3.1.2 排列与排列数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

3.1.2　排列与排列数 　 第三章　3.1　排列与组合 知识层面 1.通过实例，理解并掌握排列的概念．　 2.能利用计数原理推导排列数公式．　 3.能应用排列知识解决简单的实际问题. 素养层面 通过排列的学习，培养数学抽象素养，借助排列数公式及其推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 1．随着人们生活水平的提高，车辆拥有量迅速增长，汽车牌号仅用一个字母和数字表示已经不能满足需求，再加上许多车主还希望车牌号“个性化”，因此，汽车号码需要进行扩容． 问题1.鲁H·G12345与鲁H·G54321一样吗？ 提示：不同数字的顺序不同，号码就不同． 问题2.如果再增加一个字母(字母O、I除外，与数字0、1难以区分)，能建立一个数学模型算出多少个车牌号吗？ 提示：可以，建立如下模型：从24个字母与10个数字选出2个字母4个数字，按顺序填下列表格，有多少种填法，就有多少个车牌号． 问题导思 2．2023年WTT名古屋女子总决赛落下了战幕，国乒选手发挥出色，将女单、女双两个项目的冠军收入囊中．由运动员、教练员和后勤保障人员组成36人的某代表团为了记录这历史性一刻，要在会场站成一排合影留念． 问题3.这36人的排列顺序有多少种？ 提示：36×35×34×…×2×1. 问题4.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，如何计算？ 提示：n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)． 知识点一　排列 1．排列的概念 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照____________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． 2．全排列 m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 新知构建 一定的顺序 1．排列的定义中包含两个基本内容：一是“取对象”，二是“按照一定的顺序排列”．给出的n个对象是互不相同的，抽取的m个对象也是互不相同的． 2．一个排列就是完成一件事的一种方法；不同的排列就是完成一件事的不同方法． 3．在定义中“一定的顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面将要学习的组合的根本区别． 微提醒 3．相同排列的两个条件 (1)组成排列的对象______． (2)对象的排列顺序______． 警示　对象不完全相同或对象完全相同而排列顺序不同的排列，都不是同一个排列． 相同 相同 知识点二　排列数 1．从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A 表示． 警示　(1)“排列”与“排列数”是两个不同的概念，排列是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事．“排列数”是指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同排列的个数”，它是一个数． (2)符号A 中，总是要求n，m都是自然数，且m≤n. 2．排列数公式 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) n×(n－1)×(n－2)×…×2×1 n！ 1 1 1．排列数公式中连乘积的特点：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘； (2)对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式． 微提醒 1．(多选)下列问题中属于排列的为 A．10本不同的书分给10名同学，每人一本 B．10位同学互通一次电话 C．10位同学互通一封信 D．10个没有任何三点共线的点构成的线段 自主检测 由排列的定义可知AC是排列，BD不是排列． √ √ √ 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有 A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 √ 12 6 返回 8 合作探究 返回 题型一　排列的概念 　　 判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； 例1 思路点拨　判断是否为排列问题的关键是：选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题． 解：票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)选2个小组分别去植树和种菜； 解：植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)选2个小组去种菜； 解：不存在顺序问题，不属于排列问题． (4)选10人组成一个学习小组； 解：不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； 解：每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (6)某班40名学生在假期相互通信． 解：A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列 问题． 规律方法 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 对点练1.判断下列问题是否为排列问题． (1)从9种不同的小麦良种中选出4种，有多少种选法？ 解：从9种不同的小麦良种中选出4种，与顺序无关，不是排列问题． (2)从50件不同的产品中随机抽出5件来检查，有多少种不同的等可能结果？ 解：从50件不同的产品中随机抽出5件来检查，与顺序无关，不是排列问题． (3)5个人互送贺年卡1张，共送了多少张贺年卡？ 解：5个人互送贺年卡1张，与顺序有关，是排列问题． (4)从1，2，3，4，5中任取两个数相除； 解：从1，2，3，4，5中任取两个数相除，与顺序有关系，因此是排列问题； (5)10个车站，站与站间的车票． 解：10个车站，站与站间的车票，与顺序有关系，因此是排列问题． 题型二　排列数公式 　 　求解下列问题： (1)用排列数表示：(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)； 例2 思路点拨　用排列数公式的定义解答即可； 思路点拨　直接用排列数公式计算； 思路点拨　用排列数的公式展开得方程，然后求解，要注意x的取值范围，并检验根是否合理． 根据排列数公式，原方程化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)． 因为x≥3，两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝5 (因为x为整数，所以应舍去)． 所以原方程的解为x＝3. 规律方法 应用排列数公式时应注意的三个方面 1．准确展开．应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确． 2．合理约分．若运算式是分式形式，则要先约分后计算． 3．合理组合．运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性． 所以x＝7，8. (3)求证：(n＋1)！－n！＝n·n！. 解：证明：因为(n＋1)！－n！＝(n＋1)·n！－n！＝(n＋1－1)n！＝n·n！，所以原等式成立． 题型三　简单的排列问题 　 (1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共 可以组成多少个？ 例3 思路点拨　可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排列数公式． 解：方法一：把1，2，3，4中任意一个数字排在第一个位置上，有4种排法；第一个位置排好后，第二个位置上的数字就有3种排法． 由题意作树形图，如下． 故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个． 方法二：从4个数字中任取2个，其排列个数为A ＝4×3＝12. (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 思路点拨　可采用树形图的方法列举，也可以直接利用排列数公式． 解：由题意作树形图，如下． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 规律方法 利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 1．适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式； 2．策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列． 对点练3.(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？ 解：从5个不同的科研小课题中选出3个，由3个学习兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列． 因此共有A ＝5×4×3＝60种不同的安排方法． (2)12名选手参加校园歌手大比赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有多少种不同的获奖情况？ 解：从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有A ＝12×11×10＝1 320种不同的获奖情况． 易错点　忽视排列数公式的隐含条件致误 易错精析 典例 易错分析　在排列数公式A 中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解没有考虑到x－2>0，8≥x，导致错误． 误区警示　注意公式的适用条件．数学中有好多公式、定理、法则等都是有限制条件的，如在排列数公式A 中，m，n∈N*，n≥m，忽视限制条件就可能导致错误． 化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，① 由①②及x∈N*得x＝8. 返回 随堂演练 返回 1．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 A．24种 B．23种 C．12种 D．11种 √ √ √ 0 4．(1)某农场要在4种不同类型的土地上，分别试验种植A，B，C，D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案？ 解：由题意，A，B，C，D四个不同品种的小麦在4种不同类型的土地上全排列， (2)从1，2，3，4，5这5个数字中，任取2个不同的数字作为一个点的坐标，一共可以组成多少个不同的点？ 解：因为坐标由横坐标和纵坐标组成，且有一定的顺序，所以由排列数的定义可得满足条件的坐标有A ＝5×4＝20个，故一共可以组成20个不同 的点． 返回 课时测评 返回 1．(多选)下列问题属于排列问题的是 A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算 根据题意，依次分析选项： 对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去扫地，选出的2人不存在顺序问题，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，选出的5人不存在顺序问题，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．(多选)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，这十个数字组成无重复数字的五位数，且1不能在个位，则关于这样的五位数的个数，下列表示正确的有 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是 A．9 B．10 C．18 D．20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数，某校园学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，每天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“礼”和“数”不能相邻，“射”和“御”必须相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有 A．24种 B．72种 C．96种 D．144种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 分两步进行： 480 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(4分) (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(6分) 解：从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343种． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以(x－5)(x－6)＝90.解得x＝－4(舍去)，x＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 化简得(11－x)(10－x)>6，所以x2－21x＋104>0， 即(x－8)(x－13)>0，所以x<8或x>13. 又2≤x≤9，x∈N*，所以2≤x<8，x∈N*.故x＝2，3，4，5，6，7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(多选)由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(15分)5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)教师站在4名学生中间；(2分) (2)2名女生必须相邻；(3分) (3)2名男生互不相邻；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4)教师不站中间，女生不站两端．(6分) 解：分两类： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(7分)(新定义)(多选)对于正整数n，定义“n！！”如下：当n为偶数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…6·4·2；当n为奇数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)…5·3·1；则下列命题中正确的是 A．(2 025！！)·(2 024！！)＝2 025! B．2 024！！＝2 024·1 012! C．918！！的个位数是0 D．211！！的个位数是5 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，(2 025！！)·(2 024！！)＝(2 025·2 023·2 021…5·3·1)·(2 024· 2 022 ·2020…6·4·2)＝2 025！，故A正确；对于B，2 024！！＝2 024×2 022×…×10×8×6×4×2＝21 012·1 012！，故B错误；对于C，因为10×8×6×4×2＝3 840，个位数是0，所以918！！＝918×916 ×…×10×8×6×4×2的个位数是0，故C正确；对于D，因为1×3×5×7×9＝945，个位数是5，211！！＝211×209×…×9×7×5 ×3×1的个位数是5，故D正确．故选ACD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(8分)设S＝1·1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！，则S＝_____________． 返回 (n＋1)！－1 S＝1·1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n]＝(n＋1)！－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 排 列 、 组 合 与 二 项 式 定 理 返回 $