精品解析：云南保山第一中学2025-2026学年上学期期末考试高三年级数学试卷

2025-2026学年上学期期末考试试卷 高三年级 数学 （考试时间：120分钟；满分150分） 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】设集合，，则. 故选：B. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把集合解出来化成最简形式，再利用补集和交集的定义即可得出答案. 【详解】由或，故集合或，所以， 易得集合，故. 故选：B. 3. 已知，则的值为（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理、三角形内角和定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，，即，解得， 因为，所以. 故选：D. 5. 已知z是方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可. 【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根， 所以，即，所以. 故选：B. 6. 已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列通项公式化简可得，再由等比数列求和公式计算即可. 【详解】由题可知， 所以数列的前10项和为. 故选：B. 7. 已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2 B. 21，2 C. 21，4 D. 20，4 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值和方差的性质可得结果. 【详解】因为均值为10，方差为1， 所以的均值为，方差为. 故选：C. 8. 已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简解析式，解三角方程可得前四个正数解，再根据集合有三个元素列不等式求解即可. 【详解】 令，得， 则或， 解得①或②， ①②中，分别取，因为，从小到大排列得， 因为集合恰有3个元素， 所以需满足：，解得：. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（    ） A. 是的极小值点 B. 有两个极值点 C. 的极小值为 D. 在上的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对应求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点、求极值判断ABC；进而求函数在上的最大值判断D. 【详解】由题设， 令，则或，令，则， 所以、上递增，上递减， 故为极大值，为极小值，A、C错误，B正确； 在上，在上递减，在上递增，而， 所以在上的最大值为，D正确. 故选：BD 10. 函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数图像的一条对称轴为直线 C. 函数在区间上是增函数 D. 函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】由辅助角公式及图象关于点对称即可判断A；根据正弦含函数的性质即可判断BC；由函数平移即可判断D． 【详解】对于A，由题得，又图象关于点对称， 所以，即， 由得，，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，， 因为在上单调递增，所以函数在区间上是增函数，故C正确； 对于D，函数的图像向左平移个单位得，，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前8项和为 D. 的前50项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式及等比中项列方程求解判断A，由等差数列求和公式判断B，利用裂项相消法求和判断C，根据通项公式并项求和可判断D. 【详解】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确； 对于B，的前项和为，故B正确； 对于C，因为， 所以的前8项和为，故C错误； 对于D，因为， 所以的前50项和为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个正数，几何平均值为1，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立， 故答案为：2 13. 已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据导函数得到在上的单调性和最值，根据函数有6个零点得到和时分别有4和2个零点，然后列不等式求解即可. 【详解】解：当，， 由可得，由可得， 故可得在单调递减，在单调递增， 故在有最小值为， 又因为当时，， 由函数有6个零点，故可得两段函数分别存在4和2个零点. 若存在四个零点，此时需满足：， 若存在实数，使得函数有6个零点，此时有两种情况： ①：； ②：， 综上：. 故答案为：. 点睛】方法点睛：函数零点个数问题： ①转化为方程的根的个数问题； ②转化为函数图象与轴交点个数问题； ③转化为两个函数图象交点个数问题. 14. 已知函数的图象关于点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得． 【小问1详解】 根据正弦定理， 变为，即， 也即， 所以． 整理，得，即，所以， 所以，则． 【小问2详解】 由，，得． 由余弦定理，得， 则，所以．则． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数为增函数，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）简化函数表达式，计算，求导函数并计算，利用点斜式写出切线方程； （2）求函数的导函数，分析导函数在不同区间的符号，建立不等式求解参数范围； 【小问1详解】 当时，，则， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为 【小问2详解】 ， 因为函数为增函数，所以对所有成立， 当时，，不等式恒成立， 所以，又，所以， 当时，，不等式恒成立， 所以，又，所以， 当，，不等式恒成立，此时， 综上：， 17. 近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 （1）现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. （2）高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【答案】（1） （2）（i），（ii）方案2 【解析】 【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，与方案一比较即可得出答案.. 【小问1详解】 因为抽样比， 所以抽取人，抽取人， 抽取人. 设事件：这4人中至少有2人来自前2组， . 【小问2详解】 ， 所以，，，. 所以 对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则. ， ， . ， 所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 18. 在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，求直线与平面所成角的正弦值取最大值时，的值； （3）求平面MAC与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证，再证平面，即可得出，再利用勾股定理得出，则平面，即可求证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求证平面，再计算最值即可； （3）求出两个平面的法向量，再求夹角即可. 【小问1详解】 平面，平面，平面平面， ， 设，连接， 在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面，， 又由题意知，四边形是等腰梯形，，同理， ，平面，平面， 平面，， 底面ABCD是菱形，， 平面，，∴平面， 平面，∴，则； 菱形的边长为2，，，， ，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴，∴，∴ ， ∵过的平面分别交，于点，∴平面， 平面，∴平面平面； 【小问2详解】 由（1）知平面，且，以为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， ， 由（1）知且平面，∴， 又在等腰梯形中，∴， ∵，平面，∴平面， ∴平面的一个法向量即为，∴， 设，∵， ∴，∴， 设直线与平面所成角为， 则， 当时取最大值，此时； 【小问3详解】 设，，设平面的法向量为， ，令，， 设，，， ，，，，， 又在上，设，即， ，， ，， 设平面的法向量为， ，令，， ， 平面MAC与平面夹角的余弦值 19. 已知函数. （1）若曲线在处切线斜率为0，求实数的值； （2）若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； （3）实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 【答案】（1） （2）. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由易得； （2）［方法一］当时，设，分类讨论得出时，，即，也即，令，求导推得，从而求得的最大值；［方法二］前分析相同，推得当且时，在上恒成立，利用得到恒成立，令，求导得到，再说明时等号成立即得. （3）［方法一］通过函数的零点情况推得，从而将待证不等式等价转化为，即在时恒成立，利用求导即可得证；［方法二］利用有2个不同零点，推得，接着将待证不等式等价转化为，因，转化为，即需证从而得证；［方法三］由，得到，将待证不等式转化为，即需证，即证从而得证. 【小问1详解】 因，则，解得. 【小问2详解】 ［方法一］当时，不等式可化为恒成立， 不妨设，则， 当，即时，则在R上单调递增， 此时当时，，与矛盾，不合题意； 当时，则； 当时，由，解得， 于是当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 故， 即， 由于，故， 于是，令， 则， 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减 所以，， 此时， 因此，当时，的最大值为. ［方法二］依题意，可得恒成立， 设，则， 当时，，则在上单调递增， 又，所以存在，使得，所以不符题意； 当时，要使恒成立，则，所以； 当且时，在上恒成立， 又因， 故可转化为恒成立，即恒成立， 令，则， 但时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当且仅当时取得等号，即当时， 即的最大值为， 即当时，对任意满足恒成立， 所以当时，对任意恒成立， 当且时，， 所以的最大值为. 【小问3详解】 ［方法一］有2个不同零点，则，因， 故函数的零点一定为正数. 由于函数有2个不同零点，， ， 设， 记，易知定义域上单调递增，又， 所以当时，，；当时，， 即在单调递减，单调递增， 故，又由知， 则， 要证，只需， 因且关于的函数在上单调递增， 则 所以只需证， 只需证， 只需证在时恒成立， ，只需证在时为正， 由于，故函数在上单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. ［方法二］ 有2个不同零点， ，由得（其中） 且. 要证，只需证， 即证，只需证 又，所以，即 所以只需证，而， 所以，又，只需证 所以， 原命题得证. ［方法三］ 若， 同法二知有两个零点且 又，故进一步有 由可得且， 从而， 因为，所以，只需证 又因为在区间内单调递增， 故只需证，即， 注意时有，故不等式成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期末考试试卷 高三年级 数学 （考试时间：120分钟；满分150分） 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. 15 B. C. D. 4. 在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知z是方程的一个复数根，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2 B. 21，2 C. 21，4 D. 20，4 8. 已知函数，若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（    ） A. 是的极小值点 B. 有两个极值点 C. 极小值为 D. 在上的最大值为 10. 函数的图象关于点对称，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数图像一条对称轴为直线 C. 函数在区间上是增函数 D. 函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到 11. 已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（ ） A. B. 前项和为 C. 的前8项和为 D. 的前50项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为____________． 13. 已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是________. 14. 已知函数的图象关于点对称，则______． 四、解答题 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数为增函数，求的值； 17. 近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 （1）现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. （2）高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 18. 在四棱台中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点M，N，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，求直线与平面所成角正弦值取最大值时，的值； （3）求平面MAC与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数. （1）若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； （2）若，对，不等式恒成立（a,b均为实数），求的最大值； （3）实数满足对任意的，函数总有两个不同的零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $