19.1 二次根式及其性质-课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 19.1.1二次根式的概念 第十九章　二次根式 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月18日 . 1 1．了解二次根式的概念． 2．理解并掌握二次根式有意义的条件．（重点） 学习目标 问题1 什么叫作平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根. 问题2 什么叫作算术平方根? 如果（≥0）,那么称为a的算术平方根.用(表示. 问题3 什么数有平方根? 我们知道，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广，那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？ 实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6 400 km. 思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征. (1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 _______m. (2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_________. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与 开始落下时离地面的高度h（单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_____. 5 思考 上面问题中，得到的结果，，，，这些代数式有什么意义？有什么共同点？ 1.分别表示 2Rh，65，， 的算术平方根． 2.根指数都为2. 3.被开方数都是非负数. 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式. 说明: （1） 中的既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. （2）已知 是二次根式，就意味着满足≥0. 例1 给出下列式子： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦. 其中一定是二次根式的是_________.（只填序号） ①④⑦ 返回 A 1. 下列各式中，是二次根式的是(　　) 中考考法 9 返回 2. C 下列各式中，一定是二次根式的是(　　) 中考考法 思考 当a满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 条件 字母表示 有意义 被开方数为 非负数 例2 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？ 解：由≥0，得 x≥2. 当x≥2时，在实数范围内有意义. 返回 3. D 中考考法 返回 4. D 中考考法 思考 当x满足什么条件时， 在实数范围内有意义？呢？ 代数式 x满足的条件 x取任意实数 x取非负数 返回 5. 解：x≤0. (16分)[教材P3练习T2变式]当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ x为任意实数． 中考考法 返回 6. 已知一个正方体的表面积为12 dm2，则这个正方体的棱长为________dm． 中考考法 返回 7. 中考考法 返回 8. D 中考考法 返回 9. 2 中考考法 20 返回 10. (4分)[教材P5习题T3变式]有一个长、宽之比为5∶1的长方形过道，其面积为10 m2，求这个长方形过道的长和宽． 中考考法 21 11. 中考考法 22 返回 中考考法 23 二次根式 二次根式的概念 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式. 形如的式子有意义的条件 被开方数为非负数 . A． B． C．2 D． A． B． C． D． [2025连云港中考]若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　) A．x≤1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x≥－1 下列x的值能使二次根式无意义的是(　　) A．x＝－5 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 x≥－. x≤. (3)； (4)． (1)； (2)； “海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速v(单位：m/s)估计风压wp(单位：Pa)的通用公式为wp＝，试用含wp(wp≥0)的式子表示v，则v＝__________． 如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是(　　) A．x≥2 B．x≠2 C．x≤2 D．x>2 当x＝________时，式子＋2取最小值，这个最小值为________． 解：设这个长方形过道的长为5x m，则宽为x m， 由题意，得5x·x＝10，∴x＝±. ∵x>0，∴x＝.∴5x＝5 . 答：这个长方形过道的长和宽分别为5 m和 m. (8分)[2025唐山期中](1)若x，y为实数，且y＝＋－2，求的值； 解：由题意得∴x＝3， ∴y＝＋－2＝0＋0－2＝－2， ∴＝＝. (2)已知b＝＋－a＋7，求a－b的值． 解：由题意得∴ab＝10，∴b＝－a＋7，∴a＋b＝7， ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝72－4×10＝9， ∴a－b＝±3. $ 新人教版数学8年级下册培优备课课件 19.1.2 二次根式的性质 第十九章　二次根式 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月18日 . 1 1．理解 (a≥0)是一个非负数．（重点） 2．理解二次根式的性质( )2＝a(a≥0)和（重点） 3．会运用二次根式的性质进行有关计算和化简．（难点） 学习目标 问题1 正数有平方根吗？负数呢？0呢？ 正数、0都有平方根，但负数没有平方根. 问题2 计算下面两题： ①；② ；③ . 2 4 0 我们知道，当>0时，表示的算术平方根，因此>0; 当=0时，表示0的算术平方根，因此=0.这就是说， ≥0 (≥0). 性质1：二次根式具有双重非负性. ① 例1 若 + |b| + c2 = 0，则=___；b=___；c=___. 0 点拨： ①三类常见的非负数： (≥0)，||2. ②若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0. 0 0 返回 C 1. 中考考法 6 返回 2. B 中考考法 跟踪训练 ∴ 解得 ∴ 探究1 根据算术平方根的意义填空： 3 0.5 0 解：是3的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于3的非负数,因此，()2=3. 同理，，，分别是，，0的算术平方根，即得上面的等式. 一般地， ()2= (≥0). 性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件. 返回 3. B 中考考法 返回 4. B 中考考法 例2 计算： (1) ()2； (2) (2)2. 解：(1) ()2 =1.5. (2) (2)2 =22×()2=4×5=20. 对于形如(b)2(a≥0)的式子，要结合积的乘方运算法则来计算，即(b)2=b2·()2=b2·a=ab2. 返回 5. 中考考法 返回 6. －a 中考考法 探究2 填空： 根据算术平方根的意义，可以得到 ；；；. 2 0.1 0 一般地， ＝a (a≥0) . 性质3：一个非负数的平方的算术平方根等于这个数本身. 思考 当a为任意实数时，都有意义，如果前一探究中的a为负实数，那么下面各式还成立吗？为什么？ . 2 0.1 注意：中的可以是任意实数， 但计算结果不一定是. ()2 不同点 表示的意义 包含的运算顺序 的取值范围 结果的表达形式 相同点 ()2与的结果都是非负数，且当a≥0时， ()2 =.  为任意实数. 先开方，再平方. 先平方，再开方. 表示非负数a的算术平方根的平方. 表示实数a的平方的算术平方根. 思考 ()2与的相同点与不同点？ 例3 化简： (1) . (2) . 解：(1) = =4. (2) = =5. 返回 7. 中考考法 返回 8. 10 2 4－π 中考考法 返回 9. B 中考考法 24 返回 10. C 下列各式中，化简结果是－5的是(　　) 中考考法 25 返回 11. D 中考考法 26 返回 12. 中考考法 27 返回 13. B 中考考法 返回 14. A 中考考法 返回 15. A 中考考法 返回 16. 3 26 中考考法 返回 17. －2x 中考考法 返回 18. 解：原式＝54－12＝42. 中考考法 返回 19. 解：由题图得c<a<0<b，则a－b<0，b－c>0， ∴原式＝－(b－c)＋＝－(a－b)－(b－c)－c ＝－a＋b－b＋c－c＝－a. 中考考法 二次根式 二次根式的性质 ≥0 (≥0)(双重非负性) ()2=(≥0) 若＝0，则x的值为(　　) A．正数 B．负数 C．0 D．任意实数 若a，b均为实数，且满足|a－2|＋＝0，则b的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．以上都不对 计算()2的结果为(　　) A． B．3 C．6 D．9 计算(－)2的结果为(　　) A．－7 B．7 C．－49 D．49 ()2 ()2 2 ()2 [教材P5习题T4变式]利用a＝()2(a≥0)，把下列非负数写成一个非负数的平方的形式： (1)8＝______； (2)3．6＝______； (3)＝______； (4)m＝______． 若a为负数，则()2＝________． 解：()2＝0.3. 2＝. －(5 )2＝－52×()2＝－25×2＝－50. 2＝(－3)2×2＝9×＝6. (16分)[教材P4练习T1变式]计算： (1)()2; (2)； (3)－(5 )2; (4)2． 计算： (1)＝______； (2)＝______； (3)＝________． 若＝a，则a的值不可以是(　　) A．0 B．－1 C．1 D．3 A． B．(－)2 C．－ D． 已知的值为4，则x的值是(　　) A．4 B．16 C．－4 D．4或－4 解：＝3. ＝0.2. －＝－. ＝＝. (16分)[教材P4练习T2变式]计算： (1)； (2)； (3)－； (4)． 已知1<x<2，化简＋的结果为(　　) A．－1 B．1 C．2x－3 D．3－2x 若＝4－m，则m的取值范围是(　　) A．m≤4 B．m≤－4 C．m≥－4 D．任意实数 对于式子m＋，有以下结论： 甲：当m＝3时，原式＝4； 乙：当m<2时，原式＝3． 下列判断正确的是(　　) A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 [教材P5习题T9变式] (1)已知a为正整数，且也为正整数，则a的最小值为________； (2)已知是整数，则自然数n所有可能的值的和为________． [2025广州期中]化简＋()2的结果是________． 原式＝－3＋20＝. (8分)计算： (1)(－3 )2－(2 )2；(2)－＋(－2)2． (8分)实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简－()2＋． $