3.1.2 排列与排列数-2021-2022学年高二数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

第三章 排列､组合与二项式定理 3.1排列与组合 3.1.2 排列与排列数 知识梳理 1.排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m个元素，并按照一定的顺序排一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列的定义应注意的问题: （1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”. （2）只有当对象完全相同，并且对象的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列. （3）定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. （4）判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同对象中取出m个对象后，在安排这m个对象时是有序还是无序，有序就是排列问题，无序就不是排列问题. （5）写出一个问题中的所有排列的基本方法有:字典排序法、树形图法、框图法. 2.排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号表示.=n(n-1)(n-2)…(n-m+1). （1）排列数公式的阶乘表示 全排列数公式的阶乘表示:=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1. ①规定:1!=1，0!=1，=1.②排列数公式的阶乘表示:. （2）排列数的性质 ①=n;②=m. 辨析： “排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n个不同对象中，任取m个对象，按照一定顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”，它是一个数. 常见考点 考点一 排列的意义理解 典例1．已知下列问题： ①从甲､乙､丙三名同学中选出两名分别参加数学､物理兴趣小组； ②从甲､乙､丙三名同学中选出两人参加一项活动； ③从a，b，c，d中选出3个字母； ④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 根据排列的定义分别判断即可. 【详解】 ①选出的两名同学分别参加数学､物理兴趣小组与顺序有关，所以①是排列问题；②选出两人参加一项活动与顺序无关，所以②不是排列问题；③选出3个字母与顺序无关，所以③不是排列问题；④选出两个数字组成两位数与顺序有关，所以④是排列问题.所以①④是排列问题，共2个. 故选：B 变式1-1．下列问题是排列问题的是（ ） ①从2，3，5，7，9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？ ②从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ ③某班50名同学，每两人握手一次，共需握手多少次？ A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】 根据排列的定义判断即可； 【详解】 解：对于①从2，3，5，7，9中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少个不同的对数值？跟数的顺序有关，故属于排列问题； 对于②从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？跟数的顺序有关，故属于排列问题； 对于③某班50名同学，每两人握手一次，共需握手多少次？跟顺序无关，属于组合问题； 故选：B 变式1-2．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ） A．5 B．10 C．20 D．60 【答案】C 【分析】 计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可. 【详解】 此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数， 即共有=20(种)不同的送书方法. 故选：C. 变式1-3．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（ ） A．50 B．60 C．120 D．90 【答案】C 【分析】 根据排列的概念及排列数的计算公式，即可求解. 【详解】 由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上， 即将5本不同数学书全排列，故有种， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了排列的概念及排列数的计算，其中解答中熟记排列的概念是解答的关键，属于容易题. 考点二 排列数的计算 典例2．设，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先确定最大数，即，再确定因式的个数，根据排列公式即可求解． 【详解】 先确定最大数，即，再确定因式的个数，即，所以原式． 故选：A 变式2-1．等于（ ） A．9×3 B．93 C．9×8×7 D．9×8×7×6×5×4×3 【答案】C 【分析】 根据排列数的计算公式即可求出结果. 【详解】 根据排列数的计算公式可得， 故选：C. 变式2-2．a∈N*，且a<27，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据排列数的概念即可得到答案. 【详解】 从27－a到34－a共有34