识点2不等式的解及解集】 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 【重点提示】 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立； ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中。 3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-3≤7的解集为x≤10． （2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 【重点提示】 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．（1）确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；（2）确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【知识点3不等式的基本性质】 不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或）． 不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或）． 【知识点4一元一次不等式的概念】 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，x>20是一个一元一次不等式． 【重点提示】（1）一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1． （2一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 【知识点5一元一次不等式的解法】 1．解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2．一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化为（或）的形式（其中）；（5）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集． 【重点提示】（1）解不等式时应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变． 3．不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 【重点提示】 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． ✏ 核心考点◆精讲讲练 题型1不等式的定义 例1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式，检查每个式子即可． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵① 使用“”，是不等式； ② 使用“”，是不等式； ③ 使用“”，是等式，不是不等式； ④ 没有不等号，不是不等式； ⑤ 使用“”，是不等式； ∴不等式有①②⑤共3个； 故选：C． 变式1．“大于的倍”用不等式表示为： ． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式．根据“a大于b的2倍”进行列出不等式，即可作答． 【详解】解：依题意，“大于的倍”用不等式表示为：， 故答案为：． 变式2．如图，数轴上两点所表示的数分别为．设C为数轴上的任意一点，它表示的数为c，请写出c与之间的大小关系． 【答案】见解析 【分析】本题考查根据数轴比较实数大小，建立不等式的能力，需结合点C的位置进行分类讨论． 【详解】解：当点C在点A的左边（不含点A）时，； 当点C与点A重合时，； 当点C在点A，B之间（不含端点A，B）时，； 当点C与点B重合时，； 当点C在点B的右边（不含点B）时，． 题型2不等式的解集 例2．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 变式1．下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 变式2．下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 题型3不等式的性质 例3．若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：已知， 对于选项A：取特殊值，，则，， ，，故A错误； 对于选项B：根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘，不等号方向改变， ，，故B错误； 对于选项C：根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加，不等号方向不变， ，，即，故C正确； 对于选项D：根据不等式的基本性质3，不等式两边同时除以(即乘)，不等号方向改变， ，，故D错误； 故选：C． 变式1．若，则 （填“＞”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变、利用作差法比较大小是解题的关键． 通过计算两个表达式的差，利用不等式性质判断大小． 【详解】解：∵， ∴． ， ． 故答案为：＞． 变式2．阅读下列解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，第一步 ∴，第二步 故．第三步 (1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)二 (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：二． （2）解：正确的解题过程如下： ∵， ∴， ∴． 题型4一元一次不等式的定义 例4．下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，据此可得答案． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 变式1．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式需满足未知数的次数为1且系数不为0是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义，的指数必须为且系数不为零，因此且，求解的值并验证． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式，因此的指数，且系数． 解，得或，即或． 当时，系数，不符合条件； 当时，系数，符合条件． 故答案为：． 变式2．已知是关于x的一元一次不等式，求m的值． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：依题意得，且， ． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 题型5求一元一次不等式的解集 例5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式．移项合并同类项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， 把解集在数轴上表示为： ． 故选：D 变式1．写出不等式的一个解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 先解不等式，然后根据不等式的解集，写出其中的一个解即可． 【详解】解：解不等式 ， 得 ∴不等式的一个解为： ， 满足 ，故 是原不等式的一个解， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．已知整数同时满足不等式和，并且满足方程，求的值． 【答案】的值为或1 【分析】先按照解一元一次不等式的步骤求出解集，并得到整数解，然后代入方程求出的值． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 同时满足不等式和， ． 是整数，或0． 将代入方程， 得， 解得； 将代入方程，得，解得． 综上所述，的值为或1 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，方程的解，解题的关键是准确熟练地进行计算． 题型6求一元一次不等式的整数解 例6．不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式的解集及确定最小整数解．先求出不等式的解集，然后确定最小整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 解得， ∵大于等于的最小整数是， ∴该不等式的最小整数解是． 故选：A． 变式1．不等式的非负整数解的个数有 个； 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法与非负整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤并准确筛选非负整数解是解题的关键． 先求解不等式的解集，再从解集中找出所有非负整数解并统计个数． 【详解】解：， ， ， ， ， 非负整数解为，，，共3个． 故答案为：3． 变式2．求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求一元一次不等式的整数解，通过去分母，去括号，移项和合并同类项解不等式，然后求正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴正整数解为，． 题型7在数轴上表示不等式的解集 例7．已知天平右盘中每个砝码的质量均为，则物体的质量（单位：）的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，先确定的质量的取值范围，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：如图所示，可知， 在数轴上表示为： 故选：D． 变式1．如图，在数轴上表示的关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：由数轴得：不等式组的解集为， 故答案为：． 变式2．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，见解析 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； 根据解不等式的方法解出不等式的解集，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示．    题型8求一元一次不等式解的最值 例8．已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 变式1．满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式的最大和最小值，根据题意可得a是不等式的最小值，b是不等式的最大值，据此可得a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． ✍ 强化巩固◆综合测试 一、单选题 1．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 2．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质逐个判定选项即可． 【详解】解：∵ A选项：根据不等式性质1，两边加不等号方向不变，得，故A错误． B选项：根据不等式性质1，两边减不等号方向不变，得，故B错误． C选项：根据不等式性质3，两边乘负数不等号方向改变，得，故C正确． D选项：根据不等式性质2，两边除以正数不等号方向不变，得，故D错误． 故选：C． 4．下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 5．若代数式的值始终不大于－1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解法，注意解不等式的依据是不等式的性质，理解不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变是关键． 将代数式化简为 ，然后根据值不大于列出不等式求解． 【详解】解：∵ ， 又∵ 值始终不大于 ， ∴ ， 两边乘（正数，不等号方向不变）：， 移项：， 两边乘 （负数，不等号方向改变）：， ∴ 的取值范围是 ， 故选： A． 6．式子的可以填的最大整数是（） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查不等式，掌握知识点是解题的关键． 将不等式转化为，然后求解，从而确定最大整数为5． 【详解】解：∵， ∴， 两边同乘28（正数，不等号方向不变）：， 两边同除以5：， ∴的最大整数为5． 故选B． 7．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式解集的数轴表示，掌握不包含边界点时用空心圆圈，小于向左画，大于向右画是解题的关键． 根据不等式的解集，确定数轴表示规则，不包含边界点用空心圆圈，解集方向向左． 【详解】解：∵ 不等式为，其解集不包含边界点 ∴在数轴上表示时，应在数字的位置画一个空心圆圈 ∵不等式表示所有小于的实数 ∴在数轴上表示时，应从处的空心圆圈开始，向左画线 综上所述，正确表示该不等式解集的是选项C． 故选：C． 8．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 二、填空题 9．已知当时x的最小值为a，当时x的最大值为b，则 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式，代数式求值．先求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵当时x的最小值为a，当时x的最大值为b， ∴， ∴． 故答案为：． 10．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键. 11．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 12．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，数轴和不等式的性质等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据数轴得出，再根据不等式的性质进行变形即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故答案为：． 13．若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件判断系数的符号，再根据不等式的性质进行变形求解． 【详解】解：已知，可得． 原不等式为． ∵，在不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变： ∴． 对化简，可得． 因此，不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式的解法，解题关键是先判断系数的正负，再根据不等式的性质进行求解． 14．不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1 【分析】先求解不等式，得到的取值范围，再找出非负整数解． 【详解】解： ， 两边同乘得 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即 ． 非负整数解为和． 故答案为． 【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 15．一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，正确掌握不等式解集的表示方法是解题的关键．根据数轴写出不等式的解集． 【详解】解：数轴上表示的一元一次不等式的解集为： 故答案为：． 16．若是方程的解，，是正整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 三、解答题 17．解不等式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键； （1）移项、合并同类项然后系数化为1即可求解； （2）（3）先去分母，然后移项、合并同类项最后系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 18．解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等步骤，再把解集在数轴上表示，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得 合并得 移项得 合并得 数轴表示： （2）解： 去分母，两边乘15得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： （3）解： 去分母，两边乘12得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： 19．（1）解方程：； （2）求不等式的正整数解． 【答案】（1）；（2）正整数解为1，2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，求不等式的正整数解，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可． 【详解】解：（1）去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴此不等式的正整数解为：1，2． 20．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． 21．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 【答案】(1)不等式的性质2． (2)⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． (3)，表示见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质； 故答案为：不等式的性质． （2）解：第⑤步系数化为时，不等式两边同时乘以时，忘记改变不等号方向， 故答案为：⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． （3）解：不等式解集为， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：空心圆点向右画射线，实心圆点向右画射线，空心圆点向左画射线，实心圆点向左画射线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键． 22．为响应“绿色校园”号召，七年级（5）班计划在教室窗台布置绿植角，需购买绿萝和多肉植物共50盆．已知绿萝每盆原价18元，多肉每盆10元．花店提供两种采购方案： 方案一：绿萝价格不变，多肉每盆打8折； 方案二：绿萝每盆优惠3元，多肉价格不变． 问题： (1)若购买绿萝35盆、多肉15盆，两种方案的费用分别是多少？ (2)设购买绿萝x盆（x为整数，且），用含x的整式分别表示两种方案的总费用； (3)求当购买绿萝多少盆时，两种方案费用相同？并直接写出当购买绿萝的数量超过这个数时，哪种方案更省钱？ 【答案】(1)方案一：元；方案二：元 (2)方案一：元；方案二：元 (3)当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用： （1）根据两种采购方案的方式解答即可； （2）根据两种采购方案的方式解答即可； （3）根据两种方案费用相同，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：方案一：费用为（元）， 方案二：费用为（元）． （2）解：方案一：费用为， 方案二：费用为． （3）解：根据题意得：， 解得． 当时，， 所以当购买绿萝20盆时，两种方案费用相同．当购买绿萝的数量超过20盆时，方案二更省钱． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $