8.2 一元线性回归模型及其应用（5大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用（5大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：求回归直线方程 2 题型二：利用回归直线方程对总体进行估计 3 题型三：线性回归分析 6 题型四：残差分析与相关指数的应用 10 题型五：非线性回归分析 14 拓展培优练 18 题型一：求回归直线方程 1．（2025·高二·广西桂林·期末）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表： 工作时间 2 4 5 6 8 工资 30 40 50 70 若对的线性回归方程为，则的值为（    ） A．56.5 B．58 C．60 D．62.5 【答案】C 【解析】由表格数据知：，， 由线性回归方程为， ，解得. 故选：C. 2．（2025·高二·全国·课后作业）已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（    ） A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 【答案】A 【解析】由和，得． 所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，， 由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为， 代入，求得， 故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得． 故选：A. 3．（2025·高三·天津·开学考试）已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（   ） A． B．变量与是负相关关系 C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点 【答案】D 【解析】对于A，易知， 又样本中心点在回归方程上，即, 所以，解得，即A错误； 对于B，由可知随着的增大而增大，因此变量与是正相关关系，即B错误； 对于C，由回归方程可知增加1个单位，的估计值增加3个单位左右，因此C错误； 对于D，回归方程必过样本中心点，即必过点，可得D正确. 故选：D 题型二：利用回归直线方程对总体进行估计 4．（2025·高二·江西九江·期末）2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单： 2023月份 5 6 7 8 9 月份代码 1 2 3 4 5 新能源车销售（万辆） 1.6 2.1 2.7 3.7 4.6 (1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程； (2)随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【解析】（1） ，， 关于的线性回归方程为. （2）根据表中数据可知，12月份月份代码为8 （万辆）， 估计2023年12月份该公司出售6.74万辆新能源汽车. 5．（2025·江西鹰潭·二模）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 月销售单价（单位：元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量（万件） 89 83 82 79 74 67 (1)若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由； (2)已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（1）中的计算正确的结果回答问题：当月销售单价为何值时，啇品的月销值额预报值最大，并求出其最大值. 【解析】（1）根据数据知，负相关，故排除乙， 又，， 由，可得过点， 由，可得不过点， 所以甲满足，丙不满足，故甲计算正确. （2）根据题意 ， 当时有最大值， 故当时，商品的月销售额预报值最大，最大值为万元. 6．（2025·江西·模拟预测）如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图. (1)根据图表的折线图数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到0.01）； (2)是否可以用线性回归模型拟合与的关系，若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合与的关系，请说明理由. （参考数据：参考公式：相关系数在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：） 【解析】（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得， ， ， 所以. 因为近似为0.96，所以与的线性相关程度较高. （2）由（1）知，与的相关系数近似为0.96，说明与的线性相关程度较高， 从而可以用线性回归模型拟合与的关系. 由及（1）得， ， 所以关于的回归方程为. 因为，所以 所以到2026年该市农村居民人均可支配收入超过2万元 题型三：线性回归分析 7．（2025·高二·全国·课后作业）今年全国两会召开前，有人大代表提议：要大力提高国产芯片的应用率，推动“卡脖子”及高端芯片的研发及应用，并加大政策刺激力度，在芯片的研发端、应用端等多方面研究和出台针对国产芯片全产业链条的鼓励措施．芯片作为集成电路上的载体，是影响一个国家现代工业的重要因素．某公司过去七年在芯片技术上的研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据统计如图： (1)由折线图可知y与x的关系可以用一元线性回归模型拟合，请根据折线图的数据，求出y关于x的经验回归方程（数据均保留整数）； (2)利用（1）中经验回归方程，求折线图中数据残差的平方和． 附：． 【解析】（1）由统计图的数据，可得， ， 又由 所以， 所以关于的经验回归方程为． （2）由统计图中的数据，以及（1）中的回归直线方程，可得如图所示的统计表： 2 3 4 6 8 10 13 13 22 31 42 50 56 58 19 23 27 35 43 51 63 残差 4 7 7 5 所以该组数据残差的平方和为． 8．（2025·高二·四川宜宾·期末）通过对某商品在六个城市的销售情况与广告投入的关系进行调研，得到一些统计量的值（如下表）.并发现该商品的销售额（单位：百万元）与其广告费（单位：万元）成线性相关.用模型进行拟合，得出相应的经验回归方程并进行残差分析绘制了如图所示的残差图，但在随后数据整理的过程中不小心将部分数据损坏. 城市 广告费万元 3 6 8 10 5 8 336 214 销售额/百万元 6 8 14 15 现将残差绝对值大于1的数据被视为异常数据，需要剔除. (1)剔除异常数据后，分别计算广告费、销售额的平均值； (2)求剔除异常数据后的经验回归方程；并估计当广告费为20万元时，销售额为多少. 参考公式： 【解析】（1）由题知，剔除城市D，E的数据后，广告费的平均值为： 销售额的平均值为：. （2）依题意，. . 所以. 即得： 当时，. 所以，估计当广告费为20万元时，销售额为百万元. 9．（2025·广西柳州·三模）某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价x（百元） 1 2 3 4 5 6 产品销量y（件） 91 86 p 78 73 70 附：参考公式：，． 参考数据：，，． (1)求p的值； (2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）； (3)用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数的分布列和期望． 【解析】（1）由，得， 解得． （2）， 而， ， ， 所求的线性回归方程为：； （3）由（2）可知，， 故有效数据为， 的取值可能为0，1， ， ， 则的分布列为 0 1 . 注：若第（2）问代整数计算： 所求的线性回归方程为： 由（2）可知，， 故有效数据为 的取值可能为 则的分布列为 0 1 2 题型四：残差分析与相关指数的应用 10．（2025·高三·陕西西安·阶段练习）2022年11月29日23时03分．我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十五运载火箭，成功将神舟十五号载人飞船送入预定轨道，顺利将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．某公司负责生产的A型材料是神舟十五号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造．根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 x 2 3 4 6 8 10 13 y 15 22 27 40 18 54 60 建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：； (1)根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小； (2)选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益． 回归模型 模型① 模型② 79.31 20.2 附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．． 【解析】（1）对于模型①， 对应的， 故对应的， 故对应的相关指数，对于模型②， 同理对应的相关指数，． （2）模型②拟合精度更高、更可靠． 故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为（亿元）． 11．（2025·高二·河南信阳·期末）华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 手机销量（部） 42 53 66 109 用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差. (1)求； (2)求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）； (3)求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）. 附：回归系数，相关系数，决定系数，. 【解析】（1），， 将代入，得，解得. （2）由，得， 由，得. 所以， . 所以，手机销量与月份的线性相关较强. （3）， 所以，，. 12．（2025·高二·重庆·阶段练习）某公司为了解年研发资金（单位：亿元）对年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程： ①；②． (1)求的值； (2)已知①中的残差平方和，②中的残差平方和，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值． 参考数据：，，，． 参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数． 【解析】（1）根据题意，，， 所以样本中心点为，代入经验回归方程， 得，解得. 所以的值为. （2）设经验回归方程①的决定系数为，由， 则， 设经验回归方程②的决定系数为，由， 则， 因为，所以经验回归方程②的拟合效果更好； 当时，， 所以年研发资金为20亿元时的年产值约为亿元． 题型五：非线性回归分析 13．（2025·高三·重庆·阶段练习）一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. (1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 【解析】（1）由残差图可知模型①的残差值比较分散和远离横轴，所以模型①平方和大于模型②的残差平方和， 所以应选择模型②. （2）（i）对于模型②：， 令，可得， 则， 可得，所以关于的经验回归方程为； （ⅱ）由（i）可得：，整理可得， ，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以当时，取到最大值，即取得最大值， 所以第12年活动当日营销成本的预测值最大. 14．（2025·高二·河北石家庄·阶段练习）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【解析】（1）将两边取对数得：， 令，则， 因为， 所以根据最小二乘估计可知：， 所以， 所以回归方程为，即. （2）甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 15．（2025·湖北荆州·一模）已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．    17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中， ． (1)根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由） (2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ② 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 【解析】（1）适宜； （2）由得， 令， ， ， 由图表中的数据可知， ， 所以， 则关于的回归方程为； （3）时，由回归方程，， 即鸡舍的温度为时，即的时段产量的预报值为，投入的陈本预报值为. 1．（2025·高二·江苏常州·期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：，新的经验回归方程为：， 则当时，，样本的残差为. 故选：C. 2．（2025·高二·广西桂林·期末）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表： 工作时间 2 4 5 6 8 工资 30 40 50 70 若对的线性回归方程为，则的值为（    ） A．56.5 B．58 C．60 D．62.5 【答案】C 【解析】由表格数据知：，， 由线性回归方程为， ，解得. 故选：C. 3．（2025·高二·黑龙江·期末）某类汽车在今年1至5月销量y（单位：万辆），如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 5 4.5 4 3.5 2.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．样本的相关系数为负数 B． C．当时，残差的绝对值为0.1 D．可预测当时销量约为1.5万辆 【答案】C 【解析】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，则样本的相关系数为负数，故A正确； 对于B，，所以，得，故B正确； 对于C，因为，所以当时，残差的绝对值为，故C错误； 对于D，当时，，所以预测当时销量约为1.5万瓶，故D正确， 故选：C. 4．（2025·高三·江苏·阶段练习）已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 【答案】D 【解析】， 增加两个样本点后的平均数为； ，， 增加两个样本点后的平均数为， ，解得：， 新的经验回归方程为：， 则当时，， 故选：D. 5．（2025·四川绵阳·一模）某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（   ） A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元 【答案】D 【解析】，， 因过点，故，得， 故当时，，得， 故选：D 6．（2025·高二·全国·课后作业）科研人员在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中发现，年龄（岁）和脂肪含量占比满足经验回归方程，若已知某个体在其两个年龄的脂肪含量占比相差，则两年龄相差（    ） A．15岁 B．17岁 C．18岁 D．20岁 【答案】C 【解析】设两个年龄分别为，脂肪含量占比分别为， 由得，即， 解得，故C正确. 故选：C 7．（2025·高二·全国·课后作业）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，增加两个样本点后的平均数为； ，，增加两个样本点后的平均数为， ，解得：，新的经验回归方程为：， 则当时，，样本的残差为. 故选：D. 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知一组数据大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为（     ）. A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】回归直线经过， 且，， 代入回归方程得：， 即， 所以当时，的最小值为. 故选：C. 9．（多选题）（2025·广东·一模）一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（   ） A．     样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【解析】由经验回归方程单调递减，可知样本负相关，故A正确； 由题意样本均值分别为， 由样本中心在经验回归直线上，代入回归直线解得，故B正确： 由图一的数据波动较大可得比更集中，所以，故C错误； 由图一的残差平方和较图二的残差平方和大可知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，故D正确． 故选：ABD 10．（多选题）（2025·高二·河南信阳·开学考试）下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（   ） A．线性回归方程至少经过点中的一个点 B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C．若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 【答案】BCD 【解析】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错； 对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确； 对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选： BCD. 11．（多选题）（2025·高二·浙江绍兴·期末）为研究某机器的连续使用时长（小时）和生产产品的合格率之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．经验回归直线的斜率可能不变 B．样本的线性相关程度更高 C．样本相关系数变小 D．残差平方和变小 【答案】ABD 【解析】由图知，若与所得经验回归直线的距离相同时，去掉后所得直线斜率不变，A对； 由于为两个特异点，且相对于其它点距离经验回归直线较远， 所以去掉后，样本的线性相关程度更高，样本相关系数变大，残差平方和变小，即B、D对，C错. 故选：ABD 12．（2025·高三·全国·专题练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量（单位：克）与食客的满意率的关系，通过调查研究发现选择函数模型来拟合与的关系，根据以下数据： 茶叶量克 1 2 3 4 5 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得关于的回归方程为 . （附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为）. 【答案】 【解析】对等式两边同时取对数，可得：， 易知：，， 则， ， ， ， 综上，可得：， 又有：， 可得. 故答案为：. 13．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如下表所示，由下表中的数据求得经验回归方程为，其中m为下表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当时，的值为 （百万元）． 科技投入x（百万元） 1 2 3 4 收益y（百万元） m m+3 15 18 【答案】 【解析】，则， 则， 则有，即，即， 故当时，. 故答案为：. 14．（2025·高三·安徽·阶段练习）已知n个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意，直线经过点，其中， 所以，从而． 故答案为： 15．（2025·高三·全国·专题练习）预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 万元．（结果用e表示） 【答案】 【解析】令，则，， 所以，则， 所以代入回归方程，则，可得万元． 故答案为：． 16．（2025·高二·全国·课后作业）已知和之间的一组数据如下表，与线性相关，且回归方程为为的方差的1.2倍，则当时， ． 0 1 2 3 5 【答案】/ 【解析】由表格中的数据，可得， 所以这组数据的样本中心点是， 又样本中心点满足线性回归方程， 代入得，即， 又因为数据的方差， 因为等于数据的方差的倍，所以，所以， 所以，所以时，． 故答案为：. 17．（2025·高三·全国·专题练习）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． (1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； (3)根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 【解析】（1）由散点图的变化趋势，知适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型． （2）由题意得：，， ， 所以． （3）令，估计2025年的企业利润为99.25亿元． 18．（2025·辽宁·模拟预测）将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示. 表1 10 20 30 40 50 50 65 70 95 120 (1)已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程； (2)为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在的消费者分别有轮次的抽奖机会. 已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望. 表2 消费金额 人数 6 22 25 35 8 4 表3 “幸运顾客”卡片数 3 2 其他情况 奖励金额（单位：元） 30 20 0 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为. 【解析】（1）依题意得， 则1700， ， 则， ， 故关于的经验回归方程为. （2）设表示参加一轮次抽奖所获得的奖励金额，则的可能取值为， 因为抽取一张卡片，抽到“幸运顾客”卡片的概率， 所以， ， ， 所以元， 所以元. 19．（2025·山东日照·一模）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：． 附：相关系数． 【解析】（1）由表中数据可得， ， 所以， 所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系． 而， 则所以 令，可得，所以1月10日到该专营店购物的人数约为109． （2）若选方案一､需付款元． 若选方案二､设需付款元，则的取值可能为， 则， ， 所以， 因此选择方案二更划算． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型及其应用（5大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：求回归直线方程 2 题型二：利用回归直线方程对总体进行估计 2 题型三：线性回归分析 5 题型四：残差分析与相关指数的应用 7 题型五：非线性回归分析 9 拓展培优练 12 题型一：求回归直线方程 1．（2025·高二·广西桂林·期末）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表： 工作时间 2 4 5 6 8 工资 30 40 50 70 若对的线性回归方程为，则的值为（    ） A．56.5 B．58 C．60 D．62.5 2．（2025·高二·全国·课后作业）已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（    ） A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 3．（2025·高三·天津·开学考试）已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示， 2 4 6 8 5 13 则下列说法正确的是（   ） A． B．变量与是负相关关系 C．增加1个单位，一定增加3个单位 D．该回归直线必过点 题型二：利用回归直线方程对总体进行估计 4．（2025·高二·江西九江·期末）2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单： 2023月份 5 6 7 8 9 月份代码 1 2 3 4 5 新能源车销售（万辆） 1.6 2.1 2.7 3.7 4.6 (1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程； (2)随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 5．（2025·江西鹰潭·二模）某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量和月销售单价数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示： 月销售单价（单位：元/件） 4 5 6 7 8 9 月销售量（万件） 89 83 82 79 74 67 (1)若用线性回归模型拟合与之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为：，和，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由； (2)已知该商品的月销售额为（单位：万元），利用（1）中的计算正确的结果回答问题：当月销售单价为何值时，啇品的月销值额预报值最大，并求出其最大值. 6．（2025·江西·模拟预测）如图是某市2016年至2022年农村居民人均可支配收入（单位：万元）的折线图. (1)根据图表的折线图数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到0.01）； (2)是否可以用线性回归模型拟合与的关系，若可以用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的回归方程（系数精确到0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超过2万元，若不可以用线性回归模型拟合与的关系，请说明理由. （参考数据：参考公式：相关系数在回归方程中，斜率和截距最小二乘估计公式分别为：） 题型三：线性回归分析 7．（2025·高二·全国·课后作业）今年全国两会召开前，有人大代表提议：要大力提高国产芯片的应用率，推动“卡脖子”及高端芯片的研发及应用，并加大政策刺激力度，在芯片的研发端、应用端等多方面研究和出台针对国产芯片全产业链条的鼓励措施．芯片作为集成电路上的载体，是影响一个国家现代工业的重要因素．某公司过去七年在芯片技术上的研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据统计如图： (1)由折线图可知y与x的关系可以用一元线性回归模型拟合，请根据折线图的数据，求出y关于x的经验回归方程（数据均保留整数）； (2)利用（1）中经验回归方程，求折线图中数据残差的平方和． 附：． 8．（2025·高二·四川宜宾·期末）通过对某商品在六个城市的销售情况与广告投入的关系进行调研，得到一些统计量的值（如下表）.并发现该商品的销售额（单位：百万元）与其广告费（单位：万元）成线性相关.用模型进行拟合，得出相应的经验回归方程并进行残差分析绘制了如图所示的残差图，但在随后数据整理的过程中不小心将部分数据损坏. 城市 广告费万元 3 6 8 10 5 8 336 214 销售额/百万元 6 8 14 15 现将残差绝对值大于1的数据被视为异常数据，需要剔除. (1)剔除异常数据后，分别计算广告费、销售额的平均值； (2)求剔除异常数据后的经验回归方程；并估计当广告费为20万元时，销售额为多少. 参考公式： 9．（2025·广西柳州·三模）某企业为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价x（百元） 1 2 3 4 5 6 产品销量y（件） 91 86 p 78 73 70 附：参考公式：，． 参考数据：，，． (1)求p的值； (2)已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）； (3)用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“有效数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效数据”个数的分布列和期望． 题型四：残差分析与相关指数的应用 10．（2025·高三·陕西西安·阶段练习）2022年11月29日23时03分．我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十五运载火箭，成功将神舟十五号载人飞船送入预定轨道，顺利将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．某公司负责生产的A型材料是神舟十五号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造．根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 x 2 3 4 6 8 10 13 y 15 22 27 40 18 54 60 建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：； (1)根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小； (2)选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益． 回归模型 模型① 模型② 79.31 20.2 附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．． 11．（2025·高二·河南信阳·期末）华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示： 月份 2 3 4 5 6 手机销量（部） 42 53 66 109 用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差. (1)求； (2)求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）； (3)求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）. 附：回归系数，相关系数，决定系数，. 12．（2025·高二·重庆·阶段练习）某公司为了解年研发资金（单位：亿元）对年产值（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，选用了两个回归模型，并利用最小二乘法求得相应的关于的经验回归方程： ①；②． (1)求的值； (2)已知①中的残差平方和，②中的残差平方和，请根据决定系数选择拟合效果更好的经验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20亿元时的年产值． 参考数据：，，，． 参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数． 题型五：非线性回归分析 13．（2025·高三·重庆·阶段练习）一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. (1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 14．（2025·高二·河北石家庄·阶段练习）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 15．（2025·湖北荆州·一模）已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位），对某种鸡的时段产蛋量（单位： ）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．    17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0 其中， ． (1)根据散点图判断， 与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由） (2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程； (3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， ② 0.08 0.47 2.72 20.09 1096.63 1．（2025·高二·江苏常州·期末）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·广西桂林·期末）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位：小时）与工资（单位：元）之间的关系如表： 工作时间 2 4 5 6 8 工资 30 40 50 70 若对的线性回归方程为，则的值为（    ） A．56.5 B．58 C．60 D．62.5 3．（2025·高二·黑龙江·期末）某类汽车在今年1至5月销量y（单位：万辆），如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 5 4.5 4 3.5 2.5 若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．样本的相关系数为负数 B． C．当时，残差的绝对值为0.1 D．可预测当时销量约为1.5万辆 4．（2025·高三·江苏·阶段练习）已知由样本数据=1，2，3，…，8组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和，得到新样本的经回归方程为.在新的经验回归方程下，当时，的估计值为（   ） A．3.25 B．3.4 C．3.7 D．3.85 5．（2025·四川绵阳·一模）某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（   ） A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元 6．（2025·高二·全国·课后作业）科研人员在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中发现，年龄（岁）和脂肪含量占比满足经验回归方程，若已知某个体在其两个年龄的脂肪含量占比相差，则两年龄相差（    ） A．15岁 B．17岁 C．18岁 D．20岁 7．（2025·高二·全国·课后作业）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知一组数据大致呈线性分布，其回归直线方程为，则的最小值为（     ）. A． B． C． D．无法确定 9．（多选题）（2025·广东·一模）一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为、，分布如图所示，且，则（   ） A．     样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 10．（多选题）（2025·高二·河南信阳·开学考试）下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（   ） A．线性回归方程至少经过点中的一个点 B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 C．若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位 D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是. 11．（多选题）（2025·高二·浙江绍兴·期末）为研究某机器的连续使用时长（小时）和生产产品的合格率之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．经验回归直线的斜率可能不变 B．样本的线性相关程度更高 C．样本相关系数变小 D．残差平方和变小 12．（2025·高三·全国·专题练习）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量（单位：克）与食客的满意率的关系，通过调查研究发现选择函数模型来拟合与的关系，根据以下数据： 茶叶量克 1 2 3 4 5 4.34 4.36 4.44 4.45 4.51 可求得关于的回归方程为 . （附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为）. 13．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）某企业近几年加大了对科技研发资金的投入，其科技投入x（百万元）与收益y（百万元）的数据统计如下表所示，由下表中的数据求得经验回归方程为，其中m为下表中科技投入x的4个数据的方差的8倍，据此经验回归方程预测，当时，的值为 （百万元）． 科技投入x（百万元） 1 2 3 4 收益y（百万元） m m+3 15 18 14．（2025·高三·安徽·阶段练习）已知n个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ． 15．（2025·高三·全国·专题练习）预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是 万元．（结果用e表示） 16．（2025·高二·全国·课后作业）已知和之间的一组数据如下表，与线性相关，且回归方程为为的方差的1.2倍，则当时， ． 0 1 2 3 5 17．（2025·高三·全国·专题练习）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． (1)根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润Y（单位：亿元）关于年份代码X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）中的判断结果，建立Y关于X的回归方程； (3)根据（2）的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据：，． 18．（2025·辽宁·模拟预测）将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示. 表1 10 20 30 40 50 50 65 70 95 120 (1)已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程； (2)为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在的消费者分别有轮次的抽奖机会. 已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望. 表2 消费金额 人数 6 22 25 35 8 4 表3 “幸运顾客”卡片数 3 2 其他情况 奖励金额（单位：元） 30 20 0 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为. 19．（2025·山东日照·一模）近期根据中国消费者信息研究报告显示，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数和时间第天之间的关系？若可用，估计1月10日到该专营店购物的人数；若不可用，请说明理由（人数用四舍五入法取整数，若相关系数，则线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，精确到0.01）； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案．方案一：购物金额每满100元可减5元；方案二：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考数据：． 附：相关系数． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$