精品解析：江西景德镇市乐平市第一中学2025-2026学年上学期期末考试高二数学试卷

乐平一中2025-2026学年上学期期末考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数k值为（ ） A. 6 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以，. 故选：D 2. 若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，结合直线l与直线垂直得斜率，从而得到l的倾斜角． 【详解】直线的斜率是， 因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为， 由，所以l的倾斜角为． 故选：B. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 20 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，令得到，再代入通项求解即可. 【详解】， 令，解得. 得，即系数为. 故选：C 4. 已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式、双曲线的性质求解即可. 【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，即，. 取焦点，渐近线方程， 由题意知，整理得. 所以，所以. 故选：A． 5. 用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（ ） A. 360 B. 400 C. 420 D. 450 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列公式计算即可. 【详解】个位数字可以是，可得， 故选：A. 6. 某市高二年级男生的身高(单位：)近似服从正态分布，则随机选择名本市高二年级的男生身高在内的概率为（ ） 附：随机变量符合正态分布，则， A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得,进而得到=，进而转化为 ,然后利用正态分布的对称性计算求解. 【详解】由已知求得, =, , ， 故选：B. 7. 两圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】两圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【详解】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离： ，圆的半径， 公共弦长． 故选：B． 8. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据已知条件，结合椭圆的定义得， 然后在中，利用余弦定理构造齐次式，从而得到. 【详解】，，， 设，则，， ，，，，，， ，， ，，， 在中，，，， ， ，，， 的离心率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立 【答案】AB 【解析】 【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断. 【详解】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确； 对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误； 对于D：， 则，即事件与不相互独立，D错误； 故选：AB. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量夹角的范围、空间基底的定义和空间向量基本定理的知识依次判断即可. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，A对； 对于B选项，若，则与的夹角是锐角或与方向相同，B错； 对于C选项，假设、、也是共面向量， 则存在、，使得，即， 由向量、、是不共面的向量，则有、，无解， 故、、也是不共面的向量，C对； 对于D选项，因为， 所以，即， 所以、、共面，故、、、四点共面，D对. 故选：ACD. 11. 已知抛物线：与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为3 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 点到抛物线的焦点的距离为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出其焦点坐标，即可判断A，B；依题即可求出的值，判断C项，利用抛物线的定义即可判断D项. 【详解】对于A，在双曲线：中，，，故，则，则双曲线的离心率为3，故A正确； 对于B，由可得双曲线的渐近线方程为，即，故B正确； 对于C，由上分析，可得抛物线中，，即得，故C错误； 对于D，由抛物线的定义，可得点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为______.（用数值作答） 【答案】 【解析】 【分析】直接运用独立重复试验的概率公式进行计算求解即可. 【详解】投球4次，恰好投进3个球的概率为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到，即可求出离心率. 【详解】圆即，圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 不妨设与圆相切， 则，即，又，所以，即， 所以离心率． 故答案为：. 14. 已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 由平面及正方形，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴的正半轴建立空间直角坐标系， 由，得，线段中点， 则，， 设异面直线与所成角为，即， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． （1）的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； （2）经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用点斜式方程写出直线和的方程，然后转化为一般式方程； （2）利用两点式方程可得出直线的方程，利用截距式方程可得出直线的方程，再将这两直线的方程化为一般式方程即可. 【小问1详解】 由题意可知直线方程为，即， 直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线的方程为，即， 直线的方程为，即. 16. 值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1）派甲参赛赢得比赛的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解两位选手胜出的概率，比较大小可得结论； （2）先求两人均输掉比赛的概率，结合对立事件可得答案. 【小问1详解】 甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为， 因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大； 【小问2详解】 甲未赢得比赛的概率为，乙未赢得比赛的概率为， 所以两人均未赢得比赛的概率为， 所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为. 17. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. 【小问2详解】 由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. 【小问3详解】 设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 18. 如图所示，已知在四面体P-ABC中， 平 面ABC. （1）求证：平面： （2）求点A到平面的距离： （3）求平面与平面的夹角． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的性质得到，再由勾股定理证明，最后利用线面垂直的判定定理，即可证明； （2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据点到平面的距离公式即可得到答案； （3）求出平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标公式，即可求解. 【小问1详解】 平面，平面，平面,; ,, 又,，即证， 又平面，平面. 小问2详解】 以为坐标原点，分别以，所在直线为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 故，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取， 则点A到平面的距离为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 则，取， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以，故平面与平面的夹角为. 19. 已知椭圆E：（）的离心率为，且过点. （1）求椭圆E的方程： （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率k不为0的直线交椭圆E于，两点 （i）当时，求； （ii）设直线和的斜率为，求证： 为定值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由，点在椭圆上，解方程可得； （2）（i）写出直线的方程，将其与椭圆方程联立，求出点坐标，再根据两点距离公式即可得到答案. （ii）设直线的方程为，代入椭圆方程得，设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明. 【小问1详解】 由题意知：，，， ∴椭圆方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）当时，直线的方程为， 联立得，解得或， 则 由（1）知椭圆的方程为，则右焦点， 易知过点的直线的斜率存在， 设，，的方程为， 联立，得， 则， ，， ， 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平一中2025-2026学年上学期期末考试 高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数k的值为（ ） A. 6 B. 2 C. D. 2. 若直线l与直线垂直，则l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 15 B. 20 C. D. 4. 已知双曲线：（，)一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 用可以组成个无重复数字的六位奇数，则（ ） A. 360 B. 400 C. 420 D. 450 6. 某市高二年级男生的身高(单位：)近似服从正态分布，则随机选择名本市高二年级的男生身高在内的概率为（ ） 附：随机变量符合正态分布，则， A. B. C. D. 7. 两圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件 C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是锐角 C. 已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 11. 已知抛物线：与双曲线：有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为3 B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. 点到抛物线焦点的距离为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某篮球运动员投球命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为______.（用数值作答） 13. 已知双曲线渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知一个直四棱锥，如图，四边形是正方形，平面，且，是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为___. 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据下列条件分别写出直线和的方程，并化为一般式方程． （1）的斜率是，且经过点，的斜率为，在轴上的截距为； （2）经过两点、，在轴、轴上的截距分别是、． 16. 值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 17. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 18. 如图所示，已知在四面体P-ABC中， 平 面ABC. （1）求证：平面： （2）求点A到平面的距离： （3）求平面与平面的夹角． 19. 已知椭圆E：（）的离心率为，且过点. （1）求椭圆E方程： （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率k不为0的直线交椭圆E于，两点 （i）当时，求； （ii）设直线和的斜率为，求证： 为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $