4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差与标准差，通过甲、乙射击环数均值相等的问题导入，引出离散程度的度量需求，衔接前期均值知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题导思和实际案例（如投资项目选择）为载体，培养数学建模与运算素养，通过题型分层（自主检测、合作探究）和规律方法总结，助力学生掌握方差计算与应用，教师可借助丰富例题与练习提升教学效率。

4.2.4　随机变量的数字特征 第2课时　离散型随机变量的方差 　 第四章　4.2　随机变量 知识层面 1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．　 2．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差．　 3．会用方差解决一些实际问题. 素养层面 通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养；借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学建模、数学运算的素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，应派哪位同学参赛？ 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 问题导思 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 提示：E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平． 问题2.试想用什么指标区分甲、乙两名同学的射击水平？ 提示：可以考虑用度量数据离散程度的指标． 知识点　离散型随机变量的方差、标准差 1．定义：设离散型随机变量X的分布列为 新知构建 X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn 微提醒 2．意义：离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示． 一般地， 称为离散型随机变量X的标准差． 它们两个都可以刻画随机变量X相对于均值E(X)的离散程度(或波动大小)． 1．离散型随机变量的方差、标准差都反映了离散型随机变量相对于均值的离散程度，方差或标准差越小，离散型随机变量相对于均值的离散程度越小． 2．由离散型随机变量的方差的定义可知，离散型随机变量的方差与随机变量本身的单位不同，标准差与随机变量本身的单位相同． 微提醒 概念辨析　离散型随机变量的方差与样本方差的区别与联系 离散型随机变量的方差即总体的方差，它是一个常数，不随抽样样本的不同而变化，是客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差． 3．性质：D(aX＋b)＝a2D(X)． 知识拓展 (1) 特例 均值 意义 a＝0 D(b)＝0 常数的方差等于0 a＝1 D(X＋b)＝D(X) 随机变量与常数之和的方差与随机变量的方差相同 b＝0 D(aX)＝a2D(X) 常数a与随机变量的乘积的方差是随机变量的方差的a2倍 (2)常见分布的方差 随机变量X 方差公式 服从参数为p的两点分布 D(X)＝p(1－p) X～N(n，P) D(X)＝np(1－p) X～H(N，n，M) D(X)＝ ＝E(X)· 1．(多选)下列说法正确的是 A．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定 B．若a是常数，则D(a)＝0 C．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度 D．离散型随机变量的方差与标准差的单位不相同 自主检测 √ √ √ 方差反映了随机变量偏离期望的平均程度，方差越大，随机变量越不稳定，故A错误，C正确；常数的方差为0，故B正确；离散型随机变量的方差与标准差的单位不相同，故D正确． 2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为 √ 由题意可得：E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0， D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1. 3．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为 A．0.6和0.7 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 √ E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21. 4．已知随机变量ξ的分布列如下表： 则ξ的均值为_____，方差为_____． ξ －1 0 1 P 5．已知随机变量Y只取a，1这两个值，且P(Y＝a)＝a，则当E(Y)取最小值 时，D(Y)＝_____． 因为随机变量Y只取a，1这两个值．且P(Y＝a)＝a，0＜a＜1， 返回 合作探究 返回 题型一　离散型随机变量的方差与标准差 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、均值和方差； 解：X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 例1 (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值． 解：由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2. 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， 规律方法 1．求离散型随机变量X的方差的基本步骤   2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 对点练1.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数． (1)求X的分布列、期望及方差； 解：X的可能取值为0，1，2. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P (2)求Y的分布列、期望及方差． Y 1 2 3 P 所以Y的分布列为 题型二　两点分布、二项分布的方差 　某5G芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100个新生产的5G芯片进行检测．若每块芯片的生产成本为1 000元，一级品每个芯片可卖1 500 元，二级品每个芯片可卖900元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100个5G芯片的柱状图如图所示(用样本的频率代替概率)． 例2 (1)若该生产线每天生产2 000个5G芯片，求出该生产线每天利润的平均值； 解：该生产线每天利润的平均值 ＝20×(70×500－20×100－10×1 000) ＝460 000元． (2)若从出厂的所有5G芯片中随机取出3个， 求其中二级品个数X的分布列、期望与方差． 其分布列为 X 0 1 2 3 P 规律方法 1．如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)． 2．如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程． √ 随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 P 1－m m 所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)． 因为X～B(3，p)，所以D(X)＝3p(1－p)， 题型三　离散型随机变量方差的性质 　设随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P √ 思路点拨　利用方差的定义和性质求解均可． 例3 X －1 0 1 P 规律方法 求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是用公式D(aX＋b)＝a2D(X)来求解． 对点练3.已知随机变量X的分布列为： X 0 1 x P p (2)若Y＝3X－2，求 的值． 因为Y＝3X－2， 题型四　均值、方差的实际应用 　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； 思路点拨 由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列． 例4 解：由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为 (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 解：由(1)得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2； E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7； D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好． 思路点拨 要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值． 规律方法 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤 第一步：比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高； 第二步：在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定； 第三步：下结论．依据方差的几何意义做出结论． 对点练4.设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分． (1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列； ξ 2 3 4 5 6 P 所以ξ的分布列为 解：由题意知η的分布列为 η 1 2 3 P 易错精析 易错点　要准确理解随机变量取值的含义 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差． 误区警示　准确理解题意是解决此类问题的关键． 典例 X 1 2 3 4 5 P 正解 设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1、2、3、4、5. X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门． 故随机变量X的概率分布列为 返回 随堂演练 返回 1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计 A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 因为D(X甲)>D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． √ 2．已知随机变量X的分布列为 √ X 1 2 3 P 0.5 x y 3．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为 A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4 C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1 √ 由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，所以1－p＝0.6，所以p＝0.4，n＝6. 4．已知随机变量X的分布列如下表： 其中a>0，b>0，且E(X)＝2，则b＝____， D(2X－1)＝____． 返回 X 0 2 a P b 24 课时测评 返回 1．(多选)随机变量ξ的分布列为 √ ξ 0 1 2 P a √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ξ 0 1 2 P a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是 A．E(X1)＝12，D(X1)＝1 B．E(X1)＝7，D(X1)＝1 C．E(X1)＝12，D(X1)＝2 D．E(X1)＝7，D(X1)＝2 √ E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，则E(3X＋1)和D(3X＋1)的值分别是 A．3和4 B．3和2 C．2和4 D．2和2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下： 根据以上数据估计 A．甲比乙的射击技术稳定 B．乙比甲的射击技术稳定　　 C．两人没有区别 D．两人区别不大 √ 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．设 <p<1，相互独立的两个随机变量ξ，η的分布列如表： √ ξ －1 1 P η －1 1 P 1－p p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．若p为非负实数，随机变量X的分布列为 则E(X)的最大值是_____，D(X)的最大值是____． X 0 1 2 P －p p 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编 号之和，则X的方差为______． X的分布列为 X 1 3 5 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示． 历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为_____． 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 9.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意得，P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的方差为9.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下： 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好． X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125， D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50， D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165， 由于E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，故甲厂的材料稳定性较好． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X. (1)求X的分布列及方差D(X)；(4分) 解：X的取值范围是{6，9，12}． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以X的分布列为 X 6 9 12 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)若ξ＝aX＋2，且D(ξ)＝33.6，求实数a的值．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)已知随机变量X的分布列为： √ X －1 0 1 P a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)袋子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中一次取出三个球，记随机变量ξ是取出球的最大编号与最小编号的差，数学期望为E(ξ)，方差为D(ξ)．则下列选项正确的是 A．E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.6 B．E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.4 C．E(ξ)＝3，D(ξ)＝0.4 D．E(ξ)＝3，D(ξ)＝0.6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．(15分)某投资公司在年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ζ 300 －150 P 则随机变量ζ的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 η 500 0 －300 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 故E(ζ)＝E(η)，D(ζ)＜D(η)． 这说明虽然项目一、项目二获利期望值相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(15分)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地随机抽取两张，记第一次抽取卡片的标号为x，第二次抽取卡片的标号为y.设O为坐标原点，点P的坐标为(x－2，x－y)，记ξ＝ | |2. (1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(5分) 解：由题意，可知x，y的取值构成的有序数对(x，y)如下表： (1，1) (1，2) (1，3) (2，1) (2，2) (2，3) (3，1) (3，2) (3，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x－2，x－y的取值构成的有序数对(x－2，x－y)如下表： (－1，0) (－1，－1) (－1，－2) (0，1) (0，0) (0，－1) (1，2) (1，1) (1，0) 由上表可知ξ的最大值为5，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时取到． 又有放回地抽取两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求随机变量ξ的数学期望和方差．(10分) 返回 ξ 0 1 2 5 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 概 率 与 统 计 返回 均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；方差D(ξ)＝×＋×＋×＝. － 所以P(Y＝1)＝1－a，所以E(Y)＝a2＋1－a＝＋，所以当a＝时， E(Y)取最小值为，所以此时D(Y)＝×＋×＝. 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5. D(X)＝np(1－p)＝3××＝. 对点练2.(1)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于 A．m B．2m(1－m) C．m(m－1) D．m(1－m) 或 由题意知，E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，故D(X)＝×＋×＋×＝，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝. P(ξ＝6)＝＝. 解：由题意得ξ的取值范围是{2，3，4，5，6}．故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝， (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. 解得b＝，a＝6.所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(6－2)2×＝6，所以D(2X－1)＝22·D(X)＝24. a＋＋＝1，即a＋b＝1，a，b∈(0，1)．E(ξ)＝0×a＋1×＋2×＝.D(ξ)＝a×＋×＋×＝－＝－＋，b∈(0，1)，可得当b＝时，D(ξ)取得最大值．综上可得只有C错误． 所以D(X)＝×＋×＝， 所以E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝3×＋1＝2；D(3X＋1)＝9D(X)＝9×＝2. 因为<p<1，所以E(ξ)＝－＋＝－，E(η)＝p－1＋p＝2p－1，E(ξ＋η)＝2p－，D(ξ)＝×＋×＝，D(η)＝(－2p)2(1－p)＋(2－2p)2p＝4p－4p2，D(ξ＋η)＝4p－4p2＋＝－4＋，所以当p在内增大时，E(ξ＋η)增大，D(ξ＋η)减小． 由分布列的性质可知p∈，则E(X)＝p＋1∈，故E(X)的最大值为.因为D(X)＝(p＋1)2＋p(p＋1－1)2＋(p＋1－2)2＝－p2－p＋1＝－＋，又p∈，所以当p＝0时，D(X)取得最大值1. 所以E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8， 由题意知： 解得a＝，b＝，c＝，所以DX＝×＋×＋×＝.故选C． 解：对于项目一，该项目年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和，设投该项目投资获利为ζ万元， $