20.1 勾股定理及其应用 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

20.1 勾股定理及其应用 同步练习 一、单选题 1．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．，， D．9，12，15 2．如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h是（    ） A． B． C． D． 3．如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　） A．m B．4m C．m D． 4．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 5．已知一个直角三角形的两条边长为5和13，则第三边的平方是（   ） A．12 B．169 C．144或169 D．144或194 6．如图，由一个直角三角形和三个正方形组成，则图中字母A所表示的正方形的面积为（　　） A．36 B．4 C．64 D．8 7．下面图形能够验证勾股定理的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，一个底面周长为，高为的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点到点所经过的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，中，为直角，且米，米，则路径比路径少了 米． 10．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 11．在中，斜边，则 ． 12．如图，已知点的坐标为，以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是 ． 13．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为 ．    14．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为 ． 三、解答题 15．在直角三角形中，． (1)若，，求； (2)若，，求． 16．如图，一艘轮船从出发，自西向东航行，开往距它海里的处，海中有一个小岛，该岛周围海里内有暗礁，已知相距海里，相距海里，你认为轮船在持续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由． 17．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 18．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若（1）中所作的垂直平分线与边和分别交于点D、E．若，，求的长． 19．如图，在中，，，垂足为，已知，．求的面积及的长． 20．如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、，，不是正整数， ，，不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键：在一个直角三角形中，两直角边为a、b，斜边为c，那么． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过B点作于点E，连接，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，由题意可知，大树高，小树高为， 过B点作于点E，连接， 则四边形是矩形， ， ， 在中， ， 即小鸟至少飞行， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查勾股定理，根据直角三角形的两条边长为5和13，结合勾股定理分情况讨论①当5和13都为直角三角形直角边时，②当5为直角三角形直角边，13为直角三角形斜边时求解，即可解题． 【详解】解：①当5和13都为直角三角形直角边时， 则第三边的平方是， ②当5为直角三角形直角边，13为直角三角形斜边时， 则第三边的平方是， 所以第三边的平方是144或194． 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理可得出的值即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，字母A所表示的正方形的面积为，， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】利用面积法验证或证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：第一个图形：两个小正方形的面积分别为4和9，大正方形的面积为13，可得，可得，可以验证勾股定理． 第二个图形：梯形的面积，化简得；可以证明勾股定理． 第三个图形：中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理． 第四个图形：由图形可知割补前后的两个小直角三角形全等，则正方形的面积两个直角三角形的面积的和，即，化简得；可以证明勾股定理， 能够验证勾股定理的有4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、直角三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，运用面积法得出等式是解决问题的关键． 8．B 【分析】先将圆柱的侧面沿着点A所在的棱线剪开，得到长方形，得到, ，由此即可以利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路线的长. 【详解】解：如图， 沿着点A所在的棱线剪开，此时, ， ∴蚂蚁爬行的最短路线， 故选：B. 9．4 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出的长，再用两条路径相减即可． 【详解】解：中，为直角，且米，米， 米， 则路径为13米，路径为米， 则路径比路径少了米， 故答案为：4． 10．12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深． 【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， ∵尺，芦苇生长在它的正中央， ∴尺， 在中，， 解得：， 即水深12尺， 故答案为：12． 11．8 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由可得，代入即可求值． 【详解】解：在中，斜边， ∴， ∴， 故答案为：8． 12． 【分析】本题考查数轴上的点表示无理数，涉及勾股定理、图形与坐标等知识，理解题意，数形结合是解决问题的关键．由题意得到，在中，，由勾股定理求出长，再由以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，确定，从而得到点所表示的数． 【详解】解：如图所示： 的坐标为， 在中，，则由勾股定理可得， 以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点， ， 则点所表示的数是， 故答案为：． 13． 【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键． 14．/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格求三角形的面积，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． 作，作于点，于点，根据勾股定理得出，最后根据等面积和垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作，作于点，于点， 根据勾股定理得， 根据等面积可得， ∴， 根据垂线段最短可得，点A与线段上的点之间的最小值为， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中， ，，， ， （2）解：在中， ，，， ， ． 16．轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险，理由见详解 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，根据题意，构造直角三角形，运用勾股定理即可求解，掌握直角三角形中勾股定理的运用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 根据题意可知，海里，海里，海里， ∴设，则海里， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∵岛周围海里内有暗礁，， ∴轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险． 17．（1），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析；（2），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析 【分析】（1）计算，，是否满足即可解答； （2）计算，，是否满足即可解答． 【详解】（1）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴，，都是正整数， ∵， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数； （2）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴，，是三个正整数， ∵， ∴， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，勾股定理，正确的作图，掌握相关性质和定理，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）连接，设，则，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）如图： （2）连接，设，则， 垂直平分， 在中，， 即 解得： ． 19． 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出线段的长，则可根据三角形面积公式求出的面积，再利用等面积法求出的长，则可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20．见解析 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据列出关系式，进而得出结论． 【详解】证明：如图．， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $