4.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、等差中项、通项公式及判定证明，通过天坛石板数、鞋号等生活实例导入，引导学生观察数列共同特征，在数列一般概念基础上，类比函数从一般到特殊的研究路径，构建“概念-性质-应用”的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过实例抽象概念培养数学抽象，如哈雷彗星时间预测引导发现公差；通过公式推导和构造新数列（如典例4递推式变形）提升逻辑推理，分层练习强化数学运算。学生能提升核心素养，教师可借助系统任务设计与评价体系优化教学。

4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 　 第四章　单元学习二　等差数列 　　[单元整体设计]　本单元内容是在学习数列一般概念的基础上，类比函数从一般到特殊的研究过程，按“概念、性质、应用”的顺序，探究第一类特殊数列——等差数列的概念、性质及应用.通过生活中的实例，抽象出等差数列的概念；由定义出发，推导出等差数列的通项公式，探究等差数列的通项公式与一次函数之间的关系；应用等差数列的通项公式解决数学问题和实际问题；利用等差数列的通项公式和性质推导出其前n项和公式，并举例说明前n项和公式在解决问题中的应用，学习计划4课时. 本单元内容重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式、前n项和公式及它们的应用.难点是等差数列前n项和公式的推导.在研究的过程中，体会代数运算、代数变换在数列研究中的价值，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养. 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列、等差中项的概念，培养数学抽象的核心素养. 2.理解等差数列通项公式的意义，掌握等差数列的通项公式、判断与证明方法，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系，培养直观想象、数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　等差数列的概念 1 任务二　等差中项 2 任务三　等差数列的通项公式 3 课时分层评价 6 任务四　等差数列的判定与证明 4 随堂评价 5 任务一　等差数列的概念 返回 (阅读教材P12—13，完成探究问题1) 问题1.观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，每一圈的石板数依 次为9，18，27，36，45，54，63，72，81； (2)全国统一鞋号中，成年女鞋的部分尺码(表示以cm为单位 的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5； (3)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间(年)：1682，1758，1834，1910，1986； (4)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗？ 问题导思 提示：对于(1)，我们发现18－9＝9，27－18＝9，36－27＝9，45－36＝9，54－45＝9，63－54＝9，72－63＝9，81－72＝9，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；对于(2)，24.5－25＝－0.5，…；对于(3)，1758－1682＝76，…，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1986＋76＝2062年. 对于(4)，10－10＝0，有同样的取值规律. 等差数列的概念 新知构建 文字 语言 如果一个数列从第___项起，每一项与它的________的差都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的公差，公差通常用字母___表示 符号 语言 an＋1－an＝___(d为常数，n∈N*) 2 前一项 同一个常数 常数 d d 等差数列的定义中，为什么要“从第2项起”？ 提示：第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合. 微思考 (链教材P15练习T1)判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的首项a1和公差d. (1)1，3，5，7，9，…； (2)9，6，3，0，－3，…； (3)1，3，4，5，6，…； (4)7，7，7，7，7，…； (5)1，，，，，…. 典例 1 解：(1)是，a1＝1，d＝2；(2)是，a1＝9，d＝－3；(3)不是；(4)是，a1＝7，d＝0；(5)不是. 　　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列. 规律方法 对点练1.(1)(多选)下列数列是等差数列的是 A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 √ √ √ 由等差数列的定义得，对于A项，d＝0，故是等差数列；对于B项，d＝3，故是等差数列；对于C项，d＝，故是等差数列；对于D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. 故选ABC. (2)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an} A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为－的等差数列 D.不是等差数列 √ 由3an＋1＝3an＋1，得an＋1＝an＋，即an＋1－an＝，所以数列{an}是公差为的等差数列. 故选B. 返回 任务二　等差中项 返回 (阅读教材P13，完成探究问题2) 问题2.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列吗？反之，是不是也成立？ 提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列.反之，a，b，c为等差数列，则有2b＝a＋c. 问题导思 新知构建 等差中项 a+b=2A (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝. (3)等差数列{an}中，an是an－k和 an＋k的等差中项，注意序号间的关系. 微提醒 (链教材P15练习T5)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 典例 2 解：因为－1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是－1与7的等差中项， 所以b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项， 所以a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，所以c＝＝5. 所以该数列为－1，1，3，5，7. 等差中项的应用策略 1.求两个数x，y的等差中项，根据等差中项的定义得A＝. 2.证明三项成等差数列，只需证明中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列. 规律方法 对点练2.(1)若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为 A.20 B.26 C.39 D.52 √ 因为5，x，y，z，21成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5，21的等差中项，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39. 故选C. (2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是 A.8 B.6 C.4.5 D.3 √ 因为m＋2n＝8，2m＋n＝10，所以3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以 2m－n和2n－m的等差中项是＝＝3. 故选D. 返回 任务三　等差数列的通项公式 返回 (阅读教材P13—15，完成探究问题3) 问题3.你能根据等差数列定义中的递推关系an－＝d(n≥2)，归纳出等差数列的通项公式吗？ 提示：设一个等差数列的首项为a1，公差为d，由等差数列的定义可知，an－＝d(n≥2)， an＝＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，……归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2). 问题导思 1.等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________. 新知构建 a1＋(n－1)d (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 微提醒 2.等差数列的通项公式与一次函数的关系 (1)若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d). ①点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为___，在y轴上的截距为_______. ②这些点的横坐标每增加1，函数值增加___. (2){an}的公差为d，则d＞0⇔{an}为______数列； d＜0⇔{an}为______数列；d＝0⇔{an}为常数列. d a1－d d 递增 递减 (链教材P15练习T4)在等差数列{an}中： (1)已知a1＝3，d＝2，求a6； 典例 3 解：由题意知a6＝3＋(6－1)×2＝13. (2)已知a1＝1，d＝2，an＝15，求n； 解：由题意知15＝1＋(n－1)×2，解得n＝8. (3)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； 解：由题意知 (4)已知a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，求an. 解：由题意知 所以an＝a1＋(n－1)d＝－11＋(n－1)×5＝5n－16，n∈N*. 等差数列通项公式的求法 1.知三求一：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 2.求法：(1)设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，利用方程思想求出a1与d，即可写出数列的通项公式； (2)已知等差数列中的两项时，利用an＝am＋(n－m)d求出公差d就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式. [注意]　对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式. 规律方法 对点练3.在等差数列{an}中，求解下列各题： (1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝______； 10 由a7＝a1＋6d，得8＝a1＋6×， 故a1＝10. (2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝______； － 由题意得 解得 (3)已知{an}的前3项依次为2，6，10，则a15＝_____； 58 由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58. (4)已知a985＝2 025，a2 025＝985，则a3 010＝____. 0 设公差为d，则a1＋984d＝2 025，a1＋2 024d＝985，解得a1＝3 009，d＝－1，所以a3 010＝a1＋3 009d＝3 009－3 009＝0. 对点练4.在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66. (1)求a2 025的值； 解：由题意知{an}是等差数列，设首项为a1，公差为d，则 所以a2 025＝2＋2 024×4＝8 098. (2)2 026是否为数列{an}中的项？若是，则为第几项？ 解：由(1)得，an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 令4n－2＝2 026，解得n＝507， 所以2 026是数列{an}中的第507项. 返回 任务四　等差数列的判定与证明 返回 已知数列{an}满足＝，且a1＝3(n∈N*). (1)证明：数列是等差数列； 典例 4 解：证明：由＝＝＝＝＝＋， 得－＝，n∈N*，故数列是等差数列. (2)求数列{an}的通项公式. 解：由(1)知＝＋(n－1)×＝，所以an＝，n∈N*. 变式探究 1.(变条件)本例中若将条件改为“a1＝4，an＝4－(n≥2)”，设问 不变. 解：(1)证明：因为an＝4－(n≥2)，所以an－2＝2－＝， 所以＝＝＝＋，得－＝(n≥2)， 所以数列为首项，以为公差的等差数列. (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝2＋，n∈N*. 2.(变条件)本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1”，证明为等差数列，并求{an}的通项公式. 解：由于＝2an＋， 所以－＝－＝1， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. 所以＝1＋(n－1)×1＝n. 所以an＝n·2n. 等差数列的判定与证明的方法 1.定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. 2.等差中项法：2＝an＋(n∈N*)⇔{an}为等差数列. 3.通项公式法：数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列. [注意]　(1)如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法，通项公式法不能作为证明方法. (2)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要说明一个数列不是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可. 规律方法 对点练5.(1)(双空题)已知正项数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，2＝＋(n∈N*，n≥2)，则an＝__________，a9＝____. 5 因为2＝＋(n∈N*，n≥2)， 所以数列{}是以＝1为首项， d＝－＝4－1＝3为公差的等差数列， 所以＝1＋3(n－1)＝3n－2， 所以an＝，n≥1. 所以a9＝＝＝5. (2)已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则其通项公式为an＝__________. n2(n∈N*) 由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故通项公式为＝n，所以an＝n2(n∈N*). 教材拓展2　等差数列的常见构造(源于教材P16例4) 当已知数列不是等差数列时，则需运用去分母、添项、取倒数、取对数等方法，将递推式变形，构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含an的关系式，进而求出an. 由递推关系推导等差数列的常见形式有： (1)转化为－＝常数，则数列是等差数列； (2)转化为－＝常数，则数列是等差数列； (3)转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； (4)转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； (5)转化为logman＋1－logman＝常数，则数列{logman}是等差数列(其中m＞0，且m≠1)； (6)转化为(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列. 说明：上述6种形式的方法要点是：结构统一的换元. (1)(2024·吉林长春高二期中)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，则其通项公式为an＝_____； 典例 5 　 由题意知对an＋1＝取倒数，得＝＝＋，即－＝，所以数列{}是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×＝，所以an＝. (2)在正项数列{an}中，a1＝1，2＋－＝0，n∈N*.则其通项公式为an＝_________； 　 递推关系式2＋－＝0中含有，为了获得 an＋1，an相齐的结构，需两边同时除以，得－＝2. 由a1＝1得＝1，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，故an＝. (3)(2025·甘肃兰州高二期中)已知数列{an}中，a1＝1，且2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，则其通项公式为an＝_______. 由2an＋1an＝(n＋1)an－nan＋1，得－＝2，所以数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，所以an＝. 返回 课堂小结 任务 再现 1.等差数列的概念. 2.等差中项. 3.等差数列的通项公式 方法 提炼 1.等差中项的应用策略：定义法. 2.等差数列的通项公式：公式法. 3.等差数列的判定与证明：定义法、等差中项法、通项公式法 易错 警示 在等差数列的定义中，应该把握好三个关键：即“第二项起”、“后项与前项的差”、“同一个常数”. 同时在证明中应注意验证“第一项”也满足条件 随堂评价 返回 1.(多选)下列数列中，是等差数列的是 A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 √ √ √ A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 故选ABD. 2.已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝ A.0 B.2 C.－1 D.－2 √ 因为数列{an}是等差数列，公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2＋3d＝2(2＋2d)，解得d＝－2. 故选D. 3.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是____. 46 d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46. 4.若数列{an}满足 ＝＋4且a1＝1，an＞0，则an＝________. (4n－3)2 因为＝＋4，所以－＝4，所以数列＝1为首项，4为公差的等差数列，所以＝＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝(4n－3)2. 返回 课时分层评价 返回 1.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于 A.90 B.96 C.98 D.100 √ 由题意知1＋3(n－1)＝298，解得n＝100. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为 A.an＝2n－5 B.an＝2n－3 C.an＝2n－1 D.an＝2n＋1 √ 因为等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，所以2(a＋1)＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以首项a1＝a－1＝1，公差d＝a＋1－(a－1)＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列 A.是公差为－3的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 √ 等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)，对比an＝－3n＋5，故公差为－3，首项为2. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则cos B的大小为 A. B. C.－ D. √ 因为A，B，C成等差数列，所以A＋C＝2B. 又A＋B＋C＝π，所以B＝，所以cos B＝cos ＝. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知数列{an}满足＝an－3，n∈N*，a1＝27，则下列说法正确的是 A.该数列为等差数列 B.公差为3 C.a5＝15 D.－3是该数列的第11项 √ 由条件可知－an＝－3.所以该数列为等差数列.公差为－3，a1＝27，故an＝－3n＋30.所以a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30＝－3得n＝11. 故选ACD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列命题中，正确的是 A.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 B.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列 C.若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列 D.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列 √ 对于A，因为a，b，c为等差数列，所以2b＝a＋c，所以2·(2b)＝2a＋2c，所以2a，2b，2c成等差数列，故A正确；对于C，因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列. 故C正确.对于B，D，由2b＝a＋c不一定得到2log2b＝log2a＋log2c与2×2b＝2a＋2c，故B，D项不正确. 故选AC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知首项为－24的等差数列{an}从第10项起为正数，则公差d的取值范围是__________. 易知an＝－24＋(n－1)d.由题意，可知第10项是该等差数列的第一个正数项，则＜d≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(开放题)写出同时满足下面三个条件的数列{an}的一个通项公式：an＝_________________________. ①{an}是递增数列；②{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2) ；③ a1－a3＋2a4＝4. 因为{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)，所以数列{an}是等差数列. 所以设公差为d，又{an}是递增数列，知d＞0，由a1－a3＋2a4＝4，得a1－(a1＋2d)＋2(a1＋3d)＝4，所以a1＋2d＝2.不妨令d＝1，所以a1＝0，所以an＝n－1(n∈N*)(答案不唯一). n－1(n∈N*)(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为______. 由等差中项的定义可得＋＝1，故a＋9b＝(a＋9b)(＋)＝＋＋10≥10＋2＝16(当且仅当a＝4，b＝时取等号). 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知等差数列{an}中，a1＝1，a2＋2a3＋a4＝12. (1)求a5＋a7的值； 解：因为a2＋a4＝2a3，a2＋2a3＋a4＝4a3＝12，所以a3＝3， 又a3＝a1＋2d，a1＝1，所以d＝1， 所以a5＋a7＝2a1＋10d＝12. (2)若数列{bn}满足bn＝a2n－1，证明：数列{bn}是等差数列. 解：证明：由(1)可知an＝n，所以bn＝a2n－1＝2n－1. 因为bn－bn－1＝(2n－1)－[2(n－1)－1]＝2(n≥2)， 所以数列{bn}是等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知数列{an}对于任意正整数m，n，有＝am＋an，若a2＝1，则a2 026＝ A.2 026 B.2 025 C.1 013 D.1 012 √ 由am＋n＝am＋an，令m＝1得an＋1－an＝a1，所以数列{an}是以a1为首项，a1为公差的等差数列，从而an＝a1＋(n－1)a1＝na1. 因为a2＝1，所以a1＝，a2 026＝1 013. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则下列结论正确的是 A.a4＝ B.a3＝1 C.d＝ D.d＝ √ 设数列的公差为d，则－＝4d，代入数据可得d＝，因此＝＋2d＝＋2×＝，故a4＝，＝＋＝＋＝，解得a3＝1. 故选ABD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(链教材P18T3)在等差数列{an}中，am＝n，an＝m(m≠n)，则下列说法正确的命题序号为__________. ①该数列的首项a1＝m＋n－1； ②该数列的公差d＝－1； ③该数列的第m＋n项＝0； ④该数列为递增数列. ①②③ 设首项为a1，公差为d， 则＝a1＋(m＋n－ 1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.由于d＝－1＜0，所以该数列为递减数列. 故正确的命题序号为①②③. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝. (1)证明：数列是等差数列； 解：证明：因为an＋1＝，所以an＋1－1＝－1＝，所以＝＝＋，所以－＝.因为a1＝3，所以＝，所以数列为首项，为公差的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求{an}的通项公式. 解：由(1)得＝＋(n－1)＝n， 所以an＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(新定义)在数列{an}中，若－＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.给出下列命题： ①数列{(－1)n}是“等方差数列”； ②若{an}是“等方差数列”，则{}是等差数列； ③若{an}是“等方差数列”，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是“等方差 数列”； ④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题的序号为__________. ①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于①，因为[(－1)n]2－[(－1]2＝0，所以{(－1)n}是“等方差数列”；对于②，根据“等方差数列”和等差数列的定义，易得{}是等差数列；对于③，设－＝p，当n≥2，n∈N*时，－＝－＋－＋－＋…＋－＝kp，为常数，故{akn}为“等方差数列”；对于④，数列{an}满足－＝p，an－＝d(p，d为常数，d为数列{an}的公差，n≥2，n∈N*)，若d＝0，则{an}为常数列.若d≠0，则两式相除得an＋an－1＝(n≥2，n∈N*)，所以an＝为常数，即{an}为常数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)(新定义)设数列{an}是等差数列，且公差为d. 若数列{an}中任意不同的两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. (1)若等差数列{an}中，a1＝4，d＝2，求证：数列{an}是“封闭数列”； 解：证明：因为a1＝4，d＝2， 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2， 所以对任意的s，t∈N*，s≠t，有as＋at＝(2s＋2)＋(2t＋2)＝2(s＋t＋1)＋2. 因为s＋t＋1∈N*， 所以as＋at是数列{an}中的项. 所以数列{an}是“封闭数列”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若an＝2n－7，试判断等差数列{an}是否为“封闭数列”，并说明理由. 解：数列{an}不是“封闭数列”. 理由如下： 因为an＝2n－7，所以a1＝－5，a2＝－3， 所以a1＋a2＝－8. 令an＝－8，即2n－7＝－8，可得n＝－∉N*. 所以数列{an}不是“封闭数列”. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 返回 $