19.3 二次根式的加法与减法 同步练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.3二次根式的加法与减法同步练习 一、单选题 1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与3 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如表，甲、乙、丙三人手中各有一张卡片，卡片上分别写有一个算式，在这三张卡片中，算式的计算结果是有理数的有（   ） 甲： 乙： 丙： A．3张 B．2张 C．1张 D．0张 4．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于 （    ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 5．设，则实数m的值应在（   ） A．7和6之间 B．6和5之间 C．5和4之间 D．4和3之间 6．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、填空题 7．写一个二次根式，使它与是同类二次根式： ． 8．计算 ． 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 10．定义新运算：对于任意实数a、b，都有． 例如：，则的值为 ． 11．已知，，则的值为 12．对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 三、解答题 13．计算 (1)； (2)． 14． 计算：． 15．阅读理解． 因为，即， 所以． 所以的整数部分为1． 所以的小数部分为． 解决问题：已知是的整数部分，是的小数部分． (1)求，的值； (2)求的平方根； (3)若是立方根等于本身的数，且，求的值． 16．已知都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”，例：，，，则称2与是关于1的“平衡数”． (1)与___________是关于2的“平衡数”； (2)若，判断与是不是关于1的“平衡数”． 17．解决下列问题： (1)已知三个实数：，，． ①计算：； ②在算式“”中，□表示“”“”中的某个运算符号，请通过计算说明当□表示哪种运算符号时，算式的结果较大； (2) 计算：． 18．【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．，，因为化成最简二次根式以后被开方数相同，所以是同类二次根式，故本选项符合题意； C．因为和的被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D．，因为化成最简二次根式以后被开方数不相同，所以不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及由二次根式性质化简、二次根式加减乘除运算等知识，由二次根式性质及混合运算法则进行化简和计算即可得到答案，熟练掌握二次根式的性质和运算法则进行化简和计算是解问题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法直接合并，，运算错误， 不符合题意； B、，左边，，运算错误，不符合题意； C、，运算正确，符合题意； D、由二次根式有意义的条件，则，运算错误，不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，有理数的定义，解题的关键是熟练掌握运算法则． 按照运算法则求出每个算式的结果，根据有理数的定义“整数和分数统称为有理数”判断即可． 【详解】解：∵，5是有理数， ，是有理数， ，是有理数， ∴计算结果是有理数的卡片有3张， 故选：A． 4．B 【分析】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可． 【详解】解：， ∴属于型无理数， 故选B． 5．B 【分析】根据二次根式的性质化简，再计算，最后由无理数的估算的计算方法即可求解． 本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的加减运算是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 6．C 【分析】本题考查的是同类二次根式．直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 可设，，其中和都是正整数， 则， 又，∴， ∴只有满足条件的一组数，，， 此时，， 故只存在一组解，选项①正确； ②由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足条件的正整数对有和， 当时，，； 当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由， 同理可设，，其中和都是正整数， 则，且， 满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件， 故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确； 故选：C． 7．（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类二次根式的定义，根据定义直接写出一个的同类二次根式即可． 【详解】解：与是同类二次根式的可以是， 故答案为：（答案不唯一） 8． 【分析】利用二次根式的运算法则化简求值即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，熟练掌握求最简二次根式的方法是解决本题的关键． 9．2 【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于m的方程，解出即可． 本题考查了同类二次根式的知识，一元一次方程，注意掌握同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同且根指数均为2． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：2． 10． 【分析】本题考查了新运算问题，二次根式的运算，解题的关键是利用定义进行运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的计算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将因式分解得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：2． 13．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式展开，再进行加减运算即可 【详解】（1）原式； （2）原式． 14．． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质进行化简，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得a，b的值； （2）根据开平方运算，可得平方根； （3）先根据题意求出c，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴； （2）解： ， ∴的平方根为； （3）解：∵是立方根等于本身的数，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键． 16．(1) (2)不是关于1的“平衡数” 【分析】本题考查了定义新运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）设与是关于2的“平衡数”，根据新定义列出关于的方程，即可求解； （2）由，利用分母有理化得出的值，再计算与的和，根据新定义即可得出结论． 【详解】（1）解：设与是关于2的“平衡数”， 由题意得，， 解得：， 与是关于2的“平衡数”． 故答案为：． （2）解：， ， 又， 与不是关于1的“平衡数”． 17．(1)①；②当表示“”时，算式的结果较大； (2)． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）①先化简，再合并即可；②根据运算法则分别计算，比较大小即可； （2）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：①原式 ②当口表示“”时，则 当□表示“”时，则 ， 当表示“”时，算式的结果较大； （2） ． 18．（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． ［理解应用］（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． ［拓展应用］（3）可以把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2）原式 ， ， ； （3），理由如下： ， ； （4） ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $