7.5 正态分布-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦正态分布，系统涵盖正态曲线、特征、概率计算及3σ原则等核心内容。课堂导入通过问题导思，对比离散与连续型随机变量，结合身高、使用寿命等生活现象，联系二项分布等旧知，搭建知识支架。 其亮点在于任务驱动设计，通过正态曲线特点、概率计算、实际应用三任务展开，典例融入考试成绩、镓含量检测等实例，3σ原则应用结合电阻出厂判断。小结用表格梳理任务、方法与易错点，培养数学抽象、逻辑推理素养，助力学生理解应用，教师可高效开展教学。

7.5　正态分布 　 第七章 随机变量及其分布 单元学习六　正态分布 [单元整体设计]　正态分布是概率论中最重要的连续型概率模型.本单元的主要内容为正态密度曲线、正态密度函数、正态分布的特征、随机变量落入某个区域内的概率表示、正态分布的均值和方差、3σ原则及简单应用.学习计划1课时. 本单元内容重点是正态分布的特征、概率的表示、正态分布的均值、方差及其含义.难点是描述正态分布随机变量的概率分布.在研究的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 学习目标 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.　 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态 分布的特征，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　 3.了解正态分布的均值、方差及其含义并会用正态分布去解决 实际问题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　正态曲线及其特点 1 任务二　利用正态分布的特点求概率 2 任务三　正态分布的实际应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　正态曲线及其特点 返回 (阅读教材P83－86，完成探究问题1、2) 问题1.下列随机变量是不是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间. 提示：(1)是.(2)不是. 问题2.一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长，或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，还能使用二项分布、超几何分布来刻画吗？ 提示：不符合二项分布、超几何分布的特征，不能用它们刻画. 问题导思 1.正态曲线 函数f (x)＝，x∈R.其中μ∈R，σ＞0为参数.显然，对任意的x∈R，f (x)＞0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为___.我们称f (x)为______________，称它的图象为正态密度曲线，简称__________. 2.若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为_________________.特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从______________. 3.若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 新知构建 1 正态密度函数 正态曲线 X～N(μ，σ2) 标准正态分布 4.正态曲线的特点 (1)非负性：对任意的x∈R，f (x)＞0，它的图象在x轴的______. (2)定值性：曲线与x轴之间的面积为___. (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线_______对称. (4)最大值：曲线在_______处达到峰值. (5)当｜x｜无限增大时，曲线无限接近___轴. (6)当____一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着____的变化而沿x轴平移，如图①所示. 上方 1 x＝μ x＝μ x σ μ (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②所示. 理解正态分布要注意如下四点：(1)μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布.(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数(数学期望)；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.(3)正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等.(4)由一些相互独立的偶然因素所引起的，每一种偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，这一类随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布. 微提醒 (1)(多选)已知三个正态分布密度函数fi(x)＝ (x∈R，i＝1，2，3)的图象如图，则下 列结论正确的是 A.μ1＝μ2＞μ3 B.μ1＜μ2＝μ3 C.σ1＝σ2＞σ3 D.σ1＝σ2＜σ3 根据正态分布密度函数中参数μ，σ的意义，结合图象可知f2(x)，f3(x)对称轴位置相同，所以可得μ2＝μ3；且都在f1(x)的右侧，即μ1＜μ2＝μ3，比较f1(x)和f2(x)图象可得，其形状相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的离散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故选BD. √ 典例 1 √ (2)(双空题)设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x)的图象，且f (x)＝(x∈R)，则这个正态总体的平均数是____；标准差是____. 因为f (x)＝＝，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2. 10 2 规律方法 正态曲线中μ，σ的认识 利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，二是最值.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式. 对点练1.(1)函数f (x)＝(其中μ＜0)的图象可能为 函数f (x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除B，D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选A. √ (2)(双空题)如图，若一个随机变量X服从某正态分布N(μ，σ2)，且已知函数f (x)＝的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的均值E(X)＝_____，方差D(X)＝____. 由图象可知，当x＝5时，f (x)＝，所以μ＝5，σ＝1，所以X～N(5，1)，所以E(X)＝μ＝5，D(X)＝σ2＝1. 返回 5 1 任务二　利用正态分布的特点求概率 返回 (阅读教材P86，完成探究问题3、4) 问题3.若X～N(μ，σ2)，你能求P(X＝a)吗？P(X＜μ)呢？ 提示：P(X＝a)＝0；P(X＜μ)＝. 问题4.一般情况下，发生的概率小于0.27％的事件，称为小概率事件.在一次试验中小概率事件几乎不可能发生，如何理解？ 提示：(1)这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是有可能发生的.(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.27％的犯错可能. 问题导思 1.正态分布的几何意义 若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概 率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为 图中区域B的面积. 2.服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_________； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_________. 新知构建 0.682 7 0.954 5 0.997 3 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 微提醒 设随机变量X～N(2，σ2)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1). (1)求c的值； 解：依题意，随机变量X～N(2，σ2)，且P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)， 由正态分布的对称性可知，＝c＝2，故c的值为2. (2)若σ＝3，求P(－4≤X≤8). 附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：若σ＝3，则X～N(2，9)，因此μ＝2，σ＝3， P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5. 故P(－4≤X≤8)≈0.954 5. 典例 2 1.(变条件)若σ＝2，求P(－4≤X≤8). 解：P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3， 故P(－4≤X≤8)≈0.997 3. 2.(变条件，变结论)若P(x＜3)＝0.6，求P(1＜X＜2). 解：依题意，得μ＝2，且P(X＜3)＝0.6， 则P(X≥3)＝P(X≤1)＝1－0.6＝0.4， 所以P(1＜X＜2)＝＝0.1. 变式探究 规律方法 利用正态分布求概率的两个方法 1.对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如：(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)； (2)P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). 2.“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 对点练2.(1)(多选)对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布N(72，82)，女生成绩Y服从正态分布N(74，62).则 A.P(X≤86)＜P(Y≤86) B.P(X≤80)＞P(Y≤80) C.P(X≤74)＞P(Y≤74) D.P(X≤64)＝P(Y≥80) √ √ √ X～N(72，82)，μ1＝72，σ1＝8；Y～N(74，62)，μ2＝74，σ2＝6.P(X≤80)＝P(X≤μ1＋σ1)，P(Y≤80)＝P(Y≤μ2＋σ2)，P(X≤80)＝P(Y≤80)；P(X≤88)＝P(X≤μ1＋2σ1)，P(Y≤86)＝P(Y≤μ2＋2σ2)，P(X≤88)＝P(Y≤86)；对于A，P(X≤86)＜P(X≤88)＝P(Y≤86)，故A正确；对于B，P(X≤80)＝P(Y≤80)，故B错误；对于C，P(X≤74)＞P(X≤72)＝＝P(Y≤74)，故C正确；对于D，P(X≤64)＝P(X≥80)＝P(Y≥80)，故D正确.故选ACD. (2)(双空题)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2). 若P(X≤－1)≥P(X≥3)，则实数μ的取值范围是__________；若μ＝5且P(X≤3)＝0.3，那么P(3≤X≤7)＝_____. (－∞，1] 0.4 由正态分布的对称性知，≤，解得μ≤1，所以实数μ的取值范围是(－∞，1]；因为μ＝5，所以正态密度曲线的对称轴为x＝5，所以P(3≤X≤5)＝0.5－P(X≤3)＝0.2，所以P(3≤X≤7)＝2P(3≤X≤5)＝0.4. 返回 任务三　正态分布的实际应用 返回 角度1　应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题 已知某地区高考二检数学共有8 000名考生参与，且二检的数学成绩X近似服从正态分布N(95，σ2)，若成绩在80分以下的有1 500人，则可以估计P(95≤X≤110)＝ A. B. C. D. 典例 3 √ 法一：依题意，得P(X＜80)＝＝，故P(95≤X≤110)＝P(80≤X≤95)＝P(X≤95)－P(X＜80)＝－＝.故选C. 法二：数学成绩在80分至95分的有4 000－1 500＝2 500人，由对称性，数学成绩在95分至110分的也有2 500人，故P(95≤X≤110)＝＝.故选C. 规律方法 应用正态分布解决实际问题中的概率与频数问题 解答此类问题的关键在于利用正态分布曲线的对称性把待求区间的概率向已知区间的概率进行等价转化，此过程体现了数形结合及转化与化归的数学思想. 角度2　3σ原则的实际应用 国家对化学元素镓(Ga)相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用，其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内，由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设xi(i＝1，2，…，17)表示一天的17次检测得到的镓含量(单位：％)的监测数据，并记监测数据的平均数＝xi，标准差s＝.设X表示镓合金中镓含量(单位：％)，且X～N(μ，σ2)，当k为正整数时，令pk＝P(μ－kσ＜X＜μ＋kσ)，根据表中的pk和值解答： 典例 4 k 1 2 3 pk 0.682 7 0.954 5 0.997 3 0.001 5 0.453 1 0.955 1 (1)记Z表示一天中抽取17次的镓含量X∉(μ－3σ，μ＋3σ)的次数，求P(Z＞0)及Z的均值； 解：由题意得1次监测镓含量X∈(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.997 3， 镓含量X∉(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.002 7， 所以P(Z＞0)＝1－P(Z＝0)＝1－0.997 317＝1－0.955 1＝0.044 9， 所以Z～B(17，0.0027)，所以E(Z)＝17×0.002 7＝0.045 9. k 1 2 3 pk 0.682 7 0.954 5 0.997 3 0.001 5 0.453 1 0.955 1 (2)当一天中至少1次监测镓含量X∉(μ－3σ，μ＋3σ)，就认为该天研制情况异常，需对研制过程作改进.已知某天监测数据的最小值为17，最大值为21，经计算得＝20，s＝0.82.若用该天监测数据得到的和s分别估计为μ和σ且X～N(μ，σ2)，利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进. 解：由＝20，s＝0.82估计得μ＝20，σ＝0.82， 所以(μ－3σ，μ＋3σ)＝(17.54，22.46)，发现最小值17∉(μ－3σ，μ＋3σ)， 所以该天至少1次监测镓含量17∉(μ－3σ，μ＋3σ)中，故必须作改进. k 1 2 3 pk 0.682 7 0.954 5 0.997 3 0.001 5 0.453 1 0.955 1 规律方法 应用正态分布的3σ原则解决实际问题 1.提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2). 2.确定一次试验中的取值a是否落入区间[μ－3σ，μ＋3σ]内. 3.作出判断：若a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设.若a∉[μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设. 对点练3.(1)一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000，52)，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，则下列结论正确的是 A.甲、乙两箱电阻均可出厂 B.甲、乙两箱电阻均不可出厂 C.甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D.甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 √ 依题意X～N(1 000，52)，所以μ＝1 000，σ＝5，所以μ－3σ＝1 000－15＝985，μ＋3σ＝1 000＋15＝1 015，[μ－3σ，μ＋3σ]＝[985，1 015]，因为1 011∈[985，1 015]，982∉[985，1 015]，所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂.故选C. (2)“双十二”网购狂欢节是继“双十一”后的又一次网络促销日，在这一天，许多网商还会进行促销活动，但促销力度不及“双十一”.已知某年“双十二”期间，某小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)，则该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为_____人.(若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ 0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3) A.16 B.18 C.20 D.25 √ 因为小区居民网上购物的消费金额(单位：元)近似服从正态分布N(600，10 000)， 所以P(X＞800)＝≈＝0.022 75，所以该小区800名居民中，网购金额超过800元的人数大约为0.022 75×800≈18.故选B. 返回 课堂小结 任务再现 1.正态曲线及其特点.2.利用正态分布的特点求概率.3.正态分布的实际应用及3σ原则 方法提炼 公式法、对称法、3σ法、数形结合法 易错警示 正态曲线中参数μ和σ含义混淆，不理解3σ原则在统计中的作用 随堂评价 返回 1.已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，P(X＞5)＝0.3，则P(3＜X＜4)＝ A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 由于X服从正态分布N(4，σ2)，P(X＞5)＝0.3，则P(4＜X＜5)＝0.5－0.3＝0.2，故P(3＜X＜4)＝P(4＜X＜5)＝0.2.故选B. √ 2.(多选)关于标准正态分布N(0，1)的概率密度函数f (x)＝·的说法中，正确的有 A.f (x)为偶函数 B.f (x)的最大值是 C.f (x)在x＞0时是单调递减函数，在x≤0时是单调递增函数 D.f (x)关于x＝1对称 √ √ √ 由正态分布的概率密度函数f (x)＝·，可得f (x)的图象关于x＝0对称，所以f (x)为偶函数，故A正确，D不正确；根据正态分布曲线的性质得，当x＝0时，函数f (x)取得最大值f (0)＝·e0＝，故B正确；根据正态分布曲线的性质，可得f (x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)单调递减，故C正确.故选ABC. 3.已知随机变量ξ～N(2，32)，若P(ξ＜a－3)＝P(ξ＞2a＋1)，则实数a的值为____. 2 依题意，得a－3＋2a＋1＝2×2，解得a＝2. 4.某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩X～N(82，16)，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4 000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为____.(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5) 返回 依题意，知μ＝82，σ＝4，P(82≤X≤90)＝×0.954 5＝0.477 25，P(X≥90)＝0.5－0.477 25＝0.022 75，4 000×0.022 75＝91. 91 课时分层评价 返回 1.若X～N(1，σ2)，且P(X＞2)＝0.10，则P(X＞0)＝ A.0.10 B.0.40 C.0.80 D.0.90 依题意，知X～N(1，σ2)，且P(X＞2)＝0.10，则P(X＜0)＝P(X＞2)＝0.10，故P(X＞0)＝1－P(X＜0)＝0.90.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝0.2，P(2≤ξ≤6)＝0.6，则μ等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 因为P(ξ＜2)＝0.2，P(2≤ξ≤6)＝0.6，所以P(ξ＞6)＝1－0.2－0.6＝0.2，即P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)，所以μ＝＝4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设随机变量X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图，则 A.μ1＞μ2 B.σ1＜σ2 C.P(X≤μ1)＞P(Y≥μ2) D.P(X≤μ2)＞P(Y≤μ1) √ X的密度曲线的对称轴在Y的密度曲线的对称轴的左边，即μ1＜μ2.X的密度曲线较为分散， Y的密度曲线较为集中，即σ1＞σ2，故A、B错误；因为P(X≤μ1)＝0.5，P(Y≥μ2)＝0.5，故C错误；因为P(x≤μ2)＞0.5，P(Y≤μ1)＜0.5，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知连续型随机变量X与离散型随机变量Y满足X～N(μ，μ2)(μ＞0)，Y～B(16，)，若X与Y的方差相同且P(2≤X≤4)＝0.3，则P(X≤4)＝ A.0.8 B.0.5 C.0.3 D.0.2 D(X)＝μ2，D(Y)＝16××(1－)＝4，因为D(X)＝D(Y)，所以μ2＝4，μ＝2，由对称性P(X＜2)＝0.5，故P(X≤4)＝P(X＜2)＋P(2≤X≤4)＝0.5＋0.3＝0.8.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.某次高二质量抽测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(96，144).已知参加本次考试的学生约有10 000人，如果小明在这次考试中数学成绩为120分，则小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5 A.第228名 B.第455名 C.第1 587名 D.第3 173名 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由X～N(96，144)，μ＋2σ＝96＋24＝120，μ－2σ＝96－24＝72，则P(72＜X＜120)＝0.954 5，故P(X≥120)＝＝0.022 75，10 000×0.022 75＝227.5≈228，故小明的数学成绩在本次抽测的名次大约是第228名.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若随机变量X～N(5，σ2)且P(X＜m)＝P(X＞n)，则下列选项正确的是 A.E(2X＋1)＝7 B.m2＋n2的最小值为50 C.P(X≥3＋σ)＞P(X≤3－σ) D.若P(X＞4)＝0.68，则P(5≤X＜6)＝0.32 √ √ 随机变量X～N(5，σ2)，对于A，E(X)＝5，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝11，故A错误；对于B，P(X＜m)＝P(X＞n)，有＝5，则m2＋n2≥(m＋n)2＝50，当且仅当m＝n＝5时等号成立，m2＋n2的最小值为50，故B正确；对于C，E(X)＝5，所以P(X≥3＋σ)＞P(X≤3－σ)，故C正确；对于D，因为随机变量X～N(5，σ2)，所以正态曲线的对称轴为直线x＝5，因为P(4＜X＜5)＝0.68－0.5＝0.18，所以P(5≤X＜6)＝0.18，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知X～N(μ，σ2)，P(X≥－1)＋P(X≥3)＝1，且P(X≤－2)＝0.2，则P(－2≤X≤4)＝_______. 0.6 因为P(X≥－1)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≥3)＝P(X≤－1)，则μ＝1.因为P(X≤－2)＝0.2，所以P(－2≤X≤4)＝1－2×0.2＝0.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400，σ2)(单位：g)，某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415 g，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出σ的最大值是___. 依题意，知μ＝400，由3σ原则，得400＋3σ≤415，解得σ≤5，所以σ的最大值是5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.节约能源是人类面临的重大课题，为了更好地配置电力资源，某市电力部门调查了一年的居民用电量，发现每户居民该年用电量X(单位：千瓦时)服从正态分布N(1 000，σ2)，且P(800≤X≤1 200)＝，在该市随机抽取500户居民，设这500户居民中该年用电量超过1 200千瓦时的户数为ξ，则E(ξ)＝_____. 100 由正态分布的对称性知P(X＞1 200)＝[1－P(800≤X≤1 200)]＝，则ξ～B(500，)，所以E(ξ)＝500×＝100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下(单位：mm)：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209.设这10个数据的均值为μ，标准差为σ. (1)求μ和σ； 解：μ＝(192＋192＋193＋197＋200＋202＋203＋204＋208＋209)＝200， σ2＝[82＋82＋72＋32＋02＋22＋32＋42＋82＋92]＝36， 故σ＝＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知这批零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N(μ，σ2)，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径(单位：mm)分别为：186，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试.并说明你的理由. 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3，0.997 34≈0.99. 解：依题意，得X～N(200，36)， P(200－18＜X≤200＋18)≈0.997 3， 即P(182＜X≤218)≈0.997 3，而5个零件的内径186，190，198，204，213均出现在(μ－3σ，μ＋3σ]＝(182，218]内， 根据3σ原则，可以认为设备正常，这台设备不需要调试. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知随机变量X～N(1，σ2).若P(1≤X≤3)＝0.3，设事件A＝“X＜1”，事件B＝“｜X｜＞1”，则P(A｜B)＝ A. B. C. D. √ 因为随机变量X～N(1，σ2)，且P(1≤X≤3)＝0.3，所以P(X＞3)＝0.5－0.3＝0.2，所以P(X＜－1)＝P(X＞3)＝0.2，｜X｜＞1，即X＞1或X＜－1，所以P(｜X｜＞1)＝P(X＞1)＋P(X＜－1)＝0.5＋0.2＝0.7，所以P(A｜B)＝＝＝＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)小明上学有时乘公交车，有时骑自行车.他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20 min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24 min，样本标准差为2.已知若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则～N(0，1).假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则 A.X～N(20，6) B.～N(0，1) C.若某天有28 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车 D.若某天有25 min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，知X～N(20，62)，～N(0，1)，故A错误，B正确；若有28 min可用，分别设随机变量X，Y的平均数和方差为μX，σX，μY，σY，则P(｜Y－24｜≤4)＝P(｜Y－μY｜≤2σY)＝P(｜X－μX｜≤2σX)＝P(｜X－20｜ 25≤12)＞P(｜X－20｜≤8)，故P(X≤28)＜P(Y≤28)，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确；若有25 min可用，则P(X≤25)＝P(≤)，P(Y≤25)＝P(≤)，因为～N(0，1)，～N(0，1)，故P(X≤25)＞P(Y≤25)，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某市高中数学统考(总分150分)，假设考试成绩X服从正态分布N(95，122).如果按照16％，34％，34％，16％的比例将考试成绩从高到低分为A，B，C，D四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的考试成绩等级为___.(参考数据：P(μ－σ≤X＜μ＋σ)≈0.68) B 数学考试成绩服从正态分布N(95，122)，则μ＝95，σ＝12，由于A，D等级的概率之和为16％＋16％＝32％≈1－P(μ－σ≤X＜μ＋σ)，所以P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)＝0.16，又因为P(μ－σ≤X＜μ)＝P(μ≤X＜μ＋σ)＝0.34，即P(83≤X＜95)＝P(95≤X＜107)＝0.34，故X≥107为A等级，95≤X＜107为B等级，83≤X＜95为C等级，X＜83为D等级，所以该同学的考试成绩等级为B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)某公司建有1 000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝376，σ2＝12 100，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在[266，596)内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”. (1)若P(X＜a)≥P(X＞2a－1)，求实数a的取值范围； 解：由正态分布的对称性可知，若P(X＜a)≥P(X＞2a－1)， 当2a－1≥376，即a≥时， 因为P(X＜a)≥P(X＞2a－1)， 所以有376－a≤2a－1－376，得a≥251； 当2a－1＜376， 即a＜时，要使P(X＜a)≥P(X＞2a－1)， 则有a－376≥376－(2a－1)，解得a≥251(舍去). 综上，实数a的取值范围为[251，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)该公司决定对每个“A级群”奖励1 000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取整数) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)≈0.997 3. 解：因为μ＝376，σ＝110， 所以P(X≥596)＝P(X≥μ＋2σ)≈－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.022 75， P(266≤X＜596)＝P(μ－σ≤X＜μ＋2σ) ＝P(μ－σ≤X＜μ＋σ)＋[P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)－P(μ－σ≤X＜μ＋σ)] ≈0.682 7＋(0.954 5－0.682 7)＝0.818 6， 所以A级群有1 000×0.022 8≈23个，B级群有1 000×0.818 6≈819个， C级群有1 000－23－819＝158个， 所以，公司大约需要准备奖金23×1 000＋819×500＋158×200＝464 100元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(创新题)已知(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋ anxn，随机变量ξ服从正态分布，其正态密度曲线如图 所示，若＝D(ξ)，则n＝ A.5 B.8 C.9 D.14 √ 由ξ的分布密度曲线知μ＝1，σ＝，所以D(ξ)＝σ2＝，根据展开式的通项公式可得，ak＝2k，k＝0，1，2，…，n，则＝＝·＝，解得n＝8.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，测量结果的误差X～N(0，)，要控制｜X｜≥的概率不大于0.002 7，至少要测量____次. (参考数据：P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3) 72 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 因为X～N(0，)，所以μ＝0，σ＝，依题意，得P(｜X｜≥)≤0.002 7，则P(｜X｜＜)≥1－0.002 7＝0.997 3，即P(－＜X＜)≥0.997 3，因为μ＝0，所以P(－3σ≤X≤3σ)＝0.997 3，所以3σ≤，所以≤，解得n≥72，所以至少要测量的次数为72次. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 随 机 变 量 及 其 分 布 返回 $