6.2.3-6.2.4 组合 组合数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦组合的概念、组合数公式及性质、简单应用，通过“选大学”等问题导思对比排列与组合，搭建从排列到组合的知识支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动数学抽象，通过典例解析与分层评价培养数学运算和建模能力，如教师选代表、套餐搭配等实例。小结提炼方法与易错点，助力学生系统掌握，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

6.2.3　组合　　6.2.4　组合数 　 第六章 计数原理 学习目标 1.通过实例，理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与 联系，培养数学抽象的核心素养.　 2.能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数公式和组合数 的性质，培养数学抽象的核心素养.　 3.能运用组合数的性质进行计算，会用组合及组合数公式解决 一些简单的组合问题，提升数学运算、数学建模的核心 素养. 任务一　组合的概念 1 任务二　组合数的概念、公式及性质 2 任务三　组合的简单应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　组合的概念 返回 (阅读教材P21－22，完成探究问题1、2) 问题1.张兵同学要在甲、乙、丙3所大学选2所大学作为自己的奋斗目标，共有几种不同的选择方式？ 提示：甲乙、甲丙、乙丙三种方式. 问题2.经过三年的努力奋斗，张兵梦想成真，准备从甲、乙、丙3所大学选2所大学作为第一志愿与第二志愿，有多少种报考方法？ 提示：甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙六种报考方法. 问题导思 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 新知构建 微思考 排列与组合有何区别与联系？ 提示：共同点：两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素；不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素顺序没有关系. 作为一组 (多选)以下四个问题，属于组合问题的是 A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.从1，2，3，…，9中任取出两个数求积 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 典例 1 √ √ 从1，2，3，…，9中任取两个数求积，因为乘法满足交换律，与顺序无关，是组合问题；从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A、D均与顺序有关.故选BC. 规律方法 组合概念的理解 区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起.区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化.若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题. 对点练1.判断下列问题是排列问题还是组合问题： (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ 解：4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关，是组合问题. (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ 解：选出的2个数分别作为分子和分母，结果是不同的，是排列问题. (3)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个元素的有 多少？ 解：已知集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题. (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 解：飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题；票价只与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题. 返回 任务二　组合数的概念、公式及性质 返回 (阅读教材P23－24，完成探究问题3) 问题3.我们知道表示从4个不同元素中选3个元素的排列数，不用列举法，怎么求从4个不同元素中选3个元素的组合数呢？ 提示：可设从4个不同元素中选3个元素的组合数为x，则x＝，即 x＝. 问题导思 1.组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 2.组合数公式 ＝＝，或＝.(n，m∈N*，且m≤n) 规定：＝1. 3.组合数的性质 性质1　＝； 性质2　＝＋. 新知构建 所有不同组合的个数 (1)m≤n，m，n∈N*；(2)＝＝常用于计算；＝常用于证明. 微提醒 (链教材P24例6)计算下列各式的值： (1)＋； 解：＋＝＋＝＋100＝5 050. 典例 2 (2)＋； 解：因为所以9.5≤n≤10.5. 因为n∈N*，所以n＝10. 所以＋＝＋＝＋＝＋31＝466. (3)＋＋…＋. 解：＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝＝330. 规律方法 组合数的计算问题 1.涉及具体数字的可以直接用公式＝＝ 计算. 2.计算时应注意组合数的两个性质的运用. 对点练2.(1)若＝，则＋＋…＋的值为 A.34 B.35 C.55 D.56 √ 因为＝，所以m＋m－2＝12⇒m＝7，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋－1＝－1＝55.故选C. (2)式子＋的值为 A.27 B.127 C.5 160 D.与n的取值有关 √ 由题中组合数的形式可知解得n＝3，所以＋＝＋＝27.故选A. 返回 任务三　组合的简单应用 返回 角度1　利用组合数公式证明恒等式或解方程(不等式) (1)若＞3，求正整数m. 典例 3 解：依题意，得0≤m－1≤8且0≤m≤8， 所以1≤m≤8，由＞3， 可得＞， 即＞，解得＜m≤8， 又因为m∈N*，所以m＝7或m＝8. (2)证明：·＝·. 解：证明：·＝·＝， ·＝· ＝， 因此，·＝·. 规律方法 1.组合数公式的乘积形式主要用于计算，阶乘形式的公式＝一般用于含字母的式子的化简、证明或解与组合数有关的方程(不等式). 2.要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*，并注意验证求解后所得结果是否符合题意. 对点练3.(1)解关于正整数x的方程：＋＝. 解：由＋＝， ＋＝， 得＝，即＝， 所以＝， 化简可得x(x－1)＝12，解得x＝4或x＝－3， 又∈N*，所以x＝4. (2)证明：n＝(k＋1)＋k. 解：证明：依题意可得，(k＋1)＋k＝(k＋1)＋k· ＝＋ ＝(n－k＋k) ＝n·＝n， 所以n＝(k＋1)＋k. 角度2　简单的组合问题 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即＝＝45种. 典例 4 (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ 解：可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师有种方法； 第2类，选出的2名是女教师有种方法. 根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21种不同的选法. (变设问)本例条件不变，现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种.根据分步乘法计数原理，共有不同的选法×＝15×6＝90种. 变式探究 规律方法 　　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 对点练4.(1)某单位为了解该公司员工家庭情况，用分层随机抽样方法作抽样调查，现从A部门和B部门共抽取3名员工，已知A部门和B部门分别有6名和3名员工，则不同的抽样结果共有 A.9种 B.18种 C.45种 D.90种 抽样比为6∶3＝2∶1，所以可以先从A部门抽取2名员工，再从B部门抽取1名员工，不同的抽样结果共有＝15×3＝45种.故选C. √ (2)(一题多解)学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二(1)班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为____. 法一：若高二(1)班有家长发言，共有种，若高二(1)班没有家长发言，共有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有＋＝30种. 法二：若从7名家长中任选3人，共有种情况，高二(1)班2名家长都发言的情况有种，所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有－＝30种. 30 返回 课堂小结 任务再现 1.组合的概念.2.组合数及组合数公式.3.组合数的简单应用 方法提炼 列举法、公式法、间接法、分类讨论思想 易错警示 排列与组合混淆；组合数公式中的隐含条件“n，m∈N*，m≤n”易忽略 随堂评价 返回 1.书架上有3本不同的数学书，4本不同的物理书，图书管理员从中任取2本，则不同的取法种数为 A.7 B.12 C.21 D.42 依题意可知不同的取法种数为＝＝21.故选C. √ 2.(多选)下列等式正确的是 A.＝ B.＝ C.＝＋ D.n＝m A是组合数公式，故A正确；B是组合数性质，故B正确；＝＋，故C错误；n＝n·，m＝m·＝·，两者不相等，故D错误.故选AB. √ √ 3.计算＝______. 依题意，＝6×5×4＝120，＝＝10，＝＝100，4！＝4×3×2×1＝24，3！＝3×2×1＝6，所以＝＝＝. 4.某快餐厅推出一种双人组合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯饮料，主食有5种可供选择，饮料有4种可供选择，且每份套餐中主食和饮料均不能重复，则这种双人套餐的不同搭配有多少种？(用数字作答) 解：先从5种主食选2种，有＝10种选法，再从4中饮料中选2种，有＝6种选法，所以共有10×6＝60种不同的搭配. 返回 课时分层评价 返回 1.下列四个问题属于组合问题的是 A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式 D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长 对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游和翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B，从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.“k＝2”是“＝”的__________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 √ 因为＝，所以k＝2k－2或k＋2k－2＝7，解得k＝2或3，故“k＝2”是“＝”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是 A. B. C. D. √ 依题意，一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，共7个球，从中取3个球，则有种取法.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.甲、乙两所学校从6个研学基地中各自选择3个进行研学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有2个相同的选法共有 A.60种 B.90种 C.180种 D.240种 依题意，这两所学校选择的研学基地中恰好有2个相同的选法有＝180种.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是 A.21 B.35 C.70 D.126 让两端的两盏灯亮着，再点亮中间11盏中的6盏，6盏灯有7个空格，从7个空格中随机的选5个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有＝＝21种.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某城市的街道如图，某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有 A.种 B.种 C.种 D.种 √ √ 从A地前往B地，最短的路程是向右走4次，向下走3次，共走7次，要从7次中选择3次向下走，剩下的向右走或选择4次向右走，剩下的向下走，故最短的走法有种.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若＝，则n＝_____. 4 由组合数的计算公式，可得＝＝＝，解得n＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知M＝{1，2，3，4}，且m∈M，n∈M，若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则这样的椭圆共有___个. 从集合M＝{1，2，3，4}中任取两个元素，按小的赋给m，大的赋给n即可得焦点在y轴上的椭圆，所以不同椭圆个数是＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某校开展劳动技能比赛，高三(1)班有3名男生，5名女生报名参赛，现从8名同学中选4名同学代表班级参加比赛，要求男女都有，则不同的选派方案共有_____种. 65 从8名同学中任选4名，有种方法，其中全是女生的选法有种，所以不同的选派方案共有－＝70－5＝65(种). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)(1)计算：； 解：＝＝－5. (2) 若 x＋＝4，求正整数x； 解：依题意，x＋＝4，则x2＋x(x－1)(x－2)＝，x≥3， 整理得x2－6x＋8＝0，而x≥3，所以x＝4. (3) 若 ＋＋＋…＋＝55，求正整数n. 解：＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋－1＝＋＋＋…＋－1＝＋＋…＋－1＝－1＝55， 因此＝56＝，即n＋1＝8，所以n＝7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为ai(i＝1，2，…，7)，若a1＜a2＜a3，a3＞a4＞a5，a5＜a6＜a7，则这样的数列共有 A.70个 B.71个 C.80个 D.81个 √ 若a5＝1，则这样的数列有＝45个；若a5＝2，则这样的数列有＝20个；若a5＝3，则这样的数列有＝6个，所以满足条件的数列共有45＋20＋6＝71个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知＝＋＋＋＋…＋，则n的值可能为 A.2 B.4 C.7 D.9 √ √ 由于＋＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝，所以＝＝，＝，得n＝4或7.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则其中女生有______人. 2或3 设男生有x人，则女生有(8－x)人.因为从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，所以×＝30，所以x(x－1)(8－x)＝30×2＝6×5×2或x(x－1)(8－x)＝5×4×3，所以x＝6，8－6＝2或x＝5，8－5＝3.所以女生有2或3人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)为了迎接到校访问的同学，需要分上午、下午和晚上三个组各安排5名本校学生作为志愿者负责接待，并要求下午组的志愿者不能与上午组、晚上组的重复.某班共有40名学生，其中22名女生和18名男生，现准备从中选择志愿者. (1)共有多少种选法？ 解：可以分三步完成：先选下午的志愿者，有种选法； 再选上午的志愿者，有种选法； 最后选晚上的志愿者，因为可以与上午的重复，所以有种选法， 因此，共有··种选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果下午组中有一名男生请假，需要从班上的非志愿者中选一名男生替代，那么至少有多少种选法？ 解：当志愿者全部是男生时，非志愿者中的男生人数最少，剩有3名， 则从班上的非志愿者中选一名男生替代，至少有＝3种选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.从1～12这12个整数中随机抽取3个，则这3个数的和能被3整除的情 况有 A.12种 B.64种 C.76种 D.80种 √ 在1～12中能被3整除的有3，6，9，12，除以3余数为1的有1，4，7，10，除以3余数为2的有2，5，8，11.抽取的3个数之和能被3整除的情况有：①抽到3个能被3整除的数，有＝4(种)；②抽到3个除以3余数为1的数，有＝4(种)；③抽到3个除以3余数为2的数，有＝4(种)；④抽到能被3整除、除以3余数为1、除以3余数为2的三种数各1个，有＝64(种).所以符合要求的情况有4＋4＋4＋64＝76(种).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(原创题)(双空题)产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，从产品中随机抽n件做检查，请计算当N＝16，M＝8时，＋＋＋＝______；若N＝2n，M＝n，请计算()2＋()2＋()2＋…＋()2＝______.(用组合数表示) 返回 ＋＋＋可以理解为从16件产品中抽取3件，以不合格产品数为分类标准得到的结果，而从16件产品中抽取3件共有种方法，所以＋＋＋＝；同理，对于()2＋()2＋()2＋…＋()2＝＋＋＋…＋可以理解为从2n件产品中抽取n件，以不合格产品数为分类标准得到的结果，而从2n件产品中抽取n件共有种方法，因此能得到()2＋()2＋()2＋…＋()2＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 计 数 原 理 返回 $