专题1：四边形与三角形中位线压轴题专题突破(四边形最小值与中位线)讲义2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

该初中数学讲义通过框架式梳理构建四边形与三角形中位线知识体系，以多边形、平行四边形、特殊四边形（矩形、菱形、正方形）、中位线与重心为核心模块，用表格呈现常考题型及解题方法，清晰呈现内角和公式、图形性质判定等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于压轴题专项突破设计，20道选择、16道填空及10道解答题聚焦最小值问题（如菱形中动线段GH最小值）、中位线应用（如四边形中EF长度计算），培养几何直观与推理能力。分层练习兼顾基础巩固与能力提升，助力学生掌握转化、建模等思想，为教师实施精准教学提供系统资源。

专题1：第23章四边形与三角形中位线 压轴题专题突破 (四边形最小值与中位线应用) 本节课主要针对第23章四边形解答题专题复习。在本节课中，我们梳理了多边形、平行四边形、矩形、菱形、三角形、中位线和重心常考压轴题、解答解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们冲刺高分。 知识点一 多边形概念 1.多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。 2.分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3） 3.内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180° 对角线条数：n边形(n≥3)的对角线条数=n(n-3)÷2 4.外角和定理：任意多边形的外角和 = 360° 常考题型及解题方法 题型分类 典型例题 解题思路 求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440° 已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14 正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72° 内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14 知识点二 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形 2.性质：对边相等且平行；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形 3.判定方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分 知识点三 矩形、菱形、正方形 1.矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形 性质：四个角都是直角；对角线相等 判定：①有一个直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形 2.菱形 定义：一组邻边相等的平行四边形 性质：四条边相等；对角线互相垂直；面积=×对角线乘积 判定：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形 3.正方形 定义：既是矩形又是菱形的四边形 性质：具有矩形和菱形的所有性质 注意：易混淆点 1. 对角线相等的四边形不一定是矩形（可能是等腰梯形） 2. 对角线垂直的四边形不一定是菱形 3. 正方形具有矩形和菱形的所有性质 知识点四 三角形中位线与重心 1.中位线定理：中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半 2.重心：三条中线的交点；重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍；重心将三角形面积三等分 一．选择题（共20小题） 1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．22 B．24 C．25 D．26 5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论： ①PDEC； ②四边形PECF的周长为4； ③△APD一定是等腰三角形； ④AP＝EF；⑤EF的最小值为． 其中正确结论的序号为（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 6．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°等到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A． B．1.5 C．2 D．6 7．如图边长为5的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝2，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为（　　） A． B．5 C． D． 8．如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（　　） A．41 B．4 C．4 D．3 9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 10．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（　　） A．3 B．3.6 C．3.75 D．4 11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　） A．8 B．4 C．4 D．4 12．如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（　　） A．4 B． C．5 D． 13．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D． 14．如图，点E是等边三角形ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　） A．2 B． C． D．4 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 16．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE，AB＝4，则AC的值为（　　） A．6 B． C．7 D．8 17．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　） A． B．5 C． D．10 18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点C作CD⊥AD，AD交BC于点G，DE∥AB交AC于点E，作∠BCA的平分线CF交AD于点P，交AB于点F，若∠B＝60°，下列结论：①∠PCD＝30°；②∠AFC+∠DCG＝90°；③BG＝AE；④AC＝AF+CG；⑤S△APF+S△CPG＝S△APC．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．如图，在正△ABC中，BD＝4，CE＝2，连结DE，若M、N分别为线段DE、BC的中点，则线段MN的长度等于（　　） A． B． C． D．3 20．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（，），C（，）．任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（　　） A． B． C． D．1 二．填空题（共16小题） 21．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　 　 ． 22．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长度的最小值为 　 　 ． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 　 　 ． 24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　 　 ． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 　 　 ． 26．如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时， ①∠BDC＝　 　 ； ②AD的最小值是 　 　 ． 27．如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为 　 　 ． 28．如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是 　 　 ． 29．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 　 　 ． 30．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 　 　 ． 31．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　 　 ． 32．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为 　 　 ． 33．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2、B2、C2分别是边B1C1、A1C1、A1B1的中点；点A3、B3、C3分别是边B2C2、A2C2、A2B2的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是 　 　 ． 34．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　 　 ． 35．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且2CN＜BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝　 　 ． 36．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2，0），连接AB、点M，N分别是OA，AB的中点，点P是射线MN上一动点．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是　 　 ． 三．解答题（共10小题） 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC． （1）求证：四边形CEDF是矩形； （2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值． 38．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由． 39．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20． （1）求证：BD＝DE； （2）求DM的长． 40．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．点O是△ABC内的动点，点G，F分别是OB，OC的中点． （1）求证：四边形DGFE是平行四边形； （2）若四边形DGFE是正方形，请直接给出OA应满足的条件是　 　 ． 41．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连接M、N、P． （1）求证：MN＝PN． （2）∠MNP的大小是　 　 度． 42．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠PFE的度数． 43．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N． 求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度． 44．（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有　 　 ． （2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝50°，∠BCD＝40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB＝4，CD＝6，求EF的长． 45．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 46．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点． （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）当AC、BD满足　 　 时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足　 　 时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足　 　 时，四边形EFGH为正方形． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1：第23章四边形与三角形中位线 压轴题专题突破 (四边形最小值与中位线应用) 本节课主要针对第23章四边形解答题专题复习。在本节课中，我们梳理了多边形、平行四边形、矩形、菱形、三角形、中位线和重心常考压轴题、解答解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们冲刺高分。 知识点一 多边形概念 1.多边形定义：由不在同一直线上的三条或三条以上线段首尾顺次连接而成的封闭图形。 2.分类：三角形、四边形、五边形……n边形（n≥3） 3.内角和定理：n边形的内角和 = (n-2)×180° 对角线条数：n边形(n≥3)的对角线条数=n(n-3)÷2 4.外角和定理：任意多边形的外角和 = 360° 常考题型及解题方法 题型分类 典型例题 解题思路 求内角和 十边形的内角和是多少？ 直接代入公式：(10-2)×180° = 1440° 已知内角和求边数 一个多边形的内角和是2160°，求边数 设边数为n，(n-2)×180=2160，解得n=14 正多边形角度计算 正五边形的每个外角是多少？ 外角和÷边数=360°÷5=72° 内外角关系 一个多边形的内角和是外角和的6倍，求边数 (n-2)×180=6×360，解得n=14 知识点二 平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形 2.性质：对边相等且平行；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形 3.判定方法：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分 知识点三 矩形、菱形、正方形 1.矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形 性质：四个角都是直角；对角线相等 判定：①有一个直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形 2.菱形 定义：一组邻边相等的平行四边形 性质：四条边相等；对角线互相垂直；面积=×对角线乘积 判定：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形 3.正方形 定义：既是矩形又是菱形的四边形 性质：具有矩形和菱形的所有性质 注意：易混淆点 1. 对角线相等的四边形不一定是矩形（可能是等腰梯形） 2. 对角线垂直的四边形不一定是菱形 3. 正方形具有矩形和菱形的所有性质 知识点四 三角形中位线与重心 1.中位线定理：中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半 2.重心：三条中线的交点；重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍；重心将三角形面积三等分 一．选择题（共20小题） 1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．版权所有 【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知，求出AF的最小值即可解决问题． 【解答】解：连接AF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴， ∵G，H分别为AE，EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴， 当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值， 则∠AFB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即GH的最小值为， 故选：D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 【考点】平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离．版权所有 【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解． 【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小． ∵OD⊥BC，BC⊥AB， ∴OD∥AB， ∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5， ∴AB3， 又∵OC＝OA， ∴CD＝DB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴ODAB＝1.5， ∴DE＝2OD＝3． 故选：A． 3．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】旋转的性质；正方形的性质；轴对称的性质．版权所有 【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值． 【解答】解：如图所示：连接AM． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC． ∵点D与点M关于AE对称， ∴AM＝AD＝1． ∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上． 如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值． ∴CM的最小值＝AC﹣AM′1， 故选：B． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（　　） A．22 B．24 C．25 D．26 【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．版权所有 【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE、CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10， ∵AP＝CQ， ∴AD﹣AP＝BC﹣CQ， ∴DP＝QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB＝DQ， 则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE＝AB＝12，连接PE， 则BE＝2AB＝24， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB＝PE， ∴PC+PB＝PC+PE， 连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE， ∴CE26， ∴PC+PB的最小值为26， 即PC+QD的最小值为26， 故选：D． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论： ①PDEC； ②四边形PECF的周长为4； ③△APD一定是等腰三角形； ④AP＝EF；⑤EF的最小值为． 其中正确结论的序号为（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【考点】正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．版权所有 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DPEC； ②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为4； ③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形； ④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF； ⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于． 【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBC＝45°，∠BCD＝90°， ∵PF⊥CD， ∴∠PFD＝90°， ∴∠BCD＝∠PFD， ∴PF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC＝DF， 在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2， ∴DPEC． 故①正确； ②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝4， 故②正确； ③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°， ∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形， 除此之外，△APD不是等腰三角形， 故③错误； ④连接PC， ∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， 由正方形为轴对称图形， ∴AP＝PC， ∴AP＝EF， 故④正确； ⑤由EF＝PC＝AP， ∴当AP最小时，EF最小， 则当AP⊥BD时，即APBD2时，EF的最小值等于， 故⑤正确； 故选：B． 6．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°等到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A． B．1.5 C．2 D．6 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权所有 【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD＝CG以及∠FCD＝∠ECG，由旋转的性质可得出EC＝FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF＝GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解． 【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示． ∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴， ∴CD＝CGAB＝3，∠ACD＝60°， ∵∠ECF＝60°， ∴∠FCD＝∠ECG． 在△FCD和△ECG中， ， ∴△FCD≌△ECG（SAS）， ∴DF＝GE． 当EG⊥AD时，EG最短，即DF最短． ∵点G为AC的中点， ∴此时EG＝DFCD＝1.5． 故选：B． 7．如图边长为5的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE＝2，F为边AB上一动点，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接DG，则DG的最小值为（　　） A． B．5 C． D． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权所有 【分析】根据AAS证△AEF≌△MFG，设AF＝x，则NG＝x+2，DN＝5﹣x，根据勾股定理得出DG的表达式，求最小值即可． 【解答】解：过点G作GM⊥AB于M，作GN⊥AD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°， ∵GM⊥AB，GN⊥AD， ∴∠FMG＝∠DNG＝90°， ∴四边形AMGN是矩形， ∴MG＝AN，AM＝NG，∠A＝∠FMG， ∵线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段FG， ∴EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFA+∠GFM＝90°， ∵∠GFM+∠FGM＝90°， ∴∠EFA＝∠FGM， 在△AEF和△MFC中， ， ∴△AEF≌△MFG（AAS）， ∴AE＝MF，AF＝MG， ∵AE＝2， ∴MF＝2， 设AF＝x（0≤x≤5）， 则MG＝x，AM＝x+2，AN＝MG＝x， ∴NG＝x+2， ∵AB＝5， ∴DN＝5﹣x， ∴DG， ∴当x时，DG的最小值为， 故选：A． 8．如图，已知，在正方形ABCD中，AB＝4，以点B为圆心，1为半径作⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'．在点P移动过程中，BP'长度的最小值是（　　） A．41 B．4 C．4 D．3 【考点】旋转的性质；正方形的性质．版权所有 【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△PAB≌△P′AD，则P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长． 【解答】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小， 连接BP， 由旋转得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°， ∴∠PAB+∠BAP′＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BAP′+∠DAP′＝90°， ∴∠PAB＝∠DAP′， ∴△PAB≌△P′AD（SAS）， ∴P′D＝PB＝1， 在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4， 由勾股定理得：BD4， ∴BP′＝BD﹣P′D＝41， 即BP′长度的最小值为（41）． 故选：A． 9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在AD边上自A至D运动，点N在BA边上自B至A运动，M，N速度相同，当N运动至A时，运动停止，连接CN，BM交于点P，则AP的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【考点】正方形的性质．版权所有 【分析】先确定点P的运动轨迹为以BC为直径的一段弧，再求AP的最小值即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠BCN+∠BNC＝90°， 又BN＝AM， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴∠ABM＝∠BCN， ∴∠ABM+∠BNC＝90°， ∴∠BPC＝∠BPN＝90°， ∴点P的运动轨迹为以BC为直径的一段弧，如图所示， 连接AO1交弧于点P，此时，AP的值最小， 在Rt△ABO1中，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 10．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（　　） A．3 B．3.6 C．3.75 D．4 【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理．版权所有 【分析】证四边形BMPN是矩形，得BP＝MN，由勾股定理求出AC＝15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP的最小值，即可解决问题． 【解答】解：连接BP，如图所示： ∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N， ∴四边形BMPN是矩形，AC15， ∴BP＝MN，BP与MN互相平分， ∵点O是MN的中点， ∴BOMN， 当BP⊥AC时，BP最小7.2， ∴MN＝7.2， ∴BOMN＝3.6， 故选：B． 11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为（　　） A．8 B．4 C．4 D．4 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE＝AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可． 【解答】解：连接AE，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°． 又BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴AE＝BF． 所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，如图2， 连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点． 根据对称性可知AE＝HE， 所以AE+DE＝DH． 在Rt△ADH中，AH＝AB+BH＝4+4＝8， ∴DH4， ∴BF+DE最小值为4． 故选：D． 12．如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（　　） A．4 B． C．5 D． 【考点】菱形的性质．版权所有 【分析】由垂线段最短，可得AE⊥BC时，AE有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解． 【解答】解：∵点E是BC边上的一动点， ∴AE⊥BC时，AE有最小值， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝COAC＝3，BO＝DOBD＝4， ∴BC5， ∵S菱形ABCDAC×BD＝BC×AE， ∴AE， 故AE长的最小值为， 故选：B． 13．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【考点】正方形的性质．版权所有 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【解答】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形， ∴EF＝OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时候OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OPBC， ∵AC＝2， 则BC＝2， ∴OP＝1， ∴EF的长的最小值为1． 故选：B． 14．如图，点E是等边三角形ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　） A．2 B． C． D．4 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权所有 【分析】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN， ∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点， ∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC， ∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BEAE， ∴∠BED＝∠CEF， 在△BDE和△NFE中， ， ∴△BDE≌△NFE（SAS）， ∴∠N＝∠CBE＝30°， ∴点F在与AN成30°的直线上运动， ∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值， ∴AF'AN， ∴1（AEAE）， ∴AE＝2， ∴AC＝4， 故选：D． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF＝1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权所有 【分析】过点G作GH⊥BC，垂足为H，可得∠GHF＝90°，根据正方形的性质可得AB＝CD＝4，∠B＝90°，根据旋转的性质可得EF＝FG，∠EFG＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠BEF＝∠GFH，从而可证△EBF≌△FHG，进而可得BF＝GH＝1，最后可得点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上，从而可得当点G在CD边上时，DG的值最小，进行计算即可解答． 【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∴∠GHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝90°， ∴∠B＝∠GHF＝90°， 由旋转得： EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GFH＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GFH， ∴△EBF≌△FHG（AAS）， ∴BF＝GH＝1， ∴点G在与BC平行且与BC的距离为1的直线上， ∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝4﹣1＝3， ∴DG的最小值为3， 故选：C． 16．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE，AB＝4，则AC的值为（　　） A．6 B． C．7 D．8 【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】延长BD交AC于F，可证得△ABD≌△AFD，从而AF＝AB＝4，可证得DE是△BCF的中位线，从而得出CF的值，进一步可得出结果． 【解答】解：如图， 延长BD，交AC于F， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°， 在△ABD和△AFD中， ， ∴△ABD≌△AFD（ASA）， ∴BD＝DF，AF＝AB＝4， ∵BE＝CE， ∴CF＝2DE＝3， ∴AC＝AF+CF＝4+3＝7， 故答案为：C． 17．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（　　） A． B．5 C． D．10 【考点】三角形中位线定理．版权所有 【分析】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG， ∵E、F分别是边AD、CB的中点， ∴EG∥BD且EGBD8＝4， FG∥AC且FGAC6＝3， ∵AC⊥BD， ∴EG⊥FG， ∴EF5． 故选：B． 18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点C作CD⊥AD，AD交BC于点G，DE∥AB交AC于点E，作∠BCA的平分线CF交AD于点P，交AB于点F，若∠B＝60°，下列结论：①∠PCD＝30°；②∠AFC+∠DCG＝90°；③BG＝AE；④AC＝AF+CG；⑤S△APF+S△CPG＝S△APC．其中正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】三角形中位线定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】延长CD交AB的延长线于H，证明△ACH为等腰三角形，得出CD＝DH，由DE∥AH得出AE＝CE，由平行线的性质和角平分线证出AE＝DE，连接HP，HG，由AD垂直平分CH得到HG＝CG，HP＝CP，AH＝AC，∠FPH＝∠CBF，CP＝HP，利用等角对等角且外角的性质，证出∠CBF＝2∠PCD＝60°，①正确；证明∠CGD＝∠AFC，可得②正确；求出∠CPD与∠HPD的度数，证明△HFP≌△HGP，得到HF＝GH＝CG，FP＝GP，④正确；得出CG+AF＝HF+AF＝AH＝AC，由三角形面积公式得出⑤正确；即可得出结论． 【解答】解：方法一：延长CD交AB的延长线于H，连接HP、HG， ∵AD⊥CH， ∴∠ADC＝∠ADH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠HAD＝∠CAD， ∴∠AHC＝∠ACH， ∴AH＝AC， ∴△ACH为等腰三角形， ∴CD＝CH， ∵DE∥AB， ∴AE＝CE，∠ADE＝∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴AE＝DE＝CE， ∵CD⊥AD，CD＝CH， ∴AD为HC的垂直平分线， ∴∠AHP＝∠ACP，PC＝PH， ∵∠BCA的平分线CF交AD于点P， ∴∠ACP＝∠BCF， ∴∠AHP＝∠BCF， ∵∠CFH为公共角， ∴∠FPH＝∠CBF， ∵PC＝PH， ∴∠FPH＝∠PCD+∠PHD＝2∠PCD， ∴∠CBF＝2∠PCD＝60°， ∴∠PCD＝30°，故①正确， 方法二：∵AD平分∠BAC，CF平分∠BCA， ∴∠APC＝90°∠ABC＝90°+30°＝120°， ∴∠CPD＝60°， ∵CD⊥AD， ∴∠PCD＝30°，故①正确， ∵∠CGD＝∠GCP+∠CPG＝∠GCP+60°，∠AFC＝∠GCP+∠FBC＝∠GCP+60°， ∴∠AFC＝∠CGD， ∵∠CGD+∠GCD＝90°， ∴∠AFC+∠GCD＝90°，故②正确， ∵AE＝DE＝ECAH，无法判断BGAH，故③错误， ∵∠PCD＝30°＝∠PHD， ∵CF为∠ACB的平分线， ∴HP为∠FHG的平分线， 在△HFP和△HGP中， ， ∴△HFP≌△HGP（ASA）， ∴HG＝HF＝CG，FP＝GP， ∴AF+CG＝AF+HF＝AH＝AC，故④正确． 作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PQ⊥BC于Q， ∴PM＝PN＝PQ， ∵S△APFAF×PM，S△CPGCG×PQ，S△APCAC×PN， ∴S△APF+S△CPG＝S△APC，故⑤正确． 故选：C． 19．如图，在正△ABC中，BD＝4，CE＝2，连结DE，若M、N分别为线段DE、BC的中点，则线段MN的长度等于（　　） A． B． C． D．3 【考点】三角形中位线定理；等边三角形的性质．版权所有 【分析】连接DN并延长到F，使NF＝DN，连接EF，证明△BND≌△CNF，可得∠NCF＝∠B＝60°，CF＝BD＝4，过点E作EG⊥FC于点G，根据含30度角的直角三角形可得CG和EG的长，再利用勾股定理可得EF的长，然后根据三角形中位线定理可得MN的长． 【解答】解：如图，连接DN并延长到F，使NF＝DN，连接EF， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°， ∵N为线段BC的中点， ∴BN＝CN， 在△BND和△CNF中， ， ∴△BND≌△CNF（SAS）， ∴∠NCF＝∠B＝60°，CF＝BD＝4， ∴∠ECF＝120°， ∴∠ECG＝60°， 过点E作EG⊥FC于点G， ∴∠CEG＝30° ∵CE＝2， ∴CG＝1， ∴EG， ∴FG＝CF+CG＝4+1＝5， ∴EF2， ∵M、N分别为线段DE、BC的中点， ∴MNEF． 故选：B． 20．在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为B（，），C（，）．任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2．作∠BAC的内角平分线AE，过点B作AE的垂线交AE于点F，已知当点A在平面内运动时，点F与坐标原点O的距离为（　　） A． B． C． D．1 【考点】三角形中位线定理；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】本题给出了角平分线，给出了两条线段的定值差，因此可通过构建等腰三角形作出这个等值差进行求解． 【解答】解：如图：过C作CD⊥AF，垂足为M，交AB于D， ∵AF平分∠BAC，且AM是DC边上的高， ∴△DAC是等腰三角形， ∴AD＝AC， ∴BD＝AB﹣AC＝2， 即BD长为定值， 过M作MN∥BD于N， 则四边形MNBD是个平行四边形， ∴MN＝BD， ∵MN∥BD，DM＝MC， ∴MN平分线段BC， ∴MN与BC交于O， ∵∠MCO＝∠NBO，∠MOC＝∠NOB，OC＝OB， ∴△MOC≌△NOB（ASA）， ∴OM＝ON， 在△MNF中，无论F怎么变化，有两个条件不变： ①MN的长为定值，②∠MFN＝90°， 因此如果作△MNF的外接圆，那么F点总在以MN为直径的圆上运动，因此F点的运动轨迹应该是个圆． ∴圆的直径为MN，且MN＝BD，BD＝AB﹣AC＝2， ∴OFMN． 故选：B． 二．填空题（共16小题） 21．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为AC边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则DE的最小值为 　9.6　 ． 【考点】平行四边形的判定；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，作BH⊥AC于H，连接AM，由勾股定理．三角形的面积公式求出BH的长，即可解决问题． 【解答】解：当DE是平行四边形BDCE的对角线，且DE⊥AC时，DE的长最小，BC和DE交于M，作BH⊥AC于H，连接AM， 在平行四边形BDCE中，MB＝CM，BE∥AC， ∴MBBC＝6， ∴AM8， ∵△ABC的面积AC•BHBC•AM， ∴10BH＝12×8， ∴BH＝9.6， ∵四边形BEDH是矩形， ∴DE＝BH＝9.6． ∴DE长的最小值是9.6． 故答案为：9.6． 22．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长度的最小值为 　　 ． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．版权所有 【分析】连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS证明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再证明△DGC≌DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的长，再利用三角形的三边关系即可得到答案． 【解答】解：连接DG，将DG绕点D逆时针旋转90°得DM，连接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，如图， ∵∠EDF＝∠EDG+∠GDF＝90°，∠GDM＝∠GDF+∠FDM＝90°， ∴∠EDG＝∠FDM， 在△EDG和△FDM中， ， ∴△EDG≌△FDM（SAS）， ∴MF＝EG＝2， ∵MH⊥CD， ∴∠HDM+∠DMH＝90°， ∵∠GDC+∠HDM＝90°， ∴∠GDC＝∠DMH， 在△DGC和△MDH中， ， ∴△DGC≌MDH（AAS）， ∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4， ∴， ∵CF≥CM﹣MF， ∴CF的最小值为：， 故答案为：． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 　　 ． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H．利用全等三角形的性质证明∠AFQ＝90°，推出∠AEF＝60°，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结论． 【解答】解：如图，以AB为边向右作等边△ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DH⊥QE于H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP＝∠BAD＝90°， ∵△ABF，△APQ都是等边三角形， ∴∠BAF＝∠PAQ＝60°，BA＝FA，PA＝QA， ∴∠BAP＝∠FAQ， 在△BAP和△FAQ中， ， ∴△BAP≌△FAQ（SAS）， ∴∠ABP＝∠AFQ＝90°， ∵∠FAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°， 又∵AB＝AF＝3， ∴AFEF，AE＝2EF， ∴EF，AE＝2， ∴点Q在射线FE上运动， ∵AD＝BC＝3， ∴DE＝AD﹣AE， ∵DH⊥EF，∠DEH＝∠AEF＝60°， ∴EHDE，DHEH， 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为， 故答案为：． 24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为 　　 ． 【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．版权所有 【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【解答】解：连接AD， ∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12， ∴， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积， ∴， ∴MN的最小值为； 故答案为：． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝6，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 　　 ． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值． 【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ． 由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120° 的等腰三角形， 可得，∠QBC＝∠PBD＝30°， ∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD， ∴∠PBQ＝∠DBC， ∴△PBQ∽△DBC， ∴， ∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小， 如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值， 可得AK⊥BC， ∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6， ∴BK＝3，∠QBK＝30°， ∴QK， ∵AB＝AC＝3，KC＝3， ∴AK6， ∴AQ＝AK﹣QK＝5， ∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK， ∴△AQP'∽△ACK， ∴， ∴， ∴QP'， ∴CDP′． 26．如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时， ①∠BDC＝　60°　 ； ②AD的最小值是 　5　 ． 【考点】旋转的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权所有 【分析】以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE，判定△ABD≌△CBE，即可得出CE＝AD，再根据C，D，E三点共线时，CE有最小值，即可得到AD的最小值为5，此时∠BDC＝60°． 【解答】解：如图所示，以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE， ∵△BDE，△ABC均为等边三角形， ∴BE＝BD，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴CE＝AD， ∵BE＝BD＝DE＝8，CD＝3， ∴当C，D，E三点共线时，CE有最小值， ∴CE＝DE﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AD的最小值为5，此时∠BDC＝60°． 故答案为：①60°；②5． 27．如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为 　2　 ． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．版权所有 【分析】本题关键搞清M的运动轨迹，有DE＝FG，BG＞AF，可知∠FMD＝90°，所以M到FD的中点H的距离始终相等，在根据三角形三边的关系可得CM的范围，从而确定它的最小值． 【解答】解：取FD的中点H，作FK垂直BC于点K， ∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°， ∴△AED≌△KFG（HL）， ∴∠ADE＝∠KFG， 又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°， ∴∠DFM+∠ADE＝90°， ∴∠FMD＝90°， ∴MH2， 所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动， ∵MC≥CH﹣MH 当M落在CH上时，取到等号 即MC达到最小，最小值为CH﹣M′H2． 28．如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是 　4+2　 ． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．版权所有 【分析】证明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出CD＝BE，由旋转的性质得出AD＝AE，∠DAE＝60°，证明△ADE是等边三角形，则得出DE＝AD，当AD⊥BC时，DE最小，即△BED的周长有最小值，由直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠DAE＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD， 又∵AD＝AE， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴CD＝BE， ∴△BED的周长＝BE+BD+ED＝CD+BD+ED＝BC+DE， ∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD， 当AD⊥BC时，DE最小，即△BED的周长有最小值， ∵AD⊥BC，BC＝4， ∴BD＝CD＝2， ∴AD2， ∴△BED的周长最小值是BC+DE＝4+2， 故答案为：4+2． 29．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 　5　 ． 【考点】正方形的性质；旋转的性质；勾股定理．版权所有 【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得，即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQQD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可． 【解答】解：如图，连接AC、AQ， ∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ， ∴∠ACB＝∠PCQ＝45°， ∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB，cos∠PCQ， ∴△BCP∽△ACQ， ∴， ∵BP， ∴AQ＝2， ∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上， 在AD上取AE＝1， ∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ， ∴，即EQQD， ∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE， 连接CE， ∴CE5， ∴DQ+CQ的最小值为5． 故答案为：5． 30．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是 　4　 ． 【考点】矩形的性质；垂线段最短；三角形中位线定理．版权所有 【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH∥CE，由三角形中位线定理可得PH∥EC，可得点P在AH上，当BP⊥AH时，BP有最小值，即可求解． 【解答】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD∥AB， ∵点E是AB中点，点H是CD中点， ∴CH＝AE＝DH＝BE＝4， ∴四边形AECH是平行四边形， ∴AH∥CE， ∵点P是DF的中点，点H是CD的中点， ∴PH∥EC， ∴点P在AH上， ∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值， ∵AD＝DH＝CH＝BC＝4， ∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝4， ∴∠AHB＝90°， ∴BP的最小值为4， 故答案为4． 31．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 　　 ． 【考点】三角形中位线定理．版权所有 【分析】当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积求出CM，再求出答案即可． 【解答】解：连接CM， ∵点D、E分别为CN，MN的中点， ∴DECM， 当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小， 由勾股定理得：AB10， ∵S△ABC， ∴CM， ∴DE， 故答案为：． 32．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为 　　 ． 【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】根据三角形中位线定理得到A1B1AB，A1C1AC，B1C1BC，总结规律，根据规律解答即可 【解答】解：∵A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点， ∴A1B1AB，A1C1AC，B1C1BC， ∴△A1B1C1的周长△ABC的周长21， …… ∴△A2022B2022C2022的周长21， 故答案为：． 33．如图，△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点A2、B2、C2分别是边B1C1、A1C1、A1B1的中点；点A3、B3、C3分别是边B2C2、A2C2、A2B2的中点；…；以此类推，则第2022个三角形的周长是 　　 ． 【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．版权所有 【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推，利用规律可求出△A2022B2022C2022的周长． 【解答】解：∵△A1B1C1中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7， ∴△A1B1C1的周长是16， ∵A2，B2，C2分别是边B1C1，A1C1，A1B1的中点， ∴B2C2，A2C2，A2B2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半， ∴△A2B2C2的周长是16＝8， 同理，△A3B3C3的周长是1616＝4， …， 以此类推，△AnBn∁n的周长是16， ∴△A2022B2022C2022的周长是． 故答案为：． 34．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，则MN的长度为　　 ． 【考点】三角形中位线定理．版权所有 【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ． ∴△BNA≌△BNE（ASA）， ∴BA＝BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD＝AB+AC＝19﹣BC＝19﹣7＝12， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝5， ∴MNDE． 故答案为：． 35．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且2CN＜BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝　或　 ． 【考点】三角形中位线定理；勾股定理．版权所有 【分析】取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．分三种情形：①如图1中，当点C′落在MH上时；②如图2中，当点C′落在GH上时；③如图3中，当点C′落在直线GM上时，分别求解即可解决问题． 【解答】解：在△ABC中，BC＝12，AC＝l6，∠C＝90°，则由勾股定理知AB20． 取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG． 如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x， 由题意可知：MC＝MC′＝8，MH＝10，HC′＝2，HN＝6﹣x， 在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2， ∴（6﹣x）2＝x2+22， 解得x． 如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x， 在Rt△GMC′中，MG＝CH＝6，MC＝MC′＝8， ∴GC′＝2， ∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°， ∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°， ∴∠HNC'＝∠CGC'M， ∴△HNC′∽△GC′M， ∴， ∴， ∴x． 如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝4． ∴C'M＞GM， 此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意． 综上所述，满足条件的线段CN的长为或． 故答案为：或． 36．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2，0），连接AB、点M，N分别是OA，AB的中点，点P是射线MN上一动点．若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是　（1，2）或（6，2）　 ． 【考点】三角形中位线定理；坐标与图形性质；勾股定理．版权所有 【分析】根据勾股定理得到AB＝2，根据三角形中位线的性质得到AM＝OM＝2，MN＝1，AN＝BN，①当∠APB＝90°时，根据直角三角形的性质得到PN＝AN，于是得到P（ 1，2），②当∠ABP＝90°时，如图，过P作PC⊥x轴于C，根据相似三角形的性质得到BP＝AB＝2 ，得到PM＝6，求得P（6，2）． 【解答】解：∵点A（0，4），点B（2，0）， ∴AB＝2 ， ∵点M，N分别是OA，OB的中点， ∴MN∥AB，MNOB＝1，OM＝2， ∴点P的纵坐标为2， ∵△ABP是直角三角形， ∴∠APB＝90°或∠ABP＝90°， ①如图，当∠APB＝90°时，则PNAB， ∴PM＝1， ∴P（1，2）， ②如图，当∠ABP＝90°时，过点P作PC⊥x轴于C，则四边形MOCP是矩形， 过P作PC⊥x轴于C，则△ABO∽△BPC， ∴1， ∴BP＝AB＝2 ， ∴PC＝OB＝2， ∴BC＝4， ∴PM＝OC＝2+4＝6， ∴P（6，2）， 综上可得点P的坐标为（1，2）或（6，2）． 故答案为：（1，2）或（6，2）． 三．解答题（共10小题） 37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，E、F分别在直角边CA、BC上，且DE⊥AC，DF∥AC． （1）求证：四边形CEDF是矩形； （2）连接EF，若C到AB的距离是5，求EF的最小值． 【考点】矩形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）由三个角是直角的四边形是矩形可证四边形CEDF是矩形； （2）连接CD，由矩形的性质可得CD＝EF，当CD⊥AB时，CD有最小值，即EF有最小值，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵DF∥AC，∠C＝90°， ∴∠DFB＝∠C＝90°， ∴∠DFC＝90°＝∠C， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝90°＝∠DFC＝∠C， ∴四边形CEDF是矩形； （2）解：连接CD，如图所示： 由（1）可知，四边形CEDF是矩形， ∴CD＝EF， ∴当CD有最小值时，EF的值最小， ∵当CD⊥AB时，CD有最小值， ∴CD⊥AB时，EF有最小值， ∵C到AB的距离是5，即点C到AB的垂直距离为5， ∴CD的最小值为5， ∴EF的最小值为5． 38．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由． 【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定．版权所有 【分析】易得PM是△BCD的中位线，那么PM等于BC的一半，同理可得PN为AD的一半，根据AD＝BC，那么可得PM＝PN，那么△PMN是等腰三角形． 【解答】解：△PMN是等腰三角形． 理由如下： ∵点P是BD的中点，点M是CD的中点， ∴PMBC， 同理：PNAD， ∵AD＝BC， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形． 39．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20． （1）求证：BD＝DE； （2）求DM的长． 【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】（1）根据条件可证明△ADB≌△ADE，从而可得BD＝DE； （2）由（1）可知：EC＝AC﹣AB＝8，然后根据中位线即可求出DM． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAE． ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°． 在△ADB与△ADE中， ∴△ADB≌△ADE， ∴BD＝DE． （2）∵△ADB≌△ADE， ∴AE＝AB＝12， ∴EC＝AC﹣AE＝8． ∵M是BC的中点，BD＝DE， ∴DMEC＝4． 40．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．点O是△ABC内的动点，点G，F分别是OB，OC的中点． （1）求证：四边形DGFE是平行四边形； （2）若四边形DGFE是正方形，请直接给出OA应满足的条件是AO＝BC，AO⊥BC ． 【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定；正方形的性质．版权所有 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DEBC，GF∥BC且GFBC，从而得到DE∥GF且DE＝GF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，DG∥AO，DGAO，然后求出DG⊥GF，DG＝GF，再根据邻边垂直且相等的平行四边形是正方形解答． 【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且DEBC， ∵G、F是OB、OC的中点， ∴GF∥BC且GFBC， ∴DE∥GF且DE＝GF， ∴四边形DGFE是平行四边形； （2）解：AO＝BC，AO⊥BC时四边形DGFE是正方形， 理由如下： ∵D、G分别是AB、OB的中点， ∴DG∥AO，DGAO， 又∵AO＝BC，AO⊥BC， ∴DG⊥GF，DG＝GF， ∴四边形DGFE正方形， 故答案为：AO＝BC，AO⊥BC． 41．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接BE．M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连接M、N、P． （1）求证：MN＝PN． （2）∠MNP的大小是　120　 度． 【考点】三角形中位线定理；等边三角形的性质．版权所有 【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形中位线定理解答即可； （2）根据角的关系得出角的度数即可． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠ABC＝∠ADE＝60°，∠ACB＝∠AED＝60°． ∴∠ADE＝∠AED＝60°． ∴△ADE是等边三角形． ∴AD＝AE． ∴BD＝CE． ∵M、N分别为DE、BE的中点， ∴MNBD． ∵N、P分别为BE、BC的中点， ∴NPCE． ∴MN＝PN． （2）∵MN∥BD， ∴∠MNE＝∠ABE， ∵∠ENP＝∠NBP+∠NPB， ∵PN∥EC， ∴∠NPB＝∠C＝60° ∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠EBC+∠NPB＝60°+60°＝120°， 故答案为：120． 42．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，求∠PFE的度数． 【考点】三角形中位线定理．版权所有 【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形． 【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PFBC，PEAD， ∵AD＝BC， ∴PF＝PE， 故△EPF是等腰三角形． ∵∠PEF＝30°， ∴∠PEF＝∠PFE＝30°． 43．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N． 求证：∠BME＝∠CNE；（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线） （2）如图2，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求FE的长度． 【考点】三角形中位线定理．版权所有 【分析】（1）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，根据三角形中位线定理得到EH∥AB，EHAB，根据平行线的性质证明； （2）连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH，根据勾股定理、平行线的性质计算． 【解答】（1）证明：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH， ∵E，H分别是AD，BD的中点， ∴EH∥AB，EHAB， ∴∠BME＝∠HEF， ∵F，H分别是BC，BD的中点， ∴FH∥CD，FHCD， ∴∠CNE＝∠HFE， ∵AB＝CD ∴HE＝FH， ∴∠HEF＝∠HFE ∴∠BME＝∠CNE； （2）解：连接BD，取DB的中点H，连接EH，FH， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴EHAB，FHCD，FH∥AC， ∴∠HFE＝∠FEC＝45°， ∵AB＝CD＝2， ∴HF＝HE＝1， ∴∠HEF＝∠HFE＝45°， ∴∠EHF＝180°﹣∠HFE﹣HEF＝90°， ∴． 44．（1）回顾定理：如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．那么DE与BC的关系有DE∥BC，DEBC ． （2）运用定理：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝50°，∠BCD＝40°，点F为AC的中点，点E为BD的中点．若AB＝4，CD＝6，求EF的长． 【考点】三角形中位线定理．版权所有 【分析】（1）根据三角形中位线定理解答； （2）取BC的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EHCD＝3，EH∥CD，FHAB＝2，FH∥AB，得到∠EHF＝90°，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）在△ABC中，DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， 故答案为：DE∥BC，DEBC； （2）取BC的中点H，连接EH、FH， ∵点E为BD的中点，点H为BC的中点， ∴EHCD＝3，EH∥CD， ∴∠EHB＝∠BCD＝40°， 同理，FHAB＝2，FH∥AB， ∴∠FHC＝∠ABC＝50°， ∴∠EHF＝90°， 由勾股定理得，EF． 45．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长； （3）求四边形DEFC的面积． 【考点】三角形中位线定理；等边三角形的性质．版权所有 【分析】（1）利用三角形中位线定理即可解决问题． （2）先求出CD，再证明四边形DEFC是平行四边形即可． （3）过点D作DH⊥BC于H，求出CF、DH即可解决问题． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵CFBC， ∴DE＝CF． （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD2， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝2． （3）过点D作DH⊥BC于H． ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DHDC， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝22． 46．如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点． （1）求证：四边形EFGH为平行四边形； （2）当AC、BD满足AC＝BD 时，四边形EFGH为菱形．当AC、BD满足AC⊥BD 时，四边形EFGH为矩形．当AC、BD满足AC＝BD且AC⊥BD 时，四边形EFGH为正方形． 【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．版权所有 【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD且EHBD，FG∥BD且FGBD，从而得到EH∥FG且EH＝FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）连接AC，同理可得EF∥AC且EFAC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，邻边垂直的平行四边形是矩形，邻边相等且垂直的平行四边形是正方形解答． 【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点， ∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线， ∴EH∥BD且EHBD，FG∥BD且FGBD， ∴EH∥FG且EH＝FG， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）解：连接AC， 同理可得EF∥AC且EFAC， 所以，AC＝BD时，四边形EFGH为菱形； AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形； AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形． 故答案为：AC＝BD；AC⊥BD；AC＝BD且AC⊥BD． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $