5.3.2 第1课时 函数的极值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数极值的概念、求法及参数问题，通过庐山截面图情境导入，联系导数与单调性知识，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接导数应用的前后脉络。 其亮点在于情境化导入培养直观想象，分层任务设计（概念辨析、求极值、参数问题）提升数学运算与逻辑推理，如典例1结合导函数图像判断极值，典例3含参函数分类讨论。小结通过任务再现和方法提炼，帮助学生系统掌握，教师可利用分层评价提升教学效率。

5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值 　 第五章　单元学习七　导数在研究函数中的应用 学习目标 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，培养直观想象的核心素养. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，提升数学运算的核心素养. 3.体会导数与极值的关系，提升逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　函数极值的概念 1 任务二　求函数的极值(点) 2 任务三　由函数的极值(点)求参数的值或取值范围 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　函数极值的概念 返回 (阅读教材P90－91，完成探究问题1、2) 问题1.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同. ”说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点. 同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是附近的最低点. 如图是庐山某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示：在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷. 问题导思 问题2.你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示：以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧函数是单调递增的，且有f'(x)＞0，在x＝x1处的右侧函数是单调递减的，且有f'(x)＜0，函数图象是连续不断的，f'(x)的变化也是连续不断的，并且有f'(x1)＝0. 1.极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝___；而且在点x＝a附近的左侧___________，右侧___________，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，______叫做函数y＝f(x)的极小值. 2.极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝___；而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧___________，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，______叫做函数y＝f(x)的极大值. 3.极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为______. 新知构建 0 f'(x)＜0 f'(x)＞0 f(a) 0 f'(x)＞0 f'(x)＜0 f(b) 极值点 极值 (1)极值是函数的局部性质. 由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. (2)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. 微提醒 (1)极值点是点吗？ 提示：不是.极值点是函数取得极值时自变量的值，所以极值点是实数. 微思考 (2)函数的极小值一定小于极大值吗？ 提示：不一定. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3，5)内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增； ④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值. 则上述判断中正确的序号是________. 典例 1 ③⑤ 对于①，当x∈(3，4)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减， 当x∈(4，5)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以① 错误；对于②，当x∈时，f'(x)＞0，f(x) 单调递增，当x∈(2，3)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，所以②错误；对于③，当x∈(－2，2)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以③正确；对于④，当x∈ (－2，2)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，故当x＝－时，f 不是极大值，所以④错误；对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确. 故选③⑤. 　　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值. 规律方法 对点练1.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所 示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 如图，设f'(x)与x轴负半轴的两个靠近y轴的交点的 横坐标分别为c，d，其中c＜d，知在(a，c)，(d，b) 上f'(x)≥0， 所以此时函数f(x)在(a，c)，(d，b)上单调递增，在(c，d)上，f'(x)＜0，此时f(x)在(c，d)上单调递减，所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值.则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1. 故选A. √ 返回 任务二　求函数的极值(点) 返回 (阅读教材P91－92，完成探究问题3) 问题3.你能求出函数f(x)＝x3－3x的极值点吗？并判断是极大值点还是极小值点？ 提示：f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f'(x)＝0，得x＝1或x＝－1， 当x∈(－∞，－1)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 当x∈(－1，1)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增； 则函数f(x)＝x3－3x的极大值点为－1；极小值点为1. 问题导思 求可导函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f'(x)＝0，当f'(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是________； (2)如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是________. 新知构建 极大值 极小值 设x0是f(x)的一个极值点，则f'(x0)＝0.反之不一定成立. 例如，对于f(x)＝x3，虽然f'(0)＝0，但是x＝0不是极值点，也就是说导数为0的点可能不是函数的极值点. 即f'(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f'(x)的变号零点，才是函数的极值点. 微提醒 角度1　不含参函数求极值 (链教材P91例5)求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5； 典例 2 解：函数f(x)的定义域为R. f'(x)＝3x2－6x－9， 令f'(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x＝－1，或x＝3. 当x变化时，f'(x)， f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝－1时，f(x)有极大值，并且极大值为f(－1)＝10； 当x＝3时，函数f(x)有极小值，并且极小值为f(3)＝－22. (2)f(x)＝. 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞). f'(x)＝， 令f'(x)＝0，即1－2ln x＝0，解得x＝. 当x变化时，f'(x)， f(x)的变化情况如表所示. x (0，) (，＋∞) f'(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以当x＝时，f(x)有极大值，并且极大值为f()＝；无极小值. 角度2　含参函数求极值 求函数f(x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)的极值. 解：因为f(x)＝x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)， 所以f'(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a). 令f'(x)＝0，解得x＝2，或x＝2a. ①当a＝1时，2a＝2，因此f'(x)＝(x－2)2≥0， 故f(x)在R上单调递增，函数不存在极值. 典例 3 ②当a＜1时，2a＜2，当x变化时，f'(x)， f(x)的变化情况如表所示. 由上表可知， f(x)在(－∞，2a)和(2，＋∞)上单调递增，在(2a，2)上单调 递减. 因此当x＝2a时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2a)＝－a3＋4a2＋2； 当x＝2时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2)＝4a＋. x (－∞，2a) 2a (2a，2) 2 (2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ③当a＞1时，2a＞2，当x变化时，f'(x)， f(x)的变化情况如表所示. 由上表可知， 函数f(x)在(－∞，2)和(2a，＋∞)上单调递增，在(2，2a)上单调递减. 因此当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4a＋； 当x＝2a时，f(x)有极小值，并且极小值为f(2a)＝－a3＋4a2＋2. 综上，当a＝1时，函数不存在极值； 当a＜1时，函数的极大值为－a3＋4a2＋2，极小值为4a＋； 当a＞1时，函数的极大值为4a＋，极小值为－a3＋4a2＋2. x (－∞，2) 2 (2，2a) 2a (2a，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 1.利用导数求函数极值的方法与步骤 第一步(求定义域)：确定函数的定义域； 第二步(求导)：求函数的导数f'(x)； 第三步(令f'(x)＝0)：求出方程f'(x)＝0的根，即导函数f'(x)的零点； 第四步(列表)：用方程f'(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； 第五步(结论)：由f'(x)在方程f'(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况. [注意]　如果f'(x)在f'(x)＝0的根左右的符号相同，那么f(x)＝0在这个根处无极值. 规律方法 2.求含参函数的极值的方法 求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题. 讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f'(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论. 规律方法 对点练2.求下列函数的极值： (1)f(x)＝－x3－x2＋3x－3； 解：函数f(x)的定义域为R. f'(x)＝－x2－2x＋3， 令f'(x)＝0，即－x2－2x＋3＝0，解得x＝1，或x＝－3. 当x变化时，f'(x)， f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) f'(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以当x＝1时，f(x)有极大值，并且极大值为f(1)＝－； 当x＝－3时，f(x)有极小值，并且极小值为f(－3)＝－12. (2)f(x)＝(x＋1)2ex； 解：函数f(x)＝(x＋1)2ex的定义域为R， f'(x)＝2(x＋1)ex＋(x＋1)2ex＝(x2＋4x＋3)ex， 令f'(x)＝0，得x＝－3或x＝－1； 令f'(x)＞0，得x＜－3或x＞－1； 令f'(x)＜0，得－3＜x＜－1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，－3) －3 (－3，－1) －1 (－1，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当x＝－3时，f(x)取得极大值f(－3)＝4e－3. 当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝0. (3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜π)； 解：因为f(x)＝sin x(1＋cos x)(0＜x＜π)， 所以f'(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)＝cos x＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)， 令f'(x)＝0，得cos x＝或cos x＝－1. 当0＜x＜π时，x＝， 当x在区间(0，π)内变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (0，) (，π) f'(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以当x＝时，f(x)有极大值为；无极小值. (4)f(x)＝x－aln x(a∈R). 解：f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)， 由f'(x)＝1－＝，x＞0，知 ①当a≤0时，f'(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a＞0时，由f'(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f'(x)＜0， 当x∈(a，＋∞)时，f'(x)＞0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值. 返回 任务三　由函数的极值(点)求参数的值或取值范围 返回 (1)(易错题)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，求a，b得值； 解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2， 所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b， 依题意得 解得 但由于当a＝－3，b＝3时，f'(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去. 而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11. 典例 4 (2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围. 解：f'(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f'(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示. 所以解得m＞3. 故实数m的取值范围是(3，＋∞). 1.已知极值(点)求参数的注意点 (1)根据极值点处的导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须检验. 2.已知函数极值点的个数求参数取值范围的方法 已知函数极值点的个数求参数取值范围，其本质是函数存在变号零点问题，解决此类问题可转化为函数y＝f'(x)在区间(a，b)内变号零点的个数问题求解. 规律方法 对点练3.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则 A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 √ √ √ 函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f'(x)＝－－＝，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f'(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2， 于是显然a2bc＜0，即bc＜0，故A错误，B，C，D正确. 故选BCD. 对点练4.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a，b，c的值； 解：f'(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，x∈R. 法一：因为x＝±1是函数的极值点， 所以x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根. 由根与系数的关系知 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1， ③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. 法二：由f'(1)＝f'(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0， ① 3a－2b＋c＝0， ② 又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1， ③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. (2)试判断±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由. 解：f'(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，x∈R. 由(1)知f(x)＝x3－x， 所以f'(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1). 当x＜－1或x＞1时，f'(x)＞0， 当－1＜x＜1时，f'(x)＜0. 所以函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减. 所以当x＝－1时，函数取得极大值，即－1为极大值点； 当x＝1时，函数取得极小值，即1为极小值点. 返回 课堂小结 任务再现 1.函数极值的概念. 2.函数极值的判定及求法. 3.由函数的极值(点)求参数的值或取值范围 方法提炼 分类讨论思想、方程思想、数形结合思想 易错警示 导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 随堂评价 返回 1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f'(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是 A.在(1，2)上函数f(x)单调递增 B.在(3，4)上函数f(x)单调递减 C.在(1，3)上函数f(x)有极大值 D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点 √ √ √ 根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f'(x)＞0；x∈(2，4)时，f'(x)＜0，x∈(4，5)时，f'(x)＞0. 所以f(x)在(1，2)，(4，5)上单调递增，在(2，4)上单调递减，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是f(x)在[1，5]上的极小值点，所以A，B，C正确，D错误. 故选ABC. 2.函数y＝x＋ln x的极值情况是 A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 √ 函数的定义域为(0，＋∞)，因为y'＝1＋＞0，所以函数y＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，无极值. 故选D. 3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范 围为 A.(－1，2) B.(－3，6) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞) √ f'(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3(a＋6)＞0，解得a＞6，或a＜－3. 故选D. 4.函数f(x)＝x3－x2－3x＋2 025的极大值与极小值分别为m和n，则m－n＝_____. f'(x)＝x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)，在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)上f'(x)＞0，f(x)单调递增；在区间(－1，3)上f'(x)＜0，f(x)单调递减. 所以f(－1)是f(x)的极大值，即m＝f(－1)＝－－1＋3＋2 025＝＋2 025，f(3)是f(x)的极小值，即n＝f(3)＝9－9－9＋2 025＝－9＋2 025，所以m－n＝＋9 ＝. 返回 课时分层评价 返回 1.对于定义在R上的可导函数f(x)，f'(x)为其导函数，下列说法正确的是 A.使f'(x)＝0的x一定是函数的极值点 B.f(x)在R上单调递增是f'(x)＞0在R上恒成立的充要条件 C.若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大 D.若f(x)在R上存在极值，则它在R上一定不单调 √ 对于A，使f'(x)＝0的x不一定是函数的极值点，比如f(x)＝x3在x＝0处的导数值为0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，故A错误；对于B，f(x)在R上单调递增，但可能会在某点的导数值等于0.比如f(x)＝x3在R上单调递增，其中x＝0处的导数值为0 ，故B错误；对于C，若函数f(x)既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如f(x)＝x＋，在x＝－1处取得极大值－2，在x＝1处取得极小值2，极小值大于极大值，故C错误；对于D，根据极值的定义可知D正确. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.函数f(x)＝x－sin x在上的极小值点为 A. B. C. D. √ 由f(x)＝x－sin x，得f'(x)＝－cos x，令f'(x)＝0，x∈［0，］，得x＝.当x∈时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈时，f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以是函数的极小值点. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知x＝是函数f(x)＝xln(ax)＋1的极值点，则a＝ A. B.1 C. D.2 √ f'(x)＝ln(ax)＋1，因为x＝是f(x)的极值点，所以f'＝0即ln ＋1＝0，解得a＝1. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知函数f(x)＝x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为 A.(－∞，0)∪(1，＋∞) B.(0，1) C.(－∞，0]∪[1，＋∞) D.[0，1] √ 因为函数f(x)在R上无极值，所以f'(x)在R上无变号零点，又f'(x)＝x2－2mx＋m，所以Δ＝4m2－4m≤0，解得0≤m≤1. 故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(2025·广东潮州高二期末)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是 A.［2，］ B.(2，］ C.[2，＋∞) D.(2，＋∞) √ f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋. 要使函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上有极值，需f'(x)＝x－a＋在(0，2)上有变号零点. 令g(x)＝x＋，x∈(0，2)，则直线y＝a把函数g(x)的图象分成上下两部分.结合对勾函数g(x)的图象，得a＞2. 故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选)下列函数中，存在极值点的是 A.y＝x－ B.y＝2｜x｜ C.y＝－2x3－x D.y＝xln x √ 对于A，函数y＝x在R上单调递增，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，没有极值点；对于B，函数y＝2｜x｜为偶函数，且当x≥0时，y＝2｜x｜单调递增，所以当x＜0时，y＝2｜x｜单调递减，所以函数y＝2｜x｜在x＝0处取得极小值；对于C，函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点；对于D，函数y＝xln x，则y'＝ln x＋1(x＞0)，当x∈时，y'＜0，函数y＝xln x单调递减，当x∈时，y'＞0，函数y＝xln x单调递增，所以当x＝时，函数y＝xln x取得极小值. 故选BD. √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.(多选)已知函数f(x)的导函数y＝f'(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则 A.函数f(x)在x＝x1处有极小值 B.函数f(x)在x＝x2处有极小值 C.函数f(x)在区间(a，b)内有4个极值点 D.导函数f'(x)在x＝x3处有极大值 √ 对于A，在x＝x1附近的左侧，右侧均有f'(x)＜0，所以x1不是f(x)的极值点，故A错误；对于B，在x＝x2附近的左侧有f'(x)＜0，右侧有f'(x)＞0，所以函数f(x)在x＝x2处有极小值，故B正确；对于C，根据图象可知，f'(x)有4个零点，但在x＝0附近的左侧，右侧均有f'(x)＞0，所以0不是f(x)的极值点，故f(x)有3个极值点，故C错误；对于D，f'(x)在x＝x3附近的左侧单调递增，右侧单调递减，所以f'(x)在x＝x3处有极大值，故D正确. 故选BD. √ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数的解析式为_______________. 因为三次函数过原点，故可设为y＝ax3＋bx2＋cx，所以y'＝3ax2＋2bx＋c.又x＝1，x＝3是y'＝3ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根，所以所以y＝ax3－6ax2＋9ax，y'＝3ax2－12ax＋9a＝3a(x－1)(x－3)，又当x＝1时，f(x)极大值＝4，所以4a＝4，所以a＝1，当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，所以此函数的解析式为y＝x3－6x2＋9x. y＝x3－6x2＋9x 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点，则实数a＝____. 因为f'(x)＝＋2bx＋1，x＞0，由题意得所以a＝－. 经检验，符合题意. － 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)(2024·九省适应性测试)已知曲线y＝f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直. (1)求a； 解：因为 f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2， 所以f'(x)＝＋2x＋a，则f'＝＋2×2＋a＝＋a， 由题意函数f(x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点处的切线与直线2x＋3y＝0垂直， 可得×＝－1，解得a＝－3. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求f(x)的单调区间和极值. 解：由a＝－3，得f(x)＝ln x＋x2－3x＋2， 所以f'(x)＝＋2x－3＝＝，x＞0， 所以当0＜x＜时，f'(x)＞0，当＜x＜1时，f'(x)＜0，当x＞1时，f'(x)＞0， 故f(x)的单调递增区间为，f(x)的单调递减区间为， 故f(x)有极大值f＝ln ＋－3×＋2＝－ln 2， f(x)有极小值f＝ln 1＋12－3×1＋2＝0. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(易错题)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为 A.－1或3 B.1或－3 C.3 D.－1 √ 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a，所以f'(x)＝3x2＋2ax＋b，因为函数f(x)在x＝1处取得极大值10，所以f'(1)＝3＋2a＋b＝0①，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10②，联立①②，解得a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.当a＝－2，b＝1时，f'(x)＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)，f(x)在(－∞，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值10，不符合题意；当a＝－6，b＝9时，f'(x)＝3x2－12x＋9＝(x－1)(3x－9)，f(x)在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极大值10，符合题意. 综上可得，a＝－6，b＝9.则a＋b＝3. 故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选)已知函数f(x)＝x＋sin x－xcos x的定义域为[－2π，2π)，则 A.f(x)为奇函数 B.f(x)在[0，π)上单调递增 C.f(x)恰有4个极大值点 D.f(x)有且仅有4个极值点 √ 因为f(x)的定义域为[－2π，2π)，所以f(x)是非奇非偶函数，因为f(x)＝x＋sin x－xcos x， 所以f'(x)＝1＋cos x－(cos x－xsin x)＝1＋xsin x，当x∈[0，π)时， f'(x)＞0，则f(x)在[0，π)上单调递增.显然f'(0)≠0，令f'(x)＝0，得 sin x＝－，分别作出y＝sin x，y＝－在区间[－2π，2π)上的图象， 如图所示， 由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点. 故选BD. √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知函数f(x)＝在区间(a，a＋)(a＞0)上存在极值，则实数a的取值范围是__________. f'(x)＝，令f'(x)＝0，得x＝1，当x∈(0，1)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减，所以x＝1是函数f(x)的极大值点.又函数f(x)在区间(a＞0)上存在极值，所以a＜1＜a＋，解得＜a＜1. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)ex(a≤2，x∈R). (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间； 解：当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex， f'(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex， 令f'(x)＞0，解得x＜－2，或x＞－1， 令f'(x)＜0，解得－2＜x＜－1， 所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(－2，－1). 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. 解：存在.f'(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝(x＋a)(x＋2)ex， 当a＝2时，f'(x)≥0恒成立，f(x)无极值，当a≠2时，令f'(x)＝0，解得x＝－a，或x＝－2. 因为a＜2，所以－a＞－2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (－∞，－2) －2 (－2，－a) －a (－a，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝(4－a)e－2， 令f(－2)＝3，解得a＝4－3e2＜2，所以存在实数a，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新定义)若x1，x2为函数f(x)相邻的两个极值点，且在x1，x2处分别取得极小值和极大值，则定义f(x2)－f(x1)为函数f(x)的一个“极优差”. 那么，函数f(x)＝ex(sin x－cos x)(－≤x≤)的“极优差”为_______. eπ＋1 由题意，得f'(x)＝2exsin x(－≤x≤). 令f'(x)＝0，得sin x＝0，得x＝0或x＝π. 当x∈(－，0)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(0，π)时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(π，)时，f'(x)＜0，f(x)单调递减. 故f(x)的极大值为f(π)，极小值为f(0)，“极优差”为f(π)－f(0)＝eπ＋1. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)设函数f(x)的导函数为f'(x)，f'(x)的导函数为f″(x)，f″(x)的导函数为f‴(x).若f″(x0)＝0，且f‴(x0)≠0，则(x0，f(x0))为曲线y＝f(x)的拐点. (1)判断曲线y＝x6是否有拐点，并说明理由； 解：曲线y＝x6没有拐点，理由如下. 由函数y＝x6，可得y'＝6x5，y″＝30x4，y‴＝120x3， 由30x4＝0，得x＝0，则120x3＝0，所以曲线y＝x6没有拐点. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)已知函数f(x)＝ax5－5x3，若(，f())为曲线y＝f(x)的一个拐点，求f(x)的单调区间与极值. 解：由函数f(x)＝ax5－5x3， 可得f'(x)＝5ax4－15x2，f″(x)＝20ax3－30x＝10x(2ax2－3)，f‴(x)＝60ax2－30， 因为(，f())为曲线y＝f(x)的一个拐点，所以f″()＝0， 所以2a×－3＝0，解得a＝3，经检验，当a＝3时，f‴()≠0， 所以f'(x)＝15x4－15x2＝15x2(x2－1). 当x＜－1或x＞1时，f'(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；当－1＜x＜1时，f'(x)＜0，则f(x)的单调递减区间为(－1，1)，故当x＝－1时，f(x)取得极大值，且极大值为2； 当x＝1时，f(x)取得极小值，且极小值为－2. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第1课时　函数的极值 返回 $