精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学(二)试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 7 B. C. 17 D. 4. 已知，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.45 5. 已知双曲线的左、右顶点分别为，点是上异于的一点，若直线，的斜率之积为的离心率的倍，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数的图象关于原点对称，若，，则（ ） A. 3 B. 0 C. D. 6 8. 在三棱锥中，平面平面，，是等腰直角三角形，，记三棱锥的内切球半径为，点到平面的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机事件满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 事件相互独立 D. 若，则 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则的值为____. 13. 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 14. 已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. （1）若，求边上的高； （2）若，求的周长. 16. 某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. （1）为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 （2）以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在三棱台中，底面，，，M，N，P分别为，，的中点. （1）求证：； （2）若平面与直线的交点为R. （i）证明：； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数，. （1）若，求的极值点个数； （2）若在上有3个零点，求实数的最小值； （3）若曲线与存在两个公共点，在处分别作两条曲线的公切线，在处的公切线记为，在处的公切线记为，且，求的值构成的集合. 19. 已知椭圆过点，. （1）求C的离心率； （2）过C上的点作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，过作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，…，重复上述操作. （ⅰ）若，，且，重合（在此之前，与不重合），求直线的方程； （ⅱ）当时，若，，，，探究：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，，再求交集运算即可. 【详解】解不等式得，即， 求函数的定义域得，即， 所以. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法得，再计算复数的模即可. 【详解】，故. 故选：C 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. 7 B. C. 17 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义得，再结合二倍角公式得，，最后根据诱导公式化简求值即可. 【详解】因为角的终边经过点，， 所以， 所以， ， 所以. 故选：B 4. 已知，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.45 【答案】C 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性可知，，，已知， 所以，因为， 且，所以，又因为， 所以，代入， 可得，故，所以. 故选：C. 5. 已知双曲线的左、右顶点分别为，点是上异于的一点，若直线，的斜率之积为的离心率的倍，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知，设，根据斜率关系得，再结合题意得，解得即可得答案. 【详解】由题知，设， 点是上异于的一点，故，即 因为， 所以， 因为直线，的斜率之积为的离心率的倍，离心率， 所以， 令，则， 即，解得或（舍），故，即， 所以的渐近线方程为. 故选：B 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，，再结合幂函数的性质，对数函数的性质，借助中间值比较大小即可. 【详解】，， 因为在上为增函数，, 所以，即， 因为， 所以，即 故选：D 7. 已知定义域为的函数的图象关于原点对称，若，，则（ ） A. 3 B. 0 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意推得函数是以为周期的周期函数，再结合函数周期性求解即可. 【详解】因为定义域为的函数的图象关于原点对称， 所以， 因为，即 所以， 所以，即函数是以为周期的周期函数， 因为，，， 所以， 所以 故选：A 8. 在三棱锥中，平面平面，，是等腰直角三角形，，记三棱锥的内切球半径为，点到平面的距离为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等体积法求得三棱锥的内切球半径，再构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】取中点，因为是等腰直角三角形，， 所以， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面 所以平面，即点到平面的距离为， 因为，所以， 因为， 又， ， 所以， 所以由，得， 所以 令，则，， 令得，解得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值. 即的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AB；取判断C；构造函数，借助函数单调性判断D. 【详解】对于A，由得，故，故，A选项错误； 对于B，由得，故，，B选项正确； 对于C，取，满足，，不满足，故错误； 对于D，令，，当时，显然成立， 当时，，亦成立，故函数在上单调递增， 故当时，，即，故D选项正确. 故选：BD 10. 已知随机事件满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 事件相互独立 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式求解判断A；根据求解判断B；根据求解判断C；列方程求得，再计算对应概率判断D. 【详解】对于A，由题，故，故A正确； 对于B，由表示随机事件恰有一个发生的概率，则， 由A项，，代入可得，解得，故B正确； 对于C，因，且， 由， 可得，因，则，即事件不相互独立，故C错误； 对于D，由，解得或， 因为，故，所以， 而，显然，故D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件及抛物线的对称性，结合几何图形求出直线的斜率，进而求出点的坐标，再逐项求解判断即可. 【详解】由抛物线：的焦点为，得抛物线， 设，由对称性，不妨令点在第一象限， 连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点， 直线，由消去得，则，即， 直线，由消去得， 则，即，因此，点与关于轴对称，则， 同理得，点与关于轴对称，， 由与关于轴对称，得平分，则， 而，且，则， 于是，直线的斜率，直线， 由消去得，而， 解得，则，，点， 对于A，直线的斜率为，由对称性知，也是直线的斜率，A正确； 对于B，点或到轴的距离均为，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，直线的倾斜角，由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，，则的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，再整理并解方程即可得答案. 【详解】因为等差数列的公差为，前项和为，满足，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故答案为： 13. 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求解展开式的通项公式，再根据解得并代入通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为： ，其中 令，解得， 所以的展开式中常数项为 故答案为： 14. 已知对，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式变形为，可得出，令，，，分析可知，可得出，即可得出，利用导数和基本不等式求解即可. 【详解】对，有，所以， 所以不等式左右两侧同时除以， 所以， 转化为关于的一元二次不等式，所以， 令，，， ，当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以； 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 因为，故对任意的，则， 故当时，，， 由可得， 故，故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. （1）若，求边上的高； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角求得，结合余弦定理求解得为等边三角形，再求边上的高即可； （2）由已知条件得，根据，结合恒等变换得，，再结合直角三角形解对应边即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以，由正弦定理边角互化得， 因为， 所以，即，即， 因为，， 所以，由余弦定理得， 解得， 因为，，所以，即， 所以，即为等边三角形， 所以边上的高为. 【小问2详解】 解：因为，， 所以， 由（1）知，故， 所以，即， 所以，即， 因为，，所以，即， 所以，即为直角三角形，，，，. 所以由，得， 所以，即的周长为. 16. 某工厂新引进了一套设备用于提高产品的质量，现将新设备生产的1000件产品的质量指标值统计如图所示. （1）为了比较新旧设备生产的产品之间的质量是否有差异，研究人员将旧设备生产的产品情况和新设备生产的这1000件产品情况进行比较（以质量指标值是否超过75为依据），得到的数据统计如下表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认定产品质量与设备的新旧有关联? 设备 产品质量指标值 超过75 不超过75 新设备 旧设备 100 900 （2）以频率估计概率，若从新设备生产的产品中随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为，求的分布列以及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能认定产品质量与设备的新旧有关联 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据题意产品的质量指标值超过和不超过的件数，完善列联表，计算值判断即可； （2）先计算质量指标值在的频率为，进而根据频率估计概率得质量指标值在的产品数为，再结合二项分布求解即可. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图可知，产品的质量指标值超过的频率为， 所以产品的质量指标值超过的有件， 所以产品的质量指标值不超过的有件， 故列联表如下： 设备 产品质量指标值 合计 超过75 不超过75 新设备 250 750 1000 旧设备 100 900 1000 合计 350 1650 2000 假设：产品质量与设备的新旧无关联， ， 所以依据小概率值的独立性检验，能认定产品质量与设备的新旧有关联. 【小问2详解】 解：新设备产品质量指标值在的频率为：， 故根据频率估计概率，质量指标值在的概率为， 所以随机抽取4件，记质量指标值在的产品数为， 所以；； ；； ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 4 所以，数学期望. 17. 如图，在三棱台中，底面，，，M，N，P分别为，，的中点. （1）求证：； （2）若平面与直线的交点为R. （i）证明：； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质证明直线两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）（i）利用共面向量定理求出点的坐标即可；（ii）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 在三棱台中，由，得，由平面， 平面，得，而平面， 则平面，而平面，于是，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，则， ， 因此，，即， 所以. 【小问2详解】 （i），令，得，， 又，由点平面，则存在实数对使得， 则，， 解得，点，， 所以. （ii），设平面的法向量， 则，令，得，设直线与平面所成的角为 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 18. 已知函数，. （1）若，求的极值点个数； （2）若在上有3个零点，求实数的最小值； （3）若曲线与存在两个公共点，在处分别作两条曲线的公切线，在处的公切线记为，在处的公切线记为，且，求的值构成的集合. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，时，再分析在符号得，进而根据为奇函数性质得时，，最后根据极值点的概念判定即可； （2）分，，，四种情况讨论求解即可； （3）设两个公共点为，进而根据公切线得， ，其中，再根据得，最后分类讨论求解即可. 【小问1详解】 解：当时，，定义域为，恒成立， 所以在单调递增，又， 所以，当时，，即；当时，，即； ，定义域为， ，易知， 当时，，，即，单调递增； 又因为，即为奇函数， 所以，当时，，单调递减； 综上，当时，，单调递增；；当时，，单调递减， 所以，为函数的极小值点，无极大值点.即的极值点个数为个. 【小问2详解】 解：，定义域为， ，即为奇函数， 因为在上有3个零点， 所以在有且仅有一个零点， 当时，若，则，，在恒成立，此时在无零点，不满足题意； 当时，，易得，故在有3个零点，分别为，满足题意； 当时，有一个实数根，记为， 当时，单调递减；当时，单调递增； 又，， 所以在时，在有唯一零点， 所以，根据奇函数性质，在有3个零点，满足题意； 当时，恒成立，在单调递增，故只有1个零点. 综上，当时，在有3个零点， 所以实数的最小值为 【小问3详解】 解：设曲线与的两个公共点为， 因为， 所以，由公切线的定义得：①，②， ③，④， 即⑤，⑥ 所以⑦，⑧， 因为，在处的公切线与在处的公切线满足， 所以， 因为，所以或 因为的解为，的解为， 故当时，，， 将代入③得，即，；代入⑦得； 将代入④得，即，；代入⑧得； 这两种情况下，可以统一表示为，， 此时； 当时，，， 同理讨论得，，； 综上，值构成的集合为； 19. 已知椭圆过点，. （1）求C的离心率； （2）过C上的点作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，过作斜率为的直线与C交于点，作关于x轴的对称点，…，重复上述操作. （ⅰ）若，，且，重合（在此之前，与不重合），求直线的方程； （ⅱ）当时，若，，，，探究：是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过点待定系数求解得，，，再求离心率即可； （2）（i）根据题意得，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，再结合，重合得，的坐标为，最后结合椭圆的对称性得的横坐标为，再求解斜率即可； （ii）设，则过斜率为的直线方程为，进而联立方程，结合题意得的坐标满足递推关系，故根据递推关系得点列是以4为周期的周期点列，再写出直线方程，求，点到直线的距离并计算面积即可. 【小问1详解】 解：因为椭圆过点，， 所以，解得，， 故椭圆方程为，离心率为 【小问2详解】 （i）由题，将代入得，，设直线的方程为， 联立方程得， 判别式 因为方程的一个根为，另一个根为点的横坐标， 所以，由韦达定理得，即， 将代入得，即， 因为，重合（在此之前，与不重合） 所以，的坐标为， 所以，根据椭圆的对称性，与关于原点对称， 所以，与关于原点对称，即直线过坐标原点， 所以，点的横坐标为，即 所以，即，解得， 所以直线的方程为. （ii）根据题意，设，则，即 过斜率为的直线方程为，即， 联立方程得， 整理得， 判别式 ， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 因为，，，，等号取不到， 所以，即， 因为方程的两个实数根为与点的横坐标， 所以，即 把代入得， 所以， 所以的坐标满足，即 所以根据以上递推关系得：，即 ，即；，即， 所以与坐标相同，即点列是以4为周期的周期点列. 对于，顶点坐标为：，，， 易知，关于原点对称， 直线的斜率为，直线的方程为，即， ， 点到直线的距离为， 所以， 因为在椭圆，即，， 所以，即为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $