精品解析：浙江宁波市北仑区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

浙江省宁波市北仑区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（　） A. a＝﹣2，b＝1 B. a＝3，b＝﹣2 C. a＝0，b＝1 D. a＝2，b＝1 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个命题中是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 实数与数轴上的点是一一对应的 D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 6. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（ ） A. B. C. D. 7. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 10. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. x与x的2倍的和是非正数，用不等式表示为___________ ． 13. 一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ________ ． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为__________． 15. 若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是_______ 16. 如图，在中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和的动点，则的最小值是________________ ． 三．解答题（本大题有8小题，共72分） 17. （1）解不等式：； （2）计算：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上． （1）写出点A，B的坐标：A　 　，B　 　． （2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （3）求△ABC的面积． 19. 如图，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 20. 已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3. (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图像向上平移6个单位长度，求平移后的图像与x轴交点的坐标． 21. 如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE， △DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上 （1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD． （2）若BD=1，CD=3，求AD的长． 22. 乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书·兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 23. 小聪和小慧去某风景区游览，两人在景点古刹处碰面，相约一起去游览景点飞瀑，小聪骑自行车先行出发，小慧乘电动车出发，途径草甸游玩后，再乘电动车去飞瀑，结果两人同时到达飞瀑.图中线段和折线表示小聪、小慧离古刹的路程（米）与小聪的骑行时间（分）的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题： （1）小聪的速度是多少米/分？从古刹到飞瀑的路程是多少米？ （2）当小慧第一次与小聪相遇时，小慧离草甸还有多少米？ （3）在电动车行驶速度不变的条件下，求小慧在草甸游玩的时间. 24. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出∶“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念∶如图(1)中，M是的中点，P是射线上的点，设，若，则称k为勾股比． （1）如图(1)，过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证∶． （2）①如图(2)，当，且时， (填一个恰当的数)． ②如图(1)，当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图(1)、(3)，请用含勾股比k的表达式直接表示与的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市北仑区2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 若成立，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、给两边都减去1，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意； B、给两边都加上x，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意； C、给两边都除以2，不等号的方向不变，故本选项正确，不符合题意； D、给两边都乘以﹣3，不等号的方向要改变，故本选项不正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，注意不等号的方向是解答的关键． 3. 下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（　） A. a＝﹣2，b＝1 B. a＝3，b＝﹣2 C. a＝0，b＝1 D. a＝2，b＝1 【答案】A 【解析】 【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．由此即可解答. 【详解】∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1， ∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例． 故选A． 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加法、减法、除法分别进行进行计算即可得到答案． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 5. 下列四个命题中是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 实数与数轴上的点是一一对应的 D. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义对A进行判断；根据平行线的性质对B进行判断；根据实数与数轴上的点一一对应对C进行判断；根据异面直线对D进行判断． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，所以A选项为假命题； B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以B选项为假命题； C、实数与数轴上的点一一对应，所以C选项为真命题； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以D选项为假命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 6. 已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握第二象限点的符号特点是解题的关键． 根据点在第二象限，列出不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ，解得， 在数轴上表示为，． 故选：B． 7. 根据下列已知条件，不能画出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．已知两边和一边的对角，不能画出唯一的，故该选项符合题意； B．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； C．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； D．可根据画出唯一的，故该选项不符合题意； 故选：A． 8. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 10. 一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（ ） ①对于函数来说，y随x的增大而减小；②函数的图象不经过第一象限；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，根据图象判断增减性，以及的符号，进而判断出所过象限，判断①和②，根据交点坐标判断③，图象法判断④． 【详解】解：由图象可知：对于函数来说，y随x的增大而减小；故①正确； ∴， 由图象可知：当时，， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为， ∴， ∴，故③正确； 由图象可知：当时，； 当时，， ∴， ∴；故④正确； 故选D． 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. x与x的2倍的和是非正数，用不等式表示为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了列一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键． 根据与的2倍的和，则，再利用非正数，即小于等于零，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：． 故答案为：． 13. 一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当时，随的增大而减小． 先根据一次函数的增减性判断出的符号，再求出的取值范围即可． 【详解】解：一次函数中，的值随值的增大而减小， ， ． 故答案为：． 14. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式的解集． 【详解】解：两条直线的交点坐标为（-1，1）， 当x＜-1时， 直线y=ax+4在直线y=kx的下方， 当x＞-1时， 直线y=ax+4在直线y=kx的上方， 故不等式kx＜ax+4的解集为x>-1． 故答案为：x>-1． 【点睛】本题考查了一次函数和一元一次不等式的知识点，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变． 15. 若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式，再根据求不等式组解集的口诀即可得到结果． 【详解】由得 由得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组有5个整数解 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，解答本题的关键是熟练掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 16. 如图，在中，，，，是的平分线，若P、Q分别是和的动点，则的最小值是________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解含有的直角三角形，勾股定理的应用，解决本题的关键是添加辅助线构造直角三角形． 先根据垂线段最短可得是点C到直线的最短距离，再根据特殊角可得，，再根据的长度，即可求解的长度，由此可解． 【详解】解：如图，作，垂足为E，交于P点，过P点作，垂足为Q，如图． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是点C到直线的最短距离， ∴就是的最小值， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共72分） 17. （1）解不等式：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，以及二次根式的化简计算，解决本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法与二次根式的化简． （1）根据一元一次不等式的解法，先移项，再合并同类项求解即可； （2）先化简二次根式，再计算即可． 【详解】解：（1）不等式为， 移项，得， 合并同类项，得； （2） ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上． （1）写出点A，B的坐标：A　 　，B　 　． （2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （3）求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 解：如图，是所求作的三角形， （3）6 【解析】 【分析】（1）根据在坐标系内的位置直接写出的坐标即可； （2）分别确定关于轴的对称点 再顺次连接即可； （3）由长方形的面积减去周围三角形的面积即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据在坐标系内的位置可得： 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 【点睛】本题考查的是坐标与图形，画轴对称图形，坐标系内三角形面积的计算，掌握“画关于轴对称的图形及利用间接的方法求解坐标系内三角形的面积”是解本题的关键. 19. 如图，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理等几何知识，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键； （1）的垂直平分线为，可得，，，可得，根据中，，，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，即，再根据的周长即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 20. 已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3. (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图像向上平移6个单位长度，求平移后的图像与x轴交点的坐标． 【答案】（1）y＝x－4.（2）(－4，0)． 【解析】 【分析】（1）把点（2，-3）代入解析式即可求出k； （2）先得出函数图像向上平移6单位的函数关系式，再令y=0，即可求出与x轴交点的坐标. 【详解】解：(1)将x＝2，y＝－3代入y＝kx－4，得－3＝2k－4.∴k＝. ∴一次函数的表达式为y＝x－4. (2)将y＝x－4的图像向上平移6个单位长度得y＝x＋2. 当y＝0时，x＝－4. ∴平移后的图像与x轴交点的坐标为(－4，0)． 【点睛】此题主要考查一次函数的解析式的求法与在坐标轴方向上的平移. 21. 如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA=CB，CD=CE， △DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上 （1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD． （2）若BD=1，CD=3，求AD的长． 【答案】（1）△ABC和△DCE都是等腰直角三角形 ，， ， △ACE≌△BCD（SAS）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据△ABC和△DCE都是等腰直角三角形可得，，再根据两个角的和可得，从而判断两个三角形全等； （2）根据△ACE≌△BCD，以及角的和可得为直角三角形，根据为等腰直角三角形，可求出DE的长度，再根据勾股定理求出AD的长度即可． 【详解】（1） 略 （2）△ACE≌△BCD 为直角三角形 为等腰直角三角形 △ACE≌△BCD BD=AE=1 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质、判定定理以及勾股定理得运用，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理，熟练运用角和角之间的关系是解题的关键． 22. 乡村全面振兴有序推进．某村开展了主题为“善读书·兴业富民”的读书活动，用书香涵养乡村新貌．为配合活动的开展，村委会决定增加村图书馆的藏书数量，准备购进一批农业类书籍和科技类书籍，其中购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元． （1）求农业类书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若准备用9200元购买农业类书籍和科技类书籍共200本，问至多购买农业类书籍多少本？ 【答案】（1）农业类书籍的单价是50元，科技类书籍的单价是40元 （2）至多购买农业类书籍120本 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，正确理解题意、列出方程组和一元一次不等式是解决本题的关键． （1）设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元，根据：购买4本农业类书籍和5本科技类书籍共需400元，购买2本农业类书籍和3本科技类书籍共需220元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍本，再根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设农业类书籍单价为x元，科技类书籍单价为y元， 根据题意得：， 解得， 答：农业类书籍单价为元，科技类书籍单价为元； 【小问2详解】 解：设购买农业类书籍m本，则购买科技类书籍本， 根据题意得：， ； 解得：， 答：至多购买农业类书籍本． 23. 小聪和小慧去某风景区游览，两人在景点古刹处碰面，相约一起去游览景点飞瀑，小聪骑自行车先行出发，小慧乘电动车出发，途径草甸游玩后，再乘电动车去飞瀑，结果两人同时到达飞瀑.图中线段和折线表示小聪、小慧离古刹的路程（米）与小聪的骑行时间（分）的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题： （1）小聪的速度是多少米/分？从古刹到飞瀑的路程是多少米？ （2）当小慧第一次与小聪相遇时，小慧离草甸还有多少米？ （3）在电动车行驶速度不变的条件下，求小慧在草甸游玩的时间. 【答案】（1）180，9000；（2）小慧与小聪第一次相遇时，离草甸还有1500米；（3）20分钟. 【解析】 【分析】(1)根据路程÷事件=速度,代入即可求出小聪的速度,再利用公式速度×时间求出路程即可. (2)先利用待定系数法解出小慧的速度直线表达式,将x=20代入解出y的值与3000相减即可得到答案. (3)用总时间减去到达草甸的时间和离开草甸到飞瀑的时间即可得到游玩时间. 【详解】（1）米/分. 古刹到飞瀑的路程米 （2）设解得 当， 米 答：小慧与小聪第一次相遇时，离草甸还有1500米。 （3）米 . 答：20分钟. 【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意,通过题意得出有用信息. 24. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出∶“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念∶如图(1)中，M是的中点，P是射线上的点，设，若，则称k为勾股比． （1）如图(1)，过B、C分别作中线的垂线，垂足为E、D．求证∶． （2）①如图(2)，当，且时， (填一个恰当的数)． ②如图(1)，当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图(1)、(3)，请用含勾股比k的表达式直接表示与的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)． 【答案】（1） 证明∶是的中点， ， 于点，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ． （2）①2.5； ②成立，证明∶ 如图(1)，，是的中点， ， ， ， ， ， 由(1)得， ，， 设，， 则，， ， ， ， ， ， ， ． ③锐角三角形：，钝角三角形： 【解析】 【分析】(1)由是的中点，得，而，，即可根据""证明，则； (2)①由，是的中点，得，而，则，由，得，所以，则，结合，即可得到答案；②先证明，再设，，则，，从而得到，结合，则，即可证明，所以①中的结论成立；③分为锐角三角形和钝角三角形，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶①，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为∶． ②略； ③结论∶锐角三角形∶， 钝角三角形∶， 理由如下∶设，则， ∵于E，于D， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中线， ∴， 若是锐角三角形，则， ∴， 若是钝角三角形，则， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，读懂题目信息，在不同的直角三角形中利用勾股定理列式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $