第四章 数列 数学归纳法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了数学归纳法的原理、应用及“归纳—猜想—证明”方法，通过问题情境（如多米诺骨牌）引入原理，分任务展开等式证明、不等式证明等应用，构建“原理—应用—评价”的知识网络。 其亮点在于采用“情境感知—典例示范—分层评价”模式，如用多米诺骨牌抽象原理培养数学抽象能力，通过归纳猜想问题（如整数分组求和）发展逻辑推理素养，分层评价题满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识巩固效果。

单元学习四　数学归纳法 　 第四章　数 列 　　[单元整体设计]　本单元内容为选学内容，不作为考试要求.数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，是证明与正整数n有关的数学命题的非常实用的研究工具，蕴含着丰富的数学文化和哲学思想. 通过具体情境，了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单问题，学习计划1课时. 　　本单元内容重点是数学归纳法的原理和应用，难点是数学归纳法的原理.通过学习数学归纳法的过程，积累从特殊到一般、猜想再证明的数学活动经验，提升数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题，培养逻辑推理的核心 素养. 内容索引 任务一　数学归纳法 1 任务二　用数学归纳法证明不等式 2 任务三　归纳—猜想—证明 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　数学归纳法 返回 (阅读教材P44－47，完成探究问题1，2) 问题1.如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ 提示：不能. 通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法. 不完全归纳法得到的结论不一定正确. 例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了. 问题导思 问题2.在多米诺骨牌游戏中，如何保证所有的骨牌全部倒下？ 提示：要保证任意相邻两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下. 像这样以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的推理方法叫做数学归纳法. 它是一种完全归纳的方法，虽有“归纳”这两个字，但其结论是正确的. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当_______________时命题成立； (2)(归纳递推)以“当______(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当_________时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从____开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 新知构建 n＝n0(n0∈N*) n＝k n＝k＋1 n0 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1？ 提示：不一定. 如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. 微思考 用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*). 证明：①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立. ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋ ＝＋＋…＋＋. 上式表明当n＝k＋1时，命题也成立. 由①②知，命题对一切正整数均成立. 典例 1 规律方法 对点练1.用数学归纳法证明： ＋＋…＋＝(n∈N*). 证明：①当n＝1时，＝成立. ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立. 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立. 返回 任务二　用数学归纳法证明不等式 返回 求证：＋＋＋…＋＜1－(n≥2，n∈N*). 证明：①当n＝2时，左边＝＝， 右边＝1－＝， 因为＜，所以不等式成立. ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立， 即＋＋＋…＋＜1－. 则当n＝k＋1时， ＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①和②可知，对任意n≥2的正整数，不等式均成立. 典例 2 1.用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 规律方法 2.常用的几点放缩技巧 (1)＜n＜； (2)＜＜(n∈N*，n＞1)； (3)＞＝2(－)； (4)＜＝2(－)(k∈N*，k＞1). 规律方法 对点练2.用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*). 证明：①当n＝1时，≤1＋≤，不等式成立. ②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立， 即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k， 则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋. 又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，不等式成立. 由①和②可知，不等式对所有的n∈N*都成立. 返回 任务三　归纳—猜想—证明 返回 将正整数进行如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，…分别计算各组包含的正整数的和，如下： S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， …… (1)求S7的值； 典例 3 解：S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175. (2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，试猜测S1＋S3＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明. 解：S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256；猜测S1＋S2＋…＋ S2n－1＝n4. 证明如下： 记Mn＝S1＋S3＋…＋S2n－1. ①当n＝1时，猜想成立. ②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，猜想成立，即Mk＝S1＋S3＋…＋S2k－1＝k4. 则当n＝k＋1时，由题设，可知Sn是由1＋2＋3＋…＋(n－1)＋1＝＋1开始的n个连续自然数的和，所以Sn＝＋＋…＋＝， 所以S2k＋1＝＝(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝4k3＋6k2＋4k＋1， 从而Mk＋1＝Mk＋S2k＋1＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，所以当n＝k＋1时猜想也成立. 由①②，可知对任意n∈N*，猜想都成立. 1.“归纳—猜想—证明”的解题步骤 规律方法 2.“归纳—猜想—证明”解决的主要问题 (1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和； (2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在； (3)给出一些简单命题(n＝1，2，3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题. [注意]　(1)计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；(2)猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；(3)如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明. 规律方法 对点练3.已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝，且a1＝(n∈N*). (1)求a2，a3的值； 解：因为an＝且a1＝(n∈N*)， 所以a2＝＝， 解得a2＝. 因为a3＝＝， 所以14a3＝a1＋a2＝＋， 解得a3＝. (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 解：由a1＝，a2＝，a3＝，猜想an＝. 证明如下： ①当n＝1时，a1＝，等式成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝， 由题设an＝，得ak＝， 所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)·＝， 当n＝k＋1时，ak＋1＝， 则Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， 则ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－. 因此k(2k＋3)ak＋1＝， 所以ak＋1＝ ＝， 即当n＝k＋1时等式成立. 由①②可知，对任意n∈N*，等式都成立. 返回 课堂小结 任务再现 数学归纳法的概念 方法提炼 1.有关等式证明：数学归纳法. 2.有关不等式证明：数学归纳法、放缩法. 3.有关“归纳—猜想—证明”问题：不完全归纳法、数学归纳法 易错警示 一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错 随堂评价 返回 1.用数学归纳法证明不等式2n＞(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n应等于 A.1 B.4 C.5 D.6 √ 逐个验证，当n＝6时成立. 故选D. 2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是 A.1 B.1＋a C.1＋a＋a2 D.1＋a＋a2＋a3 √ 当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确. 故选C. 3.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了 A. B.＋－ C. D.＋＋ √ 用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥的过程中，假设n＝k(k∈N*)时不等式成立，左边＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时， 左边＝＋…＋＋＋＋，所以从n＝k(k∈N*)到n＝k＋1时，不等式的左边增加了＋＋－＝＋－. 故选B. 4.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有__________. f(2n)＞ 所给不等式右侧的数依次为：，，，，，据此归纳可得f(2n)＞. 返回 课时分层评价 返回 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步应验证n等于 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 边数最少的凸n边形是三角形. 故第一步验证n＝3，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是 A.假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立 B.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立 C.假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立 D.假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立 √ k为正奇数时，与k相邻的下一个正奇数为k＋2，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上 A. B.－ C.－ D.＋ √ 因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－. 所以，左端应在n＝k的基础上加上－. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了 A.1项 B.k项 C.2k－1项 D.2k项 √ 用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，所以由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋＋…＋，共(－1)－2k＋1＝2k项. 故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 5.(多选)对于不等式 ＜n＋1(n∈N*)，某学生使用数学归纳法证明的过程如下： ①当n＝1时， ＜1＋1，不等式成立. ②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即 ＜k＋1，则n＝k＋1时， ＝＜＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是 A.证明过程全都正确 B.当n＝1时的验证正确 C.归纳假设正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 √ √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 2 n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求. 故选BCD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 2 6.(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞－1(n∈N*，n≥2)时，以下说法正确的是 A.第一步应该验证当n＝1时不等式成立 B.“n＝k(k∈N*，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是 C.从“n＝k(k∈N*，k≥2)到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项 D.当n＝2时，不等式左边是 √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 第一步应该验证当n＝2时不等式成立，故A不正确；因为＋＋＋…＋－(＋＋＋…＋)＝＋＋…＋(k∈N*，k≥2)，所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加的代数式是＋＋…＋，故B不正确；所以从“n＝k到n＝k＋1”左边需要增加2k－1项，故C正确；当n＝2时，＝，不等式左边是，故D正确. 故选CD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 7.用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________________. 从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－. ＋＋…＋＞－ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 5 3 1 2 8.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证__________________. 由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2. 故还需要再证n＝k＋2时等式成立. n＝k＋2时等式成立 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 1 2 9.(原创题)观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜_______. 由已知中的不等式1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，可知不等式的左边各式分子是1，分母值是从1开始的自然数的平方，右边分母与左边最后一项的分母的底数相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以不等式右边的第2 024项为＝，所以1＋＋＋…＋＜. 9 10 11 12 13 14 15 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)证明：对任意的n∈N*，不等式×××…×＞ 成立. 证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝，因为＞，所以不等式成立. ②假设当n＝k时不等式成立，即×××…×＞成立.则当n＝k＋1时， 左边＝×××…××＞×＝ ＝ ＝ ＞， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 由①②可知，不等式恒成立. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 1 2 11.用数学归纳法证明“5n－2n(n∈N*)能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为 A.5(5k－2k)＋3×2k B.(5k－2k)＋4×5k－2k C.(5－2)(5k－2k) D.2(5k－2k)－3×5k √ 假设当n＝k时命题成立，即5k－2k能被3整除.当n＝k＋1时，5k＋1－2k＋1＝5×5k－2×2k＝5(5k－2k)＋5×2k－2×2k＝5(5k－2k)＋3×2k. 故选A. 10 11 12 13 14 15 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 A.n＋1 B.2n C. D.n2＋n＋1 √ 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域. 故选C. 11 12 13 14 15 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(开放题)(多选)用数学归纳法证明＞对任意n≥λ(n，λ∈N*)都成立，则以下满足条件的λ的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ √ 取n＝1，则＝，＝，＞不成立；取n＝2，则＝，＝，＞不成立；取n＝3，则＝，＝，＞成立；取n＝4，则＝，＝，＞成立. 猜想当n≥3时， 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 1 2 ＞(n∈N*)成立.证明：当n＝3时，＝，＝，＞成立.设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，有＞成立，则当n＝k＋1时，有＝＝＝＝，令t＝，则＝＝3－，因为t＞，故＞3－＝，因为－＝＞0，所以＞＝，所以当n＝k＋1时，不等式也成立，由数学归纳法可知＞对任意的n≥3都成立. 故选CD. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 1 2 14.(15分)(开放题)是否存在a，b，c使等式()2＋()2＋()2＋…＋()2＝对一切n∈N*都成立？若不存在，请说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论. 解：取n＝1，2，3可得 解得a＝，b＝，c＝. 13 14 15 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 下面用数学归纳法证明()2＋()2＋()2＋…＋()2＝＝. 即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1). ①n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以等式成立； ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立， 即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立， 则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)， 所以当n＝k＋1时等式成立. 根据数学归纳法，由①②可知，当n∈N*时等式成立. 故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立. 13 14 15 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(17分)已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1(n∈N*). (1)求a2，a3，a4的值； 解：当n＝2时，a2＝2a1＋1＝3； 当n＝3时，a3＝2a2＋1＝7； 当n＝4时，a4＝2a3＋1＝15. (2)求数列{an}的通项公式； 解：由数列{an}满足an＝2an－1＋1， 可得an＋1＝2(an－1＋1)， 由a1＝1，可得a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，即数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*. 14 15 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (3)若数列{bn}满足b1＝1，bn＝＋2bn－1(n∈N*). 对任意的正整数n，是否都存在正整数m，使得am＝bn？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由. 解：对任意的正整数n，都存在正整数m，使得am＝bn. 由(2)可知an＝2n－1， 由bn＝＋2bn－1，可得bn＋1＝(bn－1＋1)2，则b2＋1＝(b1＋1)2＝22，b3＋1＝(b2＋1)2＝，b4＋1＝(b3＋1)2＝， 归纳得bn＋1＝(bn－1＋1)2＝， 即bn＝－1， 证明如下：①当n＝1时，b1＝－1＝1＝a1，符合题意； 14 15 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 ②假设当n＝k(k∈N*)时，bk＝－1， 当n＝k＋1时，bk＋1＋1＝(bk＋1)2，即bk＋1＝()2－1＝－1， 所以当n＝k＋1时猜想也正确. 由①②可知bn＝－1. 又am＝2m－1，所以对任意的正整数n，都存在正整数m＝2n－1，使得 am＝bn. 返回 14 15 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 谢 谢 观 看 单元学习四　数学归纳法 返回 $