精品解析：湖北襄阳市枣阳市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题

九年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B. “射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是必然事件 5. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．，测得，，则树高（ ）． A. a B. C. D. 7. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像上部高米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 在功（J）一定的条件下，功率（W）与做功时间（s）成反比例，（W）与（s）之间的函数关系如图所示，当时，请写出一个满足条件的的值____________． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．正面印有“四书”字样的书签，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是____________． 13. 已知圆锥的底面积为16cm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__cm2． 14. 如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为____________． 15. 如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 17. 如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点． （1）求m，n，k的值； （2）若若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限． 18. 某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． （1）求从2023年到2025年的年平均增长率； （2）为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 19. 在中，为直径，C为上一点． （1）如图①，过点C作的切线，与的延长线相交于点P，若，求的大小； （2）如图②，D为上一点，且经过的中点E，连接并延长，与的延长线相交于点P，若，求的大小． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长． 21. 如图，是的边上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某校开展综合与实践活动，小明所在的科学兴趣小组制作了一个物体发射器，他们选择运用数学知识对从地面竖直向上抛出一小球的运动轨迹进行技术分析，采用图象测距技术，获得了小球的某次运动数据．下表是小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）的部分数据，且与的函数关系是我们学过的一次函数、二次函数、反比例函数中的一种． 时间/ 高度/ （1）请从上述函数中选择一种合适的函数，求出它的函数关系式； （2）小球的飞行高度能否达到？请说明理由； （3）小球离地面的高度有两次与某建筑物的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知某建筑物的高度为，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 综合与实践 数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： （1）如图1，在矩形中，过点作于点，交于点． ①请写出一个与相似的三角形，并说明理由； ②当，时，求的长； （2）如图3，在四边形中，，，，点，分别在，上，且，垂足为．探究与的数量关系，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线位于第一象限上的一点，过点分别作轴交于点，轴交于点，求的最大值； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为，与轴交于点，设的顶点的横坐标为，的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当随的增大而增大，且抛物线将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效．作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】两边直接开平方法求解可得． 【详解】∵（4x-1）2=1， ∴4x-1=1或4x-1=-1， 解得：，, 故选C． 【点睛】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，则喷出水珠的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．把二次函数化为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即喷出水珠的最大高度是． 故选：B． 3. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 故选：． 4. 下列说法正确的是（ ） A. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B. “射击运动员射击一次，命中八环”是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件与不可能事件．解题的关键在于明确各名词的含义．依据各选项中事件的可能性进行判断即可． 【详解】解：A．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故选项正确，符合要求； B．射击运动员射击一次，命中八环是随机事件，故选项错误，不符合要求； C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是随机事件，故选项错误，不符合要求； D．“某彩票的中奖率是，买10张彩票一定中奖”是随机事件，故选项错误，不符合要求． 故选：A． 5. 如图，是的弦，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点，连接，交于点，连接．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的画法，垂径定理，圆周角定理，由作图可知垂直平分，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．，测得，，则树高（ ）． A. a B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质列出比例式即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：B． 7. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 8. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像上部高米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义．根据黄金分割的比例关系，结合所设未知数列出比例式，再整理为一元二次方程即可． 【详解】解：∵设雕像上部高米，雕像总高为2米 ∴下部高为米 ∵上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比 ∴ 交叉相乘得： 展开右边得： 移项合并同类项得： 故选：B． 9. 如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 解：以AB所在的直线为x轴，向右为正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，向上为正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，代入A点坐标（-2，0）， 得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2， 把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=±2， 所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4-4）米， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与轴的交点在轴下方，即可判断A，B选项，进而得出另一个交点为．进而当时，，即可判断C选项，根据抛物线与轴有两个交点，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，；对称轴为直线， ∴，即，故A选项正确； ∴ ∵抛物线与轴的交点在轴下方，， ∴，故B选项正确； ∵二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴另一个交点为， ∴根据函数图象可得：当时，，故C选项正确 ∵抛物线与轴有两个交点 ∴，故D选项错误， 故选：D． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 在功（J）一定的条件下，功率（W）与做功时间（s）成反比例，（W）与（s）之间的函数关系如图所示，当时，请写出一个满足条件的的值____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键．先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．正面印有“四书”字样的书签，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 总共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的有2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率为． 故答案为： 13. 已知圆锥的底面积为16cm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】利用圆面积公式求出半径，再利用扇形的面积公式即可解决问题. 【详解】设底面圆的半径为rcm． 由题意：π⋅r2＝16π， ∴r＝4（负根已经舍弃）， ∴圆锥的侧面积=⋅2π⋅4⋅6＝24π(cm2)， 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积计算公式. 14. 如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形相似的判定和性质等知识．由等边三角形的性质可知，，从而可得，．再根据，可求出，即证明，从而可证，得出，代入数据即可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵为边长为9的等边三角形， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点运动到点处时得出，勾股定理即可求解，当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点在点处时，，即 如图，连接，在中，， 当点运动到点处时，， ∴， ∴． 故答案为：，． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程根与系数的关系； （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到判别式，代入方程系数建立不等式求解即可； （2）先利用根与系数的关系得到与的表达式，再代入给定等式得到关于的方程，结合第一问的取值范围确定最终符合条件的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴      解得． 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根 ∴，  ∵  ∴        ∴或  解得，  ∵  ∴不符合条件，舍去 ∴． 17. 如图，一次函数与反比例函数（为常数，）交于两点，且一次函数与数交于点． （1）求m，n，k的值； （2）若若是反比例函数图象上的两点，，请直接写出点M，N各位于哪个象限． 【答案】（1） （2）M位于第三象限，N位于第一象限 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过代入法求出函数中的未知参数． （1）先将点坐标代入一次函数求出，进而得到一次函数解析式，再将点坐标代入一次函数求出，最后将点坐标代入反比例函数求出； （2）根据反比例函数的性质以及和的大小关系判断点所在象限． 【小问1详解】 解：把代入中，可得， 解得， 此时一次函数的解析式为． 点在一次函数的图象上， 把代入， 解得， ， 又点在反比例函数的图象上， 将代入中，可得， 解得， 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）知反比例函数解析式为，其图象在一，三象限，在每个象限内随的增大而减小． 已知，说明不在同一象限． 在第三象限值恒小于0，在第一象限值恒大于0，且， 位于第三象限，位于第一象限． 18. 某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． （1）求从2023年到2025年的年平均增长率； （2）为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）从2023年到2025年的年平均增长率为 （2）鸡场的长和宽分别为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得， 解得（舍去） 答：从2023年到2025年的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 19. 在中，为直径，C为上一点． （1）如图①，过点C作的切线，与的延长线相交于点P，若，求的大小； （2）如图②，D为上一点，且经过的中点E，连接并延长，与的延长线相交于点P，若，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的性质、圆周角定理、三角形外角的性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质可得，再根据圆周角定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答； （2）根据垂径定理得到，进而得到，再根据圆周角定理可得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵与相切于点C． ∴，即． ∵， ∴． 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：∵E为的中点， ∴，即． ∵在中，， ∴． ∴． ∵是的一个外角， ∴． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC． （1）求证：EF是⊙O的切线． （2）若∠CAO＝30°，BC＝2，求劣弧BC的长． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∵∠AEC＝90°， ∴∠OCF＝∠AEC＝90°， ∴EF是⊙O的切线； （2）π 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论； （2）根据圆周角定理求得∠ACB＝90°，然后利用含30°直角三角形的性质求得AB＝2BC＝4，然后用弧长公式即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAO＝30°，BC＝2， ∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4， ∴OB＝AB＝2， ∴的长为：＝． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，是的边上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质； （1）根据平行四边形的性质可得，进而证明 （2）证明，根据，，结合相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ 22. 某校开展综合与实践活动，小明所在的科学兴趣小组制作了一个物体发射器，他们选择运用数学知识对从地面竖直向上抛出一小球的运动轨迹进行技术分析，采用图象测距技术，获得了小球的某次运动数据．下表是小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）的部分数据，且与的函数关系是我们学过的一次函数、二次函数、反比例函数中的一种． 时间/ 高度/ （1）请从上述函数中选择一种合适的函数，求出它的函数关系式； （2）小球的飞行高度能否达到？请说明理由； （3）小球离地面的高度有两次与某建筑物的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知某建筑物的高度为，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2）小球飞行高度不能达到，理由见解析 （3）不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据表格数据可得与的函数关系为二次函数，待定系数法求解析式，即可； （2）配方为顶点式，求得最大值，即可作出判断； （3）把代入，求出t的值，即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据表格数据，可得与的函数关系为二次函数，设解析式为 代入，，得， 解得： ∴ 【小问2详解】 解：小球飞行高度不能达到；理由如下， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为，小球飞行高度不能达到； 【小问3详解】 解：依题意，当时， 解得： ∴时间间隔为秒， 故小明的说法错误 23. 综合与实践 数学兴趣小组学习了矩形的性质与判定后，对多边形中的相似三角形作了如下探究： （1）如图1，在矩形中，过点作于点，交于点． ①请写出一个与相似的三角形，并说明理由； ②当，时，求的长； （2）如图3，在四边形中，，，，点，分别在，上，且，垂足为．探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①，理由见解析；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识． （1）①利用等角的余角相等得，则可得； ②证明，利用相似三角形的性质及勾股定理即可求解； （2）连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设；证明四边形是矩形，则．，则有；再证明，有，则 ．则，．由建立方程可求得x的值，从而求得；过点作，垂足为，交于点．证明，即可求得结果． 【小问1详解】 ① 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ②∵，， ∴． ∵，， ∴． 【小问2详解】 如图，连接，过点作，过点作，垂足为，延长交于点N．设； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 过点作，垂足为，交于点． 则， ∴四边形为矩形， ∴； 在和中，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线位于第一象限上的一点，过点分别作轴交于点，轴交于点，求的最大值； （3）将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为，与轴交于点，设的顶点的横坐标为，的长为． ①直接写出关于的函数解析式； ②若把点的横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”，当随的增大而增大，且抛物线将内（不计边界）的“整点”个数恰好平分（内“整点”不在抛物线上），直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）①当时，，当或时，；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段和的最值问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移问题； （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，求得直线的解析式为，进而分别表示出，根据二次函数的性质，即可求解． （3）①求出原抛物线顶点坐标，则由平移的性质可得的顶点坐标为，则的解析式为，进而得到，则，据此求解即可； ②根据①所求求出随增大而增大时，的取值范围，再根据、、的坐标确定内的整点个数和整点坐标，再分图和图两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入到中得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∴ 设直线的解析式为代入， 解得： ∴直线的解析式为， 设，则 ∴ ∴ ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：①∵原抛物线解析式为， ∴原抛物线的顶点坐标为 ∵将此抛物线沿水平方向平移，得到的抛物线记为w，w的顶点的横坐标为m， ∴w的顶点坐标为， ∴w的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 当，即时，则， 当，即或时，则； ②如图2所示， 当时，此时函数开口向下，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大， 当时，此时函数开口向上，对称轴为y轴，那么当时，d随m增大而增大； ∵， ∴内的整点有共6个整点， 如图3所示，当抛物线w的对称轴右侧平分整点个数时， 则， 解得， ∴； 如图4所示，当抛物线w的对称轴左侧平分整点个数时， 则， 解得； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $