4.1.2 乘法公式与全概率公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式，通过问题导思回顾条件概率，结合“三个罐子取球”情境引出公式推导，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过公式推导发展逻辑推理与数学抽象素养，结合密码按对概率、产品正品率等实例提升数学建模能力。题型分类清晰且附规律总结，助力学生掌握解题方法，教师可依托此资料高效开展教学，提升学生数学运算与应用能力。

4.1.2　乘法公式与全概率公式 　 第四章　4.1　条件概率与事件的独立性 知识层面 1．能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式计算概率．　 2．理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率. 素养层面 通过乘法公式、全概率公式的推导，发展逻辑推理、数学抽象素养；通过乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的实际应用，提升数学建模、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.条件概率成立的条件是什么？ 问题导思 提示：P(A)>0. 问题2.事件AB的含义是什么？ 提示：事件A与事件B同时发生． 2．有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1 黑球，3号装有2红球2黑球．某人从中随机取一罐，再 从中任意取出一球． 问题3.红球能确定来自哪个罐子吗？几种情况？ 提示：不能确定，有三种情况． 问题4.设事件Ai表示“从i号罐子取球”，i＝1，2，3.事件A1、A2、A3有何关系？ 提示：A1、A2、A3两两互斥且A1∪A2∪A3＝Ω. 问题5.设事件B表示“任取一球是红球”，事件B如何用Ai拆分？ 提示：B＝A1B∪A2B∪A3B． 知识点一　乘法公式 1．公式：P(BA)＝_____________． 2．公式的推导依据：P(B|A)＝ ，即根据事件A发生的概率，以及已 知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 新知构建 P(A)P(B|A) 乘法公式说明，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 微提醒 3．全概率公式的推广 定理1：若样本空间Ω中的事件A1，A2，···，An满足： (1)任意两个事件均______，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，···，n，i≠j； (2)A1＋A2＋···＋An＝Ω； (3)P(Ai)>0，i＝1，2，···，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋···＋BAn，且P(B)＝ P(BAi) P (Ai)P(B|Ai)． 上述公式也称为全概率公式． n＝3时的情形可借助右图来理解： 互斥 全概率公式的直观解释 已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，···，n且任意两种情形均互斥)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率． 微提醒 知识点三　贝叶斯公式 1．贝叶斯公式 2．贝叶斯公式的推广 定理2：若样本空间Ω中的事件A1，A2，···，An满足： (1)任意两个事件均______，即AiAj＝∅，i，j＝1，2，···，n，i≠j； (2)A1＋A2＋···＋An＝____； (3)___________，i＝1，2，···，n. 互斥 Ω 1>P(Ai)>0 对贝叶斯公式的理解 P(A)是根据历史数据发现，通常称为先验概率；获取了新信息后算出的概率P(A|B)，通常称为后验概率．贝叶斯公式指出的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率．实际上，贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少． 微提醒 自主检测 √ 2．设甲乘汽车、火车前往某目的地的概率分别为0.6，0.4，汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9，0.8.则甲正点到达目的地的概率为 A．0.72 B．0.96 C．0.86 D．0.84 √ 设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86. √ 4．采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的 包数占30%，而其余包中各含有1个次品，则采购员拒绝购买的概率是____． 5．对以往数据分析结果表明， 当机器调整得良好时， 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时， 其合格率为55%.每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品是合格时， 机器调整得良好的概率约是_______． 0.97 返回 合作探究 返回 题型一　乘法公式的应用 　 银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； 思路点拨　最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”．因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率的一些相关公式求解． 例1 (2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． 规律方法 乘法公式P(AB)＝P(B|A)P(A)的作用就是方便我们在不好直接求得P(AB)的情况下，先迂回地求出方便计算的P(B|A)和P(A)，再求得P(AB)． 题型二　全概率公式及其应用 　 某病毒感染可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________． 思路点拨　根据题意，设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则有P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)，据此计算可得答案． 0.915 例2 设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.95，P(D|B)＝0.9，P(D|C)＝0.85， 则P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝0.95×0.5＋0.9×0.3＋0.85×0.2＝0.915. 规律方法 运用全概率公式解题的一般步骤 第一步：求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，···，An； 第二步：求P(Ai)(i＝1，2，···，n)； 第三步：求P(B|Ai)(i＝1，2，···，n)； 第四步：求目标事件的概率P(B)． 可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”． 对点练2.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 解：设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥． 题型三　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 　 (1)设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球和m只红球，乙袋中装有N只白球和M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球．从乙袋中取到白球的概率是多少？ 例3 解：记A1，A2分别表示从甲袋中取得白球，红球放入乙袋，再记B表示再从乙袋中取得白球． (2)第一个盒子装有5只红球，4只白球；第二个盒子装有4只红球，5只白球．先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒中去，然后从第二个盒子中任取一只球，求取到白球的概率． 规律方法 若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验的具体结果怎样未知，那么： (1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式； (2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效． 对点练3.同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起． (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； 解：设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？ 解：设事件A表示“取到的产品为正品” ，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5， P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. 由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大． 返回 随堂演练 返回 √ √ 3．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为 A．0.85 B．0.88 C．0.4 D．0.868 设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}，Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1，2，则有B＝A1B∪A2B，由题意P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6， √ ＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. P(B|A1) 4．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为 √ 返回 课时测评 返回 1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0.则他迟到的概率为 A．0.65 B．0.075 C．0.145 D．0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为 A．0.21 B．0.06 C．0.94 D．0.95 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2K件产品皆为正品，则先取的1件为次品的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 设A＝收到“·”，B＝发出“·”，由贝叶斯公式P(B|A)＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A|B)＝0.95，P( | )＝0.95，现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(B|A)＝________(结果保留两位有效数字)． 0.087 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，则第二次 取出的3个球均为新球的概率为________． 设A＝“第二次取出的均为新球”， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化， 往往会去分析影响股票价格的基本因素， 比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%, 利率不变的概率为40%.根据经验， 人们估计， 在利率下调的情况下， 该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下， 其价格上涨的概率为40%, 则该支股票将上涨的概率为_______． 64% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正．一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4. (1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(4分) 解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率．(6分) 解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求： (1)从乙盒取出2个红球的概率；(4分) 解：设A1＝从甲盒取出2个红球；A2＝从甲盒取出2个白球；A3＝从甲盒取出1个白球和1个红球；B＝从乙盒取出2个红球．则A1，A2，A3两两互斥，且A1＋A2＋A3＝Ω，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时， 中靶的概率为 0.8; 用未校准的枪射击时， 中靶的概率为0.3.现从8 支枪中任取一支用于射击， 结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为____． 设B1＝{使用的枪校准过}, B2＝{使用的枪未校准}, A＝{射击时中靶}， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.083 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是______．(精确到0.001) 0.287 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，用一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含有50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批所结出的麦穗含有50颗以上麦粒的概率． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的安排上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.8，当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为 A．0.32 B．0.68 C．0.58 D．0.64 √ 设事件A1表示“乙球员担当前锋”，事件A2表示“乙球员担当中锋”，事件A3表示“乙球员担当后卫”，事件B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”，则P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.3×0.8＝0.42，所以当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛不输球的概率为1－0.42＝0.58. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力．某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有30%的学生写作能力被评为优秀等级．经调查知，该校大约有20%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占70%，现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，求该生写作能力被评为优秀等级的概率． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 概 率 与 统 计 返回 知识点二　全概率公式 1．公式：P(B)＝_______________________． 2．公式的推导：一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，如图所示， 从而P(B)＝P(BA＋B)＝________________． 由乘法公式可得全概率公式P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P()P(B|)． P(A)P(B|A)＋P()P(B|) P(BA)＋P(B) 1．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于 A． B． C． D． P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝. 3．一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜正确的概率为.在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确答案的概率是 A． B． C． D． 解：设Ai为“第i次按对密码”(i＝1，2)，则事件A“不超过2次就按对密码”可表示为A＝A1∪1A2. 解：设B为“密码的最后1位是偶数”，则由条件概率的性质可得P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＝＋＝. 1．已知P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)＝ A． B． C． D． A． B． C． D． 设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145. A． B． C． D． 5．电报发射台发出“·”和“－”的比例为5∶3，由于干扰，传送“·”时失真的概率为，传送“－”时失真的概率为，则接收台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为 A． B． C． D． ＝＝. Bi＝“第一次取出的3个球恰有i个新球”(i＝0，1，2，3)．由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝·＋·＋·＋·＝. P(|)＝＝＝0.8. P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝. 解：P(A1|B)＝＝＝＝. 解：设Bi＝“从这批种子任选的一颗种子是i等种子”，i＝1，2，3，4.A＝“从这批种子任选一颗，所结出的麦穗含有50颗以上麦粒”，则P(B2)＝0.02，P(B3)＝0.015，P(B4)＝0.01，P(B1)＝1－0.02－0.015－0.01＝0.955，由题设知P(A|B1)＝0.5，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.1，P(A|B4)＝0.05.利用全概率公式得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5. 解：设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过1小时为事件B，则P(A)＝30%＝0.3，P(B)＝20%＝0.2，P(A|B)＝70%＝0.7.因为P(A) ＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()，所以P(A|)＝＝＝＝0.2，即从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为0.2. $