5.1.2 第2课时 导数的几何意义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦导数的几何意义，涵盖切线方程、导函数概念及导数与单调性关系。通过问题导思结合教材阅读，从割线斜率过渡到切线斜率，衔接平均变化率与瞬时变化率，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以直观想象为核心，通过函数图象动态展示导数几何意义，结合数学运算设计典例与变式探究，如求曲线过点切线方程。规律方法总结清晰，分层评价体系完善，助力学生提升数学思维，教师可高效开展教学。

5.1.2　导数的概念及其几何意义 第2课时　导数的几何意义 　 第五章　单元学习五　导数的概念及其意义 学习目标 1.通过函数图象直观理解导数的几何意义，培养直观想象的核心素养. 2.会根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，提升数学运算的核心素养. 3.理解导函数的概念，会求简单函数的导函数. 内容索引 任务一　导数的几何意义 1 任务二　函数的单调性与导数的关系 2 任务三　导函数(导数) 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　导数的几何意义 返回 (阅读教材P66－68，完成探究问题1) 问题1.导数f'(x0)的几何意义是什么？ 提示：我们知道导数f'(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处 的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变 化情况，如图. 容易发现，平均变化率＝表示的是割线P0P的斜率，当P点沿着曲线无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线，因此函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f'(x0)，这就是导数的几何 意义. 问题导思 1.导数的几何意义 如图所示，割线P0P的斜率k＝. 记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数.因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f'(x0)就是___________的斜率k0，即k0＝＝_________. 新知构建 2.切线方程 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为_____________________. 切线P0T f'(x0) y－f(x0)＝f'(x0)(x－x0) 已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； 解：将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，所以切点P(1，1). y'｜x＝1＝＝＝ [3＋3Δx＋]＝3. 所以k＝y'｜x＝1＝3.所以曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. 典例 1 (2)求曲线C过点(1，1)的切线方程. 解：设切点为Q(x0，)， 则y'＝ ＝＝[3＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3， 所以y－＝3(x－x0).又切线过点(1，1)，则1－＝3(1－x0)，即(x0－1)(2－x0－1)＝0，解得x0＝1，或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，k1＝y'＝，相应的切线方程为y＋＝(x＋)，即3x－4y＋1＝0. 变式探究(变设问)本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 解：由 从而求得公共点为(1，1)或(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一个公共点(－2，－8). 利用导数的几何意义求切线方程的方法 1.若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f'(x0)(x－x0). 2.若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. [注意]　对于“过点P(x0，y0)的切线”，无论点P在不在曲线上，都要设切点坐标. 规律方法 对点练1.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示， 设＝a，则下列不等式正确的是 A.f'(1)＜f'(2)＜a B.f'(1)＜a＜f'(2) C.f'(2)＜f'(1)＜a D.a＜f'(1)＜f'(2) 由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，因为＝a，所以f'(1)＜a＜f'(2). 故选B. √ 对点练2.已知曲线y＝x3＋. (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； 解：因为P(2，4)在曲线y＝x3＋上， 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝＝＝4. 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程. 解：设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k＝＝， 所以切线方程为y－＝(x－x0)， 即y＝·x－＋. 因为点P(2，4)在切线上， 所以4＝2－＋，即－3＋4＝0， 所以＋－4＋4＝0， 所以(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1，或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0. 返回 任务二　函数的单调性与导数的关系 返回 (阅读教材P68－69，完成探究问题2) 问题2.函数的单调性和导数有什么关系？ 提示：如图所示， 当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h'(t0) ＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 当t＝t1时，函数的图象在t＝t1处的切线l1的斜率h'(t1)＜0， 这时，在t＝t1附近曲线下降，即函数在t＝t1附近单调递减. 当t＝t2时，函数的图象在t＝t2处的切线l2的斜率h'(t2)＜0，这时，在t＝t2附近曲线下降，即函数在t＝t2附近单调递减. 通过研究t＝t1和t＝t2发现直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明函数在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得缓慢. 问题导思 若f'(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝___； 若f'(x0)＞0，则函数在x＝x0处切线斜率k____0，且f'(x0)越大，说明函数f(x)图象变化的越快，即函数f(x)在x＝x0附近__________； 若f'(x0)＜0，则函数在x＝x0处切线斜率k____0，且｜f'(x0)｜越大，说明函数f(x)图象变化的越快，即函数f(x)在x＝x0附近__________. 新知构建 0 ＞ 单调递增 ＜ 单调递减 (1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是 A.f'(xA)＞f'(xB) B.f'(xA)＜f'(xB) C.f'(xA)＝f'(xB) D.不能确定 √ 典例 2 由导数的几何意义，f'(xA)，f'(xB)分别是在点A，B处切线的斜率，由图象可知，f'(xA)＜f'(xB). 故选B. (2)已知函数f(x)满足f'(x1)＞0，f'(x2)＜0，则在x＝x1和x＝x2附近的f(x)的图象大致是 √ 由f'(x1)＞0，f'(x2)＜0可知，f(x)的图象在x＝x1处切线的斜率为正，在x＝x2处切线的斜率为负. 故选D. 1.导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决. (1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画. f'(x0)＞0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f'(x0)＜0说明在x0附近曲线是下降的. (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢. 规律方法 2.导数几何意义中的两个关键点 关键点一：y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f'(x0)＞0；k＜0⇔f'(x0)＜0；k＝0⇔f'(x0)＝0. 关键点二：｜f'(x0)｜越大⇔在x0处瞬时变化越快；｜f'(x0)｜越小⇔在x0处瞬时变化越慢. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示， 则下列不等式正确的是 A.＜f'＜f' B.f'＜＜f' C.f'＜f'＜ D.f'＜＜f √ 根据导数的几何意义， 如图，f'，f'分别表示在点A，B 处切线的斜率，又kAB＝＝，由图可知f' ＜＜f'，故选B. 返回 任务三　导函数(导数) 返回 (阅读教材P69，完成探究问题3) 问题3.我们知道，求函数某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？ 提示：能. 这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f'(x0)＝可知f'(x)＝，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数. 问题导思 导函数的定义：从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y＝f'(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的_________(简称导数). y＝f(x)的导函数有时也记作____，即f'(x)＝y'＝ . 新知构建 导函数 y' f'(x)与f'(x0)有何关系？ 提示：f'(x)是f(x)的导函数，f'(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是f'(x)在x＝x0时的函数值. 微思考 (1)求函数y＝f(x)＝(x－1)2的导数； 解：y'＝ ＝ ＝＝2x－2. 典例 3 (2)求函数y＝x－在x＝2处的导数. 解：法一(导数定义法)： Δy＝(2＋Δx)－－(2－)＝Δx＋， ＝＝1＋， 所以＝(1＋)＝2， 所以y'｜x＝2＝2. 法二(导函数的函数值法)： Δy＝(x＋Δx)－－(x－) ＝Δx＋， ＝＝1＋， 所以y'＝＝＝1＋， 所以y'｜x＝2＝2. 利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤 第一步：确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数； 第二步：计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； 第三步：当Δx趋于0时，得到导函数f'(x)＝. [注意]　求函数f(x)在x＝x0处的导数可以利用导数定义法，也可以利用导函数的函数值法：即先求导函数f'(x)，再把x＝x0代入f'(x)得f'(x0). 规律方法 对点练4.(1)求函数y＝(x＞－1)的导函数； 解：令f(x)＝，则f'(x)＝ ＝ ＝ ＝＝. (2)已知函数f(x)＝x2－x，求f'(x)，f'(1). 解：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx， 所以＝2x＋Δx－. 所以f'(x)＝＝2x－，f'(1)＝2×1－＝. 返回 课堂小结 任务 再现 1.导数的几何意义. 2.函数的单调性与导数的关系. 3.导函数的概念 方法 提炼 方程思想、数形结合法 易错 警示 对导数的几何意义理解不到位；切线过某点，这点不一定是切点 随堂评价 返回 1.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f'(1)等于 A.4 B.－4 C.2 D.－2 √ 由导数的几何意义知f'(1)＝2. 故选C. 2.已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，所以＝x＋Δx＋1，所以f'(x)＝＝x＋1. 设切点坐标为(x0，y0)，则f'(x0)＝x0＋1＝3，所以x0＝2. 故选D. 3.某司机看见前方50 m处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车的速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是 √ 根据题意，刹车过程中，汽车速度呈下降趋势，排除选项C，D；由于是紧急刹车，则汽车速度下降非常快，则图象较陡，排除选项B. 故选A. 4.函数y＝(2x－1)2的导数是______________. y'＝4(2x－1) y'＝ ＝ ＝ ＝8x－4＝4. 返回 课时分层评价 返回 1.设f'(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 A.不存在 B.与x轴平行或重合 C.与x轴垂直 D.与x轴斜交 √ 因为f'(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知曲线y＝x2上一点A(3，9)，则在点A处的切线斜率为 A.3 B.6 C.9 D.18 √ k＝y'｜x＝3＝＝＝(6＋Δx)＝6. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若＝x2，则f的导函数f'等于 A.2x B.x3 C.x2 D.3x2 √ 由导数的定义可知， f'＝＝x2. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l， 则f(2)＋f'(2)等于 A.－4 B.－2 C.2 D.1 √ 直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0，则f(2)＝2.又由题意可知，f'(2)＝－1，所以f(2)＋f'(2)＝2－1＝1. 故选D. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选)在曲线y＝x3－x＋1的所有切线中，斜率的可能取值为 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 因为y＝x3－x＋1，所以k＝＝x2－1.当x＝0时，k有最小值－1，故只要k≥－1即可. 故选BCD. √ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选)若直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则 A.a＝－1 B.b＝3 C.k＝2 D.f'(1)＝3 √ f'(x)＝＝3x2＋a，f'(1)＝3＋a，由导数的几何意义可得，f'(1)＝k＝2，故D错误. 故选ABC. √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y'｜x＝2＝______. 因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y'｜x＝2 ＝3. 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为20，则P点坐标为_______. 令f(x)＝2x2＋4x，设点P(x0，2＋4x0)，则f'(x0)＝＝＝4x0＋4，令4x0＋4＝20，得x0＝4，所以2＋4x0＝48，所以P(4，48). (4，48) 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(易错题)过点(2，0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程为__________ _________________. 因为f(x)＝x3，设切点(x0，).则k＝＝[3＋3x0·Δx＋]＝3，所以在x＝x0处的切线方程为y－＝3(x－x0)，把点(2，0)代入并解得x0＝0，或x0＝3.当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为(3，27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.所以直线l的方程为y＝0，或27x－y－54 ＝0. y＝0， 或27x－y－54＝0 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知函数f(x)＝10x＋x2. (1)求； 解：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝10(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－10x－x2＝10Δx＋2xΔx＋(Δx)2， ＝＝10＋2x＋Δx. (2)求； 解：＝(10＋2x＋Δx)＝10＋2x. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (3)求f'(x)，f'(5)，f'(0). 解：由(2)知，f'(x)＝＝10＋2x， 则f'(5)＝10＋2×5＝20，f'(0)＝10＋2×0＝10. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是 函数f(x)的导函数f'(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a＜x1＜x2＜b，则有f'(a)＜f'(x1)＜f'(x2)＜f'(b)，根据导数的几何意义，可知函数y＝f(x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象，只有A选项符合. 故选A. √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选)(2025·山东聊城高二月考)已知函数f(x)的图象如图，f'(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是 A.f'(3)＞f'(2) B.f'(3)＜f'(2) C.f(3)－f(2)＞f'(3) D.f(3)－f(2)＜f'(2) √ 由函数f(x)的图象可知函数f(x)是单调递增的，且函数f(x)的图象在x＝2处的切线斜率大于在x＝3处的切线斜率，所以f'(2)＞f'(3)，故A错误，B正确；因为A(2，f(2))，B(3，f(3))，所以直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由图可知，f'(2)＞f(3)－f(2)＞f'(3)＞0，故C、D正确. 故选BCD. √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最小距离为_______. 由题意可得，当点P到直线y＝x－1的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－1，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y'＝f'(x)＝＝2x＝1，解得x＝，所以P，故点P到直线y＝x－1的最小距离为d＝＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(17分)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2，求直线l2的方程. 解：因为y'＝ ＝＝2x＋1，所以y'｜x＝1＝3， 所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3， 设直线l2与曲线相切于点P(x0，＋x0－2)， 则直线l2的方程为y－(＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0). 因为l1⊥l2，所以2x0＋1＝－，x0＝－， 所以直线l2的方程为3x＋9y＋22＝0. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(新情境)德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义. 设f'(x)是函数f(x)的导函数，若f'(x)＞0，∀x1，x2∈R，且x1≠x2，总有＜f，则下列选项正确的是 A.f(π)＜f(e)＜f(2) B.f'(π)＞f'(e)＞f'(2) C.f'(2)＜f(2)－f(1)＜f'(1) D.f'(1)＜f(2)－f(1)＜f'(2) √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 因为f'(x)＞0，∀x1，x2∈R(x1≠x2)，总有＜ f，所以y＝f(x)的图象是单调递增且向上凸起 的，如图所示. 所以f(2)＜f(e)＜f(π)，故A错误；因为f'(x)反映了函数f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f'(π)＜f'(e)＜f'(2)，故B错误；f(2)－f(1)＝，表示点A(1，f(1))与B(2，f(2))连线的斜率，由图可知f'(2)＜kAB＝f(2)－f(1)＜f'(1)，故C正确，D错误. 故选C. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.函数f(x)的图象如图所示，且f'(x)是f(x)的导函数，记 a＝f－f，b＝f'，c＝f'，则 A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b √ 设点A，B，则可以把a＝f－f ＝看成A，B(4，f(4))两点连线的斜率 k1，把b＝f'看成曲线在点A的切线斜率k2， 把c＝f'看成曲线在点B的切线斜率k3，再作出图形进行数形结合分析： 由图可得k3＞k1＞k2，即b＜a＜c. 故选B. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第2课时　导数的几何意义 返回 $