第19章 二次根式 单元复习题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第19章 二次根式 单元复习 一、单选题 1．下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．有下列说法：（1）2的平方根是；（2）与是同类二次根式；（3）与互为倒数；（4）的绝对值是．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若成立，则实数满足（  ） A． B． C． D． 6．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．11 B．6 C．2 D．1 7．估算的结果应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 8．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10． ． 11．化简：（1） ．（2） ． 12．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 13．已知，则 ． 14．比较大小： （填“＞”，“＜”或“＝”）． 15．写一个实数，使运算的结果为有理数，可以是 （写出一个即可）． 16．若为的小数部分，则的值为 ． 17．要使二次根式在实数范围内有意义，则能取的最小整数值是 ． 18．观察并分析下列数据：，，，，按上述规律，第个数据是 ． 19．在数轴上表示的点与表示的点之间的距离是 ． 20．已知，，则代数式的值为 ． 21．已知实数x，y满足，则的值为 ． 三、解答题 22．化简： (1)； (2)； (3)． 23．计算： (1)． (2)． 24．计算下列各式： (1)； (2)． 25．已知：，，分别求下列代数式的值： (1) (2) 26．某中学数学社团的同学，在一次社团活动中遇到了化简二次根式的难题． 【问题解决】 （1）聪明的小明同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，根据，因为，，所以______________，_____________，则可能得到化简．请将横线上缺少的数字写出来； 【学以致用】 （2） 请仿照小明的解题思路，化简二次根式． 27．观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数必须是非负数是解题的关键． 二次根式要求被开方数为非负实数，选项A的被开方数为负数，不符合定义． 【详解】解：A、被开方数为，不属于二次根式，符合题意； B、被开方数，属于二次根式，不符合题意； C、被开方数，属于二次根式，不符合题意； D、被开方数，属于二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】先化成最简二次根式，再判断即可． 【详解】解：A、不能与合并，故本选项不符合题意； B、，不能与合并，故本选项不符合题意； C、，能与合并，故本选项符合题意； D、，不能与合并，故本选项不符合题意. 故选C 【点睛】本题考查了同类二次根式和化为最简二次根式等知识点，能理解同类二次根式的定义是解此题的关键． 3．D 【分析】根据二次根式的加减乘除法则分别计算，即可判断． 【详解】解：A、，故正确，不合题意； B、，故正确，不合题意； C、，故正确，不合题意； D、不能合并，故错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的加减乘除运算法则． 4．A 【分析】根据二次根式，倒数，绝对值的含义判断即可解答． 【详解】解：对于（1），2的平方根是，2的算术平方根是，故（1）错误； 对于（2），与是同类二次根式，故（2）正确； 对于（3），，即与互为倒数，故（3）正确； 对于（4），由得的绝对值是，故（4）正确； 故错误的有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了同类二次根式、平方根、倒数以及绝对值，掌握平方根、同类二次根式、倒数以及绝对值的运算是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式能与合并，可知最简二次根式与是同类二次根式，据此求解即可． 【详解】解：简二次根式能与合并， 最简二次根式与是同类二次根式， 最简二次根式与是同类二次根式， ， ， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，不等式的性质，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，得出，然后再根据估算无理数的方法判断的范围即可．掌握“夹逼法”估算无理数的大小，二次根式的混合运算法则，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 在1和2之间，即的结果应在1和2之间． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则， 解得：， 故选：A． 10． 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握乘法法则是关键；利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11． 7 / 【分析】直接利用二次根式的性质和二次根式的乘法逆运算化简即可； 【详解】解：（1） （2） 故答案为：（1）7；（2）． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质和化为最简二次根式，正确掌握二次根式的性质，二次根式的乘法逆运算是解题关键． 二次根式的性质：；，二次根式的乘法逆运算：． 12．1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 13． 【分析】根据非负数的性质得到，，进而可求出b的值． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式和平方的非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．解题的关键是掌握二次根式和平方的非负数的性质． 14．＜ 【分析】比较两个无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【详解】∵， 而， ∴， 故答案为：＜ 【点睛】本题考查的是两个无理数的大小比较，可以用近似数比较，也可以进行适当转化进行比较． 15．（答案不唯一）． 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 16． 【分析】估算出在哪两个连续整数之间求得的值，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，解题的关键是估算出在哪两个连续整数之间． 17．１ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式．根据二次根式有意义的条件：被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴． ∴． m能取的最小整数是1． 故答案为：1． 18． 【分析】本题考查数字的变化规律，根据已知数据找准规律是解决问题的关键． 将题中数据化为统一形式，找准规律为，当时，代入求解即可得到答案． 【详解】解：将题中数据化为统一形式：，，，， 规律是， 则第个数据是， 故答案为：． 19． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，本题利用较大的数减去较小的数即可得到答案，熟记两点之间的距离公式是解本题的关键． 【详解】解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， 故答案为： 20．4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的计算，掌握配方法构造完全平方是解题的关键． 将代数式中的二次三项式分别配成完全平方形式，然后代入数值计算． 【详解】解：由完全平方公式，得 ，． 代入 ，，得 ，． 所以 ，． 因此原式 ． 故答案为：4． 21．19 【分析】本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．根据二次根式的非负性求出的值，得到的值即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ， ， 将代入， 原式， 故答案为：． 22．(1)当时，；当时， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）； （3）． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟知运算法则是正确解答此题的关键． （1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先用乘法公式计算，再算加减即可． 【详解】（1）解：      ； （2）解： ． 24．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并； （1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．(1) (2) 【分析】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握运算法则及乘法公式． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 26．（1），1；（2） 【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键． （1）根据题目所给方法对变形即可得解； （2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，1； （2）， ． 27．(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）， 验证： ， 故答案为：； （3） ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $