10.3～10.4解二元一次方程组、三元一次方程组寒假预习讲义-2025-2026学年苏科版七年级下学期数学（知识点归纳+题型精讲+综合测试）

10.3～10.4解二元一次方程组、三元一次方程组 寒假预习讲义(苏科版) ☞ 预习内容概览 1.课前预习●目标 2.重点知识●梳理归纳 3.核心考点●精讲讲练 4.巩固提升●综合测试 ✅ 课前预习●目标 1.能识别二元一次方程组，理解它是两个或多个二元一次方程合在一起。 2. 知道什么是二元一次方程组的解，会检验一组数是否为方程组的解。 3.知道三元一次方程组含有三个未知数，含未知数的项次数都是1。 4. 明白解三元一次方程组的思路：三元→二元→一元。 💧 重点知识●梳理归纳 【知识点1消元法】 1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． 2．消元的基本思路：未知数由多变少． 3．消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程． 【知识点2代入消元法】 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 【重点提示】（1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． （2）代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程．则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 【知识点3加减消元法解二元一次方程组】 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 【重点提示】用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点4选择适当的方法解二元一次方程组】 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 【知识点5三元一次方程（组）的概念】 1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程． 2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组． 【知识点6三元一次方程组的解】 使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解． 【知识点7解三元一次方程组的基本思路】 通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 【知识点8解三元一次方程组的一般步骤】 1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组．（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程． 2.求解二元一次方程组： 3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值． 【知识点9三元一次方程组的应用】 解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案． 💦 核心考点●精讲讲练 【题型1代入消元法】 例1．把方程改写成用含的式子表示的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看作已知数求出即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出 变式1．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算的运用，关键是将等式两边的底数化为相同的数，再根据“同底数幂相等则指数相等”建立方程组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴，即； ∵， ∴，即， ∴； 解，得， 则； 故答案为：． 变式2．分别用代入消元法和加减消元法解方程组：． 【答案】原方程组的解为 【分析】本题主要考查了利用代入消元法和加减消元法分别解二元一次方程组，根据各自的运算法则求解即可． 【详解】解：， 代入消元法：由①，得 x③， 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得， 故原方程组的解为； 加减消元法：，得， 解得， 将代入②，得， 解得， 故原方程组的解为． 【题型2加减消元法】 例2．已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知式子的值，求二元一次方程组的参数，将方程组转化为与相关的式子，代入计算即可． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得， 故选B． 变式1．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组；先消去y，求出x，再代入求解y即可． 【详解】解：①＋②，得， 解得． 将代入①，得， 解得． 所以原方程的解是． 【题型3二元一次方程组的特殊解法】 例3．已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体思想，掌握通过方程组中方程的直接相减，快速得到目标式子的值是解题的关键． 通过两方程相减可直接得到的值． 【详解】解：∵方程组， ∴， 即． 故选：D． 变式1．已知关于，的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 通过将第二个方程减去第一个方程，直接得到的值． 【详解】解：由方程组， 由②①得： ， ， ， ． 故答案为． 变式2．【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 【题型4二元一次方程组的错解复原问题】 例4．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出，得到关于的方程，根据小红同学看错了，得到满足方程，得到关于的方程，进而得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得； 把代入，得， ∴，解得； 故，，； 故选B． 变式1．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 变式2．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 【题型5构造二元一次方程组求解】 例5．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 变式1．一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由图①和②列出方程组得， ， 得．即 所以小正方形的边长为． 故答案为：． 变式2．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解方程组等知识，将题中文字转化为代数式是解决问题的关键． （1）将题中文字描述转化为数学表达式，利用多项式定义得到求解即可得到答案； （2）将（1）中，代入，再由多项式乘以多项式展开即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得， ． ， 解得； （2）解：由（1）得，， ． 【题型6已知二元一次方程组的解的情况求参数】 例6．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解．方程组中两方程相加求出，然后根据列式求出k的值即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式1．已知关于、的方程组，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：， 得， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式2．关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值； 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．由，得到，再分别代入所给方程组，进一步计算可求出答案． 【详解】解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得：． 【题型7方程组相同解问题】 例7．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 由于两个方程组有相同的解，可先由两个不含参数的方程联立解出公共解和，再代入含参数的方程求出和，进而计算． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴可得方程组：， ， 解得：， 将，代入得：， 解得：， ∴， 故选：B． 变式1．已知关于，的方程组与方程组同解，则 ， ． 【答案】 1 8 【分析】本题考查两个方程组同解求参数，先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 ，得， 解得 故答案为 1，8． 变式2．已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题． 根据题意可得和，解得，则，解得，代入计算即可． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组与的解相同， ∴方程组可重新分配为和， 解得， 将代入得， 解得， ∴． 【题型8三元一次方程组的定义及解】 例8．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 变式1．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 变式2．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组． （1）先将第二个方程去分母简化，然后使用加减消元法求解； （2）通过加减消元先求出，得到关于和的方程，求解即可． 【详解】（1）解： 将第二个方程乘以2，得 ，即 方程组化为 用第一个方程减去第二个方程，得 ，解得 将 代入 ，得 ，解得 ∴原方程组的解为 （2）解： ①+②，得 将④代入③，得 ，解得 将 代入①，得 将 代入②，得 ⑥-⑤，得 将 代入⑤，得 ∴原方程组的解为 【题型9三元一次方程组的应用】 例9．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质与等式的性质，解题的关键是根据图形列出不等式与等式． 设▲、●、■这三种物体的质量分别为，由图得到即可求解． 【详解】设▲、●、■这三种物体的质量分别为， 由图可得， 解得， 所以 故选：C． 变式1．如果关于x的方程的根分别为，1，3，那么a的值是 ． 【答案】 【分析】把方程的根代入方程，解三元一次方程组即可求解． 本题考查了方程的解，消元法解三元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：的根分别为，1，3， 代入得， 解得 故答案为：． 变式2．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)若关于、的二元一次方程组的解满足．求的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买18支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需40元，买53支铅笔、8块橡皮、5本日记本共需109元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ 【答案】(1)5， (2) (3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法、三元一次方程组的应用及一元一次不等式的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法、三元一次方程组的应用及一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据整体思想可进行求解； （2）将两方程相加可得到，然后可得不等式，进而求解即可； （3）设购买1支铅笔需x元，1块橡皮需y元，1本日记本需z元，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴； 得：； 故答案为5，； （2）解：由可得：， 则， ∵， ∴， 解得：； （3）解：设购买1支铅笔需x元，1块橡皮需y元，1本日记本需z元，由题意得： ， 得：； 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需11元． ✍ 巩固提升★综合测试 一、单选题 1．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形． 【详解】解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便， ∴由②移项得，此变形最合适， 对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐， 故选：D． 2．关于，的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，幂的乘方，同底数幂的除法，得，然后由，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 得，即， ∵， ∴，解得， ∵， 所以代入得， 故选：． 3．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则所求方程组可变形为，根据题意可得方程组的解是，则，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴关于x、y的二元一次方程组可变形为关于m、n的二元一次方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， ∴， 故选：C． 4．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 5．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将，分别变形为，，从而得出二元一次方程组：，解二元一次方程组，得出m、n的值，最后代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：，， ，， ∴， 解得：， ． 故选：C． 6．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 将两方程相加后根据求解即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 7．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 8．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解． 【详解】解：， 由得， ∴， 故选：． 9．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需21元；若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本，共需35元．购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需（   ） A．8元 B．7元 C．6元 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需要21元，若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需35元列出方程组． 【详解】解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元 由题意得： 得：． 故选：B． 二、填空题 10．已知用含的式子表示，则＝ ． 【答案】 【分析】通过消去参数 ，将方程组转化为用 表示 的形式． 【详解】解： ， 得：， 解得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，解决问题的关键是熟练掌握计算方法． 11．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查合并同类项，解二元一次方程组，由于两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而列出关于m和n的方程组并求解即可. 【详解】解：由题意，单项式与单项式是同类项， ∴，解得， ∴； 故答案为：2 12．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 13．在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 14．写出一个解为的二元一次方程组： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 15．若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， 得： ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3． 16．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 17．已知则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．将三个方程相加计算即可． 【详解】解：， 将三个方程相加，得， 解得． 故答案为：2． 18．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 【答案】 1150 15，0，5 【分析】此题是一道比较新颖的三元一次方程组应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题． 可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚20元，二人间每人每晚30元，单人间每人每晚50元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择． 【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元， 则 解得 都是自然数， 或或或或或 ， 随z的增大而减小， ∴当，即时，住宿的总费用最低，为， 故最省住宿费用为1150元，所住三人间、双人间、单人间的间数依次为15, 0, 5. 故答案为：1150元，间数依次为15, 0, 5． 三、解答题 19．用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次、三元一次方程组的简便解法，掌握整体代入、换元法、设比例系数法和加减消元法等技巧，是快速解方程组的关键． （1）观察到第一个方程可整理为，第二个方程含，用整体代入法简化计算； （2）方程组中重复出现和，用换元法设，转化为关于的方程组，简化运算； （3）连比形式的方程组，用设比例系数法，设，将用表示，代入第二个方程求解； （4）两个方程的系数差相等，用加减消元法先相减得到，再整体代入原方程快速求解． 【详解】（1）解： 将①代入②： 将代入①： 解得：​ （2）解：设 ， 方程组变为：​ ①+②： 代入②： 即 ， 解得 （3）解：设 ， 则, 代入： 代入得 ： （4）解： 由①-②得： 由①：， 代入③： ， ， 将代入③：， 解得： 20．[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的知识点是多项式乘多项式、二元一次方程组的应用，解题关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，求出，的值． （1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于、的二元一次方程，再求出，的值； （2）把与的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， ， 由得，代入得， 解得， ， ． （2）解：由（1）得． 21．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 【答案】    【分析】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握先解含参数的方程组，再代入另一方程求参数的方法是解题的关键． 先通过加减消元法解含参数的方程组，用表示出和；再将这个解代入方程，得到关于的一元一次方程，求出后回代即可得到方程组的解． 【详解】解： ①＋②，得，解得． ①－②，得，解得． ∴方程组的解为 将代入中，得， 解得， 方程组的解为． 22．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的解法，掌握先求解公共未知数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解参数是解题的关键． 由于两个方程组的解相同，先联立两个方程组中只含的方程，解出公共解；再将公共解代入含的方程，得到关于的方程组并求解；最后把的值代入，计算出结果． 【详解】解：两个方程组的解相同，根据题意得 解得 解得 ． 23．解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）利用代入消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 由②得： 把③代入①得 解得 把代入③得 原方程组的解为 （2）解： 得： 解得： 把代入①得 解得 原方程组的解为 24．小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 25．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求a、b、c、d的值． 【答案】4，5，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题． 把代入，求出，再根据乙把c看错，误认为，得到，求出，联立方程组，求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵乙把c看错，误认为，解得 ， ， 联立方程组 解方程组得 、、、的值是：4，5，，． 26．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 【答案】(1) (2)12元 【分析】本题考查了二元一次方程组、三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）用整体的思想求解即可； （2）先列出三元一次方程组，再由“整体思想”即可得解． 【详解】（1）解： 得：， 故答案为：； （2）解：购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元， 由题意得：， 得：， ∴（元）． 答：购买2支铅笔、2块橡皮共需12元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3～10.4解二元一次方程组、三元一次方程组 寒假预习讲义(苏科版) ☞ 预习内容概览 1.课前预习●目标 2.重点知识●梳理归纳 3.核心考点●精讲讲练 4.巩固提升●综合测试 ✅ 课前预习●目标 1.能识别二元一次方程组，理解它是两个或多个二元一次方程合在一起。 2. 知道什么是二元一次方程组的解，会检验一组数是否为方程组的解。 3.知道三元一次方程组含有三个未知数，含未知数的项次数都是1。 4. 明白解三元一次方程组的思路：三元→二元→一元。 💧重点知识●梳理归纳 【知识点1消元法】 1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． 2．消元的基本思路：未知数由多变少． 3．消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程． 【知识点2代入消元法】 通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法． 【重点提示】（1）代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． （2）代入消元法的技巧是： ①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解； ②若方程组中有未知数的系数为1（或-1）的方程．则选择系数为1（或-1）的方程进行变形比较简便； （3）若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便． 【知识点3加减消元法解二元一次方程组】 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法． 【重点提示】用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： （1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等； （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； （4）将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 【知识点4选择适当的方法解二元一次方程组】 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元． 【知识点5三元一次方程（组）的概念】 1.三元一次方程概念：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程． 2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组． 【知识点6三元一次方程组的解】 使三元一次方程组中三个方程左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解． 【知识点7解三元一次方程组的基本思路】 通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程． 【知识点8解三元一次方程组的一般步骤】 1.消元：（1）利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到一个二元一次方程组．（2）再选择另外两个方程，通过同样的方法消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程． 2.求解二元一次方程组： 3求出第三个未知数：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出第三个未知数的值． 【知识点9三元一次方程组的应用】 解决实际问题时，通常需要根据问题中的等量关系列出三元一次方程组，然后求解方程组得到问题的答案． 💦核心考点●精讲讲练 【题型1代入消元法】 例1．把方程改写成用含的式子表示的形式为（    ） A． B． C． D． 变式1．若，，则的值为 ． 变式2．分别用代入消元法和加减消元法解方程组：． 【题型2加减消元法】 例2．已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 变式1．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路： ． 变式2．解方程组：． 【题型3二元一次方程组的特殊解法】 例3．已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 变式1．已知关于，的二元一次方程组，则的值为 ． 变式2．【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【题型4二元一次方程组的错解复原问题】 例4．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式1．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为 变式2．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得． (1)求正确的，的值； (2)求原方程组的正确解． 【题型5构造二元一次方程组求解】 例5．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 变式1．一大正方形和四个相同的小正方形按图①②两种方式摆放，则小正方形的边长为 ． 变式2．小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了，得到结果为． (1)你知道式子中，的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道题的正确结果． 【题型6已知二元一次方程组的解的情况求参数】 例6．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式1．已知关于、的方程组，若，则的值为 ． 变式2．关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值； 【题型7方程组相同解问题】 例7．若关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．1 D．5000 变式1．已知关于，的方程组与方程组同解，则 ， ． 变式2．已知关于、的二元一次方程组与的解相同，求的值． 【题型8三元一次方程组的定义及解】 例8．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 变式1．若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 变式2．解方程组 (1) (2) 【题型9三元一次方程组的应用】 例9．设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（　　） A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、■、▲ 变式1．如果关于x的方程的根分别为，1，3，那么a的值是 ． 变式2．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)若关于、的二元一次方程组的解满足．求的取值范围； (3)某班级组织活动购买小奖品，买18支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需40元，买53支铅笔、8块橡皮、5本日记本共需109元，求购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ ✍ 巩固提升★综合测试 一、单选题 1．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 2．关于，的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 5．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 8．已知方程组，则的值是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 9．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本，共需21元；若购买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本，共需35元．购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需（   ） A．8元 B．7元 C．6元 D．不能确定 二、填空题 10．已知用含的式子表示，则＝ ． 11．若单项式与单项式的和仍是单项式，则 ． 12．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 13．在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 14．写出一个解为的二元一次方程组： ． 15．若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 16．已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 17．已知则 ． 18．某旅游团一行50人到某旅社住宿，该旅社有三人间、双人间和单人间三种客房，其中三人间每人每晚20元，双人间每人每晚30元，单人间每晚50元．已知该旅行团住满了20间客房，且使总的住宿费用最省．那么这笔最省的住宿费用是 元，所住的三人间、双人间、单人间的间数依次是 ． 三、解答题 19．用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 20．[核心素养]在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：，甲由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为． (1)试求出式子中，的值； (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果． 21．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 22．已知方程组和方程组的解相同，求的值． 23．解下列方程组． (1)； (2)． 24．小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 25．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求a、b、c、d的值． 26．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $